智能家居聚合商鲁棒优化

智能家居聚合商参与日前市场的鲁棒优化

卡洛斯·阿德里安·科雷亚‐弗洛雷斯⁎，安德烈娅·米乔里，乔治·卡里尼奥塔基斯

PERSEE--法国索菲亚安提波利斯，巴黎高科国立高等矿业学校工艺中心，PSL研究大学，可再生能源与能源系统，06904

摘要

本文提出了一种在住宅层面聚合光伏（PV）发电、热能存储和电化学储能设备的情况下参与日前能源市场的优化模型。该模型考虑了能源价格、光伏出力和负荷的不确定性，并采用调整鲁棒优化方法构建问题的可解对等模型。通过鲁棒控制参数，可以获得并分析不同保守程度的解决方案。此外，所提出的模型利用特殊有序集显式地表示电池退化。该等效循环老化计算通过分段线性化方法，考虑了放电深度与电池总寿命循环之间的非线性关系。性能分析表明，与确定性方案相比，所提方法在平均成本和风险方面具有优势。对于所分析的实际测试系统，鲁棒模型实现了最高达5.7%的成本降低，标准差最多降低了36.4%。

1. 引言

可再生能源在中低压电网中的渗透率不断提高，推动了新工具的发展，以应对这一新范式带来的挑战。这些趋势进一步延伸至建筑和家庭层面，促进了家庭能源管理系统（HEMS）[1]等概念的发展。在智能电网背景下，可再生能源、储能技术、需求响应（DR）以及与电网的交互作用[2]所具备的灵活性特征可被不同的市场参与者利用，以最小化运行成本。在本研究的具体案例中，目标是分析包含电价、负荷和光伏发电不确定性的智能家居聚合系统中热能与电力储能之间的交互作用，并同时考虑电池老化因素。

1.1. 当前研究

关于住宅层面热电联合储能技术的管理模型，相关方法包括[3], 中提出的一种住宅微电网，其中通过热能和电力储能实现削减用电需求峰值并提升系统的自给自足能力。[4]中的方法则提出了在低压电网中对光伏和电热水器（EWH）进行日内管理的方法论，将电热水器作为柔性负荷而非储能装置使用。

参考文献[5]提出了一种日前市场的优化问题，旨在最小化由购售电成本、燃气成本以及实时运行中预期的平衡成本构成的零售商成本。该模型未包含电池储能系统（BESS），但考虑了热负荷和电热储能。智能建筑中储能设备的容量配置与运行在[6], 中进行了阐述。

包括电储能和热储能，但忽略循环效应。

参考文献[7]提出了一种考虑电池、热能存储和电动汽车的智能住宅建筑（SRB）协同方案。尽管未考虑循环因素，但该研究仍具有重要的参考价值，因为文中展示了不同的网络配置和交互作用。

最近在[8], 中提出了一种多能源微电网，该微电网利用热能存储和电能存储以及热源来降低运行成本并缓解公共耦合点（PCC）处的网络容量问题。尽管本文未考虑电池循环或不确定性因素，但它对不同的能源及其交互作用进行了详尽的建模，并在一个包含300个家庭的系统上进行了测试。

在这种智能电网背景下，不确定性在决策过程中起着重要作用。为了促进这些优化过程，一种常见的做法是采用随机优化（SO），其通常旨在从一系列预期的预定义场景[9]中确定最优解。然而，SO的缺点包括需要不确定变量的概率信息、实施专门的场景生成/缩减技术，以及与大量场景相关的计算负担。

近年来受到广泛关注的另一种方法是鲁棒优化（RO）[10], ，这是一种基于区间的优化方法。鲁棒优化不需要知道不确定变量的概率密度函数（PDF），而只需要适度的信息，即每个不确定变量的不确定集。鲁棒优化提供一个在置信区间内可行（免疫）的鲁棒最优解。

鲁棒优化（RO）已成功用于应对不确定性，主要应用于具有多种目标的大规模电力系统问题。例如，在机组组合（UC）中，它被用于捕捉负荷和风能不确定性[11]。在大规模电池参与电能量及辅助服务市场的情况下，RO被用于[12]捕捉价格的不确定性。在输电扩展规划中，该方法被用于应对需求和可再生能源发电不确定性[13]。在[14], 中，通过考虑价格和风电不确定性的因素，实现了风电场和电池的战略投标。

针对独立风力发电系统参与市场的研究也包含了鲁棒优化分析[15]。

尽管大多数鲁棒优化应用与大型电力系统相关，但人们对去中心化和分布式能源日益增长的兴趣促使研究界探索这一方法。

尽管在利用鲁棒优化能力于基于住宅储能的能源系统方面的研究较少，但近年来已有一些研究成果发表，特别是与中等规模分布式发电/微电网管理相关的工作。例如，[16], 提出了一种针对包含可再生能源、微型燃气轮机（MT）和电池的微电网在电能量及辅助服务市场中进行战略投标的模型，其中采用鲁棒优化来考虑可再生能源的不确定性，采用随机优化来处理价格不确定性。为了在日前和实时市场中的投标，文献[17]提出了一种混合随机/鲁棒方法，其中鲁棒优化用于刻画实时价格的不确定性，而随机优化则用于纳入风能和光伏的场景。这两种方法（[16,17]）均假设需求是确定性的。

