Table of Contents
- [今日 Keyword：](#今日 Keyword：)
- [T1. P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd).](#T1. P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd).)
- 今日总结：
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P.S.今天是挑战150天冲击CSP-S 2026省一的第4天，目前阶段：数论.
离CSP-S 2026 还有147天.
"纵有疾风起，人生不言弃".
今日 Keyword：
ExGCD.
T1. P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd).
偶然发现还有这样的一道题可以做，遂决定先做一下。
题面
\[ax+by=c \]
- 若该方程无整数解，输出 \(-1\)。
- 若该方程有整数解，且有正整数解，则输出其 正整数解 的数量、所有 正整数解 中 \(x\) 的最小值、所有 正整数解 中 \(y\) 的最小值、所有 正整数解 中 \(x\) 的最大值、以及所有 正整数解 中 \(y\) 的最大值。
- 若方程有整数解，但没有正整数解，你需要输出所有 整数解 中 \(x\) 的最小正整数值， \(y\) 的最小正整数值。
第一行一个正整数 \(T\)，代表数据组数。
接下来 \(T\) 行，每行三个由空格隔开的正整数 \(a, b, c\)。
应输出 \(T\) 行。
若该行对应的询问无整数解，一个数字 \(-1\)。
若该行对应的询问有整数解但无正整数解，包含 \(2\) 个由空格隔开的数字，依次代表整数解中，\(x\) 的最小正整数值，\(y\) 的最小正整数值。
否则包含 \(5\) 个由空格隔开的数字，依次代表正整数解的数量，正整数解中，\(x\) 的最小值，\(y\) 的最小值，\(x\) 的最大值，\(y\) 的最大值。
对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le T \le 2 \times {10}^5\)，\(1 \le a, b, c \le {10}^9\)。
WriteUp.
Subtask0 [拆分]：
易知这道题一共有4个Subtask,
Subtask1 : 无解的判断.
Subtask2 : 有正整数解的判断.
Subtask3 : 有正整数解后，求出解的数量、 \(x_{min/max}\) 、 \(y_{min/max}\) .
Subtask4 : 没有正整数解后， \(x_{min},y_{min}\) .
让我们依次解决。
Subtask1. 无解的判断.
由前两天的推论（即贝祖定理 Bézout's identity ），易知该方程有解，当且仅当 \(\gcd{a,b} \mid c\) .
这是最简单的一个Subtask。Qef.
Subtask3/4. 有正整数解后/没有正整数解后.
为什么不先做Subtask2呢，因为实践证明，Subtask2需要用到Subtask3的结论。
根据「ExGCD解不定方程」的推论，设 \(x',y'\) 为不定方程 \(a'x + b'y = 1\) 的解，
\(g = gcd(a,b),c' = \frac{c}{g}\) ，则原方程存在特解 \(c'x,c'y\) .
记他们为 \(x_0,y_0\) .
接下来考虑如何求得通解，有了通解，分析增减性即可求出极值。
我们不妨设存在 \(m_x,m_y\) ,使得 \(a(x_0 + m_x) + b(y_0 + m_y) = c\) .
移项、化简得到 \(-\frac{a}{b}m_x =m_y\) .
令 \(m_x = b,m_y = a\) ，且两者符号相反，就满足条件。
但是这样不好分析，我们需要一个「步长」。
等式两边同时乘 \(k\) ，并且把符号的控制交给 \(k\) 来处理。
原式等价于 \(\frac{a}{b}km_x = -km_y\) .
此时令 \(m_x = b,m_y = a\) 就满足条件。
然而这不是最小的取值，这会导致， \(k\) 不能一个一个的变化，否则会丢解。
最小的取值是什么呢，很简单，再比上一个 \(\gcd{a,b}\) 就可以了。
因此，通解如下：
\[ \begin{cases} x = x_0 + k\frac{b}{\gcd{a,b}} \\ y = y_0 - k\frac{a}{\gcd{a,b}} \end{cases} \]
分析增减性可知，\(x\) 与 \(y\) 的最值正好相反。
做一个取整把 \(k\) 求出来即可。
那么解的总数怎么求呢。
考虑，数轴上有若干个点，每 \(\frac{a}{\gcd{a,b}}\) 就出现一个，第一个点的坐标是 \(y_{min}\) ,最后一个点的坐标是 \(y_{max}\) .
试求出点的个数。这个问题的答案是显然的：
\(N = \frac{y_{max}-y_{min}}{\frac{a}{\gcd{a,b}}} + 1\) ,这也就是我们的答案。
另外的一个视角，因为k每变化1就会有一个新的点，所以， \(N = k_{max}-k_{min}+1\) .
至此，Subtask3 完成。Qef.
至于Subtask4，注意到Subtask3的结论同样适用，求此时的极值和刚才一模一样，同样也解决了。
Subtask2. 有正整数解的判断.
有了Subtask3的结论，这个问题就很简单了，当 \(y_{max} \lt 0\) 时，必定没有正整数解。
Qef.
整合&Code
我们集1、2、3、4之大成，隆重推出最终的Solution.
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y) {
if (b == 0) {
x = 1, y = 0;
return a;
}
ll g = exgcd(b, a % b, y, x);
y -= (a / b) * x;
return g;
}
// 向上取整除法，b > 0
ll ceil_div(ll a, ll b) {
if (a >= 0) return (a + b - 1) / b;
else return a / b; // 因为 a/b 向零取整，对于负数恰好是向上取整
}
// 向下取整除法，b > 0
ll floor_div(ll a, ll b) {
if (a >= 0) return a / b;
else return (a - b + 1) / b;
}
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
ll a, b, c;
scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &c);
ll x0, y0;
ll g = exgcd(a, b, x0, y0);
// 无整数解
if (c % g != 0) {
puts("-1");
continue;
}
// 特解 (x0, y0) 变为原方程的一组特解
x0 *= c / g;
y0 *= c / g;
ll dx = b / g; // x 的步长，正数
ll dy = a / g; // y 的步长，正数（注意通解中 y = y0 - k*dy）
// 求 k 的范围，使得 x > 0 且 y > 0
// x = x0 + k*dx > 0 => k > -x0/dx
// y = y0 - k*dy > 0 => k < y0/dy
ll k_min = ceil_div(1 - x0, dx); // 最小的 k 使 x >= 1
ll k_max = floor_div(y0 - 1, dy); // 最大的 k 使 y >= 1
if (k_min <= k_max) {
// 有正整数解
ll cnt = k_max - k_min + 1; // 解的个数
ll x_min = x0 + k_min * dx;
ll y_max = y0 - k_min * dy;
ll x_max = x0 + k_max * dx;
ll y_min = y0 - k_max * dy;
printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n", cnt, x_min, y_min, x_max, y_max);
} else {
// 没有正整数解，分别求最小的正整数 x 和最小的正整数 y
ll kx = ceil_div(1 - x0, dx);
ll x_pos = x0 + kx * dx;
ll ky = floor_div(y0 - 1, dy);
ll y_pos = y0 - ky * dy;
printf("%lld %lld\n", x_pos, y_pos);
}
}
return 0;
}今日总结：
写日志的第三天，有我暑假训练的感觉了(x2)。
因为之前暑假的时候那次训练非常爽，虽然只有不到20天。
本来今天是要学组合数学的，但是因为学校放假耽误了一些时间，外加找到一个好题，就只好推迟到明天了。
"日拱一卒，功不唐捐"。
Upt 2026.4.24 20:45
ghostface