📘 教案 19：最短路径问题与三类基本算法
一、问题定义
设有一张图 ( G = (V, E) )，其中：
- ( V )：顶点集合
- ( E )：边集合
- 每条边 ( (u, v) ) 具有权重 ( w(u, v) \in \mathbb{R} )
给定源点 ( s \in V )，定义从 ( s ) 到任意顶点 ( v ) 的路径长度为：
len(s→v)=∑w(e)\]\[ \\text{len}(s \\to v) = \\sum w(e) \]\[len(s→v)=∑w(e)
最短路径问题是：
对所有 ( v \in V )，求从 ( s ) 到 ( v ) 的最小路径长度
二、基本概念
1. 路径（Path）
从顶点序列：
s=v0→v1→⋯→vk=v\]\[ s = v_0 \\to v_1 \\to \\cdots \\to v_k = v \]\[s=v0→v1→⋯→vk=v
称为从 ( s ) 到 ( v ) 的路径。
2. 路径长度（Path Weight）
路径长度定义为：
∑i=0k−1w(vi,vi+1)\]\[ \\sum_{i=0}\^{k-1} w(v_i, v_{i+1}) \]\[∑i=0k−1w(vi,vi+1)
3. 最短路径（Shortest Path）
所有从 ( s ) 到 ( v ) 的路径中，长度最小者。
4. 负权边与负环
- 若存在 ( w(u,v) < 0 )，称为负权边
- 若存在环 ( C )，满足：
∑e∈Cw(e)\<0\]\[ \\sum_{e \\in C} w(e) \< 0 \]\[∑e∈Cw(e)\<0
称为负环
若存在负环，则最短路径问题无解（路径可无限减小）
三、问题分类依据
最短路径算法的选择完全由权重性质决定：
情况一：无权图或等权图
w(u,v)=c(常数)\]\[ w(u,v) = c \\quad (\\text{常数}) \]\[w(u,v)=c(常数)
情况二：非负权图
w(u,v)≥0\]\[ w(u,v) \\ge 0 \]\[w(u,v)≥0
情况三：含负权边
∃(u,v):w(u,v)\<0\]\[ \\exists (u,v): w(u,v) \< 0 \]\[∃(u,v):w(u,v)\<0
四、算法一：广度优先搜索（BFS）
适用条件
∀(u,v),;w(u,v)=1\]\[ \\forall (u,v), ; w(u,v) = 1 \]\[∀(u,v),;w(u,v)=1
基本思想
按路径长度（步数）逐层扩展：
- 第 (k) 层表示距离为 (k)
正确性说明
由于每条边权相同：
路径长度=边数\]\[ \\text{路径长度} = \\text{边数} \]\[路径长度=边数
BFS 按层遍历：
第一次访问某顶点时，所用路径边数最少
时间复杂度
O(V+E)\]\[ O(V + E) \]\[O(V+E)
五、算法二：Dijkstra 算法
适用条件
∀(u,v),;w(u,v)≥0\]\[ \\forall (u,v), ; w(u,v) \\ge 0 \]\[∀(u,v),;w(u,v)≥0
核心思想（贪心策略）
维护集合 ( S )，表示已确定最短路径的节点。
每一步：
从未确定节点中选取当前距离最小者加入 ( S )
算法过程
设：
dist\[v\]=当前已知最短距离\]\[ dist\[v\] = \\text{当前已知最短距离} \]\[dist\[v\]=当前已知最短距离
初始化：
dist\[s\]=0,dist\[v\]=∞\]\[ dist\[s\] = 0, \\quad dist\[v\] = \\infty \]\[dist\[s\]=0,dist\[v\]=∞
迭代：
dist\[v\]=min(dist\[v\],dist\[u\]+w(u,v))\]\[ dist\[v\] = \\min(dist\[v\], dist\[u\] + w(u,v)) \]\[dist\[v\]=min(dist\[v\],dist\[u\]+w(u,v))
正确性关键（必须理解）
设当前选中节点为 ( u )，则：
dist\[u\]=δ(s,u)\]\[ dist\[u\] = \\delta(s, u) \]\[dist\[u\]=δ(s,u)
成立的原因：
- 所有边权非负
- 任何通过其他路径到达 ( u ) 的路径必然更长
时间复杂度
- 普通实现：(O(V^2))
- 堆优化：
O((V+E)logV)\]\[ O((V + E)\\log V) \]\[O((V+E)logV)
六、算法三：Bellman--Ford 算法
适用条件
允许：
w(u,v)\<0\]\[ w(u,v) \< 0 \]\[w(u,v)\<0
核心思想
通过反复"松弛（relaxation）"边来逼近最优解：
dist\[v\]=min(dist\[v\],dist\[u\]+w(u,v))\]\[ dist\[v\] = \\min(dist\[v\], dist\[u\] + w(u,v)) \]\[dist\[v\]=min(dist\[v\],dist\[u\]+w(u,v))
关键性质
最短路径最多包含：
∣V∣−1\]\[ \|V\| - 1 \]\[∣V∣−1
条边
算法过程
重复：
∣V∣−1 次\]\[ \|V\| - 1 \\text{ 次} \]\[∣V∣−1 次
对所有边执行松弛操作
负环检测
若第 ( |V| ) 次仍可松弛：
⇒存在负环\]\[ \\Rightarrow \\text{存在负环} \]\[⇒存在负环
时间复杂度
O(VE)\]\[ O(VE) \]\[O(VE)
七、三种算法对比
| 算法 | 适用条件 | 核心思想 | 复杂度 |
|---|---|---|---|
| BFS | 等权图 | 层级扩展 | (O(V+E)) |
| Dijkstra | 非负权 | 贪心选择 | (O((V+E)\log V)) |
| Bellman-Ford | 有负权 | 全局松弛 | (O(VE)) |
八、统一理解
三类算法本质区别在于：
如何选择下一次"扩展"的节点
- BFS：按层扩展（等代价）
- Dijkstra：按当前最小距离扩展（贪心）
- Bellman-Ford：不做选择，穷尽所有可能（动态规划式迭代）
九、总结性表述（规范表达）
最短路径问题是在带权图中，通过对路径代价的累加与比较，确定从源点到各节点的最小代价路径。不同算法的选择依赖于边权的结构特性，其核心差异体现在状态扩展策略与最优性保证条件上。