符号说明

ARO 调整鲁棒优化

BESS 电池储能系统

BESS 电池储能系统

DoD 放电深度

DR 需求响应

DSO 配电系统运营商

EV 电动汽车

EWH 电热水器

HEMS 家庭能源管理系统

LV 低压

MG 微电网

MPC 模型预测控制

MV 中压

PCC 公共耦合点

PDF 概率密度函数

PV 光伏

RES 可再生能源

RO 鲁棒优化

SO 随机优化

SOC 荷电状态

SRB 智能住宅建筑

TES 热能存储

指数

∧ 用于识别中心预测的标记

h 家庭索引，= ...h N1,2,,

s 分段索引，= ...s S1,2,,

t 时间步长索引，= ...t T1,2,,

参数

Hh 储热装置最大功率[kW]

Phch 电池最大充电功率[kW]

Phdch 电池最大放电功率[kW]

Xh 电池最大荷电状态[kWh]

Yh 储热装置最大SOC[kWh]

ηc 电池充电效率

ηd 电池放电效率

Γ 鲁棒性参数

πt 现货价格[EUR/kWh]

X h 电池最小SOC[kWh]

Yh 储热装置的最小SOC[kWh]

a b,h s 家庭索引分段索引分段成本函数的参数

Ch 储热装置的热容

Dt 家庭索引电力负荷

Dtq, h % 第q个分位数电力负荷

Qt 家庭索引分段索引,, 电热水器负荷[kW]

Rh 蓄热装置的热阻

变量

Ht 家庭索引电热水器输入[kW]

l t 家庭索引 分段索引,, 检测活动段的二进制变量

Pt h,c 电池充电功率[kW]

Pt 家庭索引,d 电池放电功率[kW]

Pt, h pcc PCC处允许的最大功率[kW]

Pt E 在批发市场中的日前能源承诺[kWh]

ut, h 二进制变量。如果电池正在充电，则等于"1"， "0"否则

Xt 家庭索引D , 充电周期开始时的电池放电深度[p.u.]

Xt 家庭索引, 电池荷电状态[千瓦时]

xt 家庭索引, 用于检测充电周期开始的二进制变量

X t hsD 标准差 ,, 充电周期开始时电池在分段中的放电深度分段索引[标幺值]

Yt, h 储热装置的荷电状态

zqy,, 鲁棒对等模型的对偶变量和辅助变量

考虑负荷和可再生能源的不确定性，对微电网组件的鲁棒资源调度进行了分析[18,19]，但忽略了价格信息的不确定性。在[20], 中提出了一种面向工业用户的需求响应计划。采用鲁棒优化方法处理负荷和光伏的不确定性，并使用多目标算法实现最小化成本和排放。在[21], 针对包含火车站和区域的微电网实现了鲁棒能量管理。该模型全面考虑了光伏、风电、负荷和电价的不确定性。尽管该模型对所有不确定参数都进行了鲁棒性建模，但未分析不同水平的不确定性预算，虽可使解免疫于不确定性的任何实现情况，却导致了过度保守的解。

参考文献[22]针对风电不确定性，采用鲁棒优化提出在中压等级下参与电能和备用市场的方法，并考虑了光伏和可调度单元。同样在中压等级下，参考文献[23]采用机会约束优化处理净负荷和热需求的不确定性，并采用鲁棒优化处理价格不确定性。

一些先前的研究考虑了完全不确定性预算，即不确定变量的最坏情况实现，以防范实现[21,18]。然而，由于所有不确定性同时达到极端值的可能性极低，这些解决方案可能导致过度保守。因此，可以引入鲁棒参数分析以获得成本较低的解决方案[24]。该逻辑在[22,23,17]中被用于针对单一不确定性来源的情况，对不同鲁棒参数值进行敏感性分析。

当包含多个不确定性来源时，不同鲁棒参数之间的交互作用可能带来更有前景的解决方案。然而，在[16,20,19], 中这些交互作用被忽略，而是强制所有鲁棒参数采用相同的任意值。

尽管一些先前的微电网管理相关论文在其各自的测试系统中至少包含了一个电池，但均未考虑放电深度的非线性关系以计入对退化和循环老化的影响。最多仅包含一个简化的线性成本（充放电功率的函数）于[17--19], 中，且参考文献[21,16,20]忽略了循环老化的影响。在本研究中，我们通过分段线性化描述放电深度与等效寿命循环之间非线性关系的曲线，提出了一种对退化的显式建模方法。

关于使用鲁棒优化进行家庭级储能管理的研究很少。文献[25]提出了家用电器的鲁棒管理方法，以最小化单个家庭的电费，并考虑了舒适度变量的不确定性。在住宅层面储能的鲁棒聚合方面，参考文献[26]提出了一种考虑电池和价格不确定性的实时决策方案。参考文献[27]未包含电池聚合，而是考虑在20户家庭的测试平台中利用住宅层面的热储能，采用鲁棒优化仅考虑热需求不确定性。尽管该研究未包含价格或电力负荷不确定性以及可再生能源集成，但它对所提出模型的可扩展性提供了有趣的见解。参考文献[28]提出了一种社区能源管理系统，不考虑电池，但包含光伏和风能，采用鲁棒优化来考虑可再生能源和价格的不确定性。

尽管文献[28]在参与多个市场方面做出了有价值的贡献，但其缺乏对所考虑的三个鲁棒参数的不确定性预算的分析。作者预先设定了室外温度和热水使用的参数，然后通过调整一个对两个不确定变量产生同等影响的参数来进行敏感性分析。此外，文献[27]未考虑可调参数，仅给出了最坏情况下的解决方案。

在专业文献中，考虑不确定性下住宅/建筑储能聚合的更常见做法是使用模型预测控制（MPC）和/或随机优化。例如，在[29]中，通过聚合住宅电池和供暖，采用随机优化和机会约束方法实现参与电能和备用市场。本工作提出包含价格、天气和实际频率的不确定性。在[30]中提出了基于模型预测控制（MPC）的分布式储能设备聚合模型（在配电系统运营商层级），以提供本地和频率服务；在[31]中介绍了具有多个电热水器（EWHs）、电动汽车（EVs）和单个电池的公寓楼聚合案例；在[32]中，针对工业热负荷聚合提供调节服务的案例也采用了模型预测控制（MPC）。

与[29,26,27], 所提出的模型相比，[30--32,25]未考虑在住宅层面的储能聚合/协调。此外，当文献[25--27,29--31], 中考虑储能时，仅探讨了单一技术（热储能或电化学储能）。与上述文献相比，我们提出了一种模型，该模型同时利用安装在住宅层面的电化学储能和热储能。需要指出的是，近年来一些研究已针对电池与热储能的联合运行开展了工作，应用于不同目的：削峰、系统自给率提升[3], 设备容量配置与运行[6], 智能建筑协同运行[7], 确定性成本最小化及缓解网络容量[8]。然而需要注意的是，我们所提出的模型追求不同的目标，即从居民聚合商的角度出发，提供一个参与日前能源市场并计及电池循环成本的鲁棒优化框架。

针对电池老化的先进模型主要应用于电动汽车（EVs）[33]以及电池储能系统（BESS）的辅助服务提供[34,35]。这些方法捕捉状态转换以及每个循环发生的相应放电深度（DoD），以获得等效老化成本。由于该关系具有高度非线性，因此在优化过程中通过分段线性化循环次数与放电深度曲线来显式建模。显式建模此过程可能具有挑战性且计算量较大，因此大多数已发表的研究忽略了退化效应（[25,31,26]），或假设其行为为充放电功率的简化函数（[29,30]）。

1.2. 关于本研究

本文的目标是提出一个框架，以通过整合多个方面来优化管理 HEMS资源，这些方面包括：电/热负荷与储能、电池退化成本、家庭/ 建筑级管理，以及光伏出力、负荷和能源价格的不确定性。上述各方面从参与电力市场的聚合商角度进行分析，其数学模型基于强对偶理论得到的鲁棒可处理对等模型。特别地，据作者所知，目前尚未有文献采用可调鲁棒优化（ARO）方法解决在电热负荷、可再生能源及价格不确定性条件下，家庭层面综合电热储能的鲁棒管理问题。此外，为弥补现有文献的这一空白，本文进一步通过显式建模电池退化来增强研究贡献。

在本研究中，采用葡萄牙埃武拉市25个真实家庭的数据作为测试平台，构建了一个家庭能源管理系统（HEMS）。系统考虑了光伏、电池和电热水器，以最小化聚合商的运行成本，并确定相应设备的设定点。

本研究工作是在欧盟"地平线2020"SENSIBLE项目（面向建筑与社区的储能使能可持续能源）框架下完成的，属于"市场参与中的灵活性与需求侧管理"这一用例的一部分。该案例假设一家零售商或其他能源服务公司聚合多个客户，并参与电力市场，以优化其电力成本，并提升客户所能提供的灵活性价值。

本文的主要贡献如下：

(1) 考虑了以下不确定性来源：电能与热能需求、光伏发电以及能源价格。这些不确定性通过可调鲁棒优化理论纳入模型中。

(2) 提出了一种新方法论来检测最优鲁棒解，基于帕累托最优理论。该方法使我们能够分析多个鲁棒日前决策的性能，并选择提供成本与风险之间最佳权衡的帕累托前沿解。

(3) 通过特殊有序集显式建模电池循环成本。据我们所知，此前尚无研究针对住宅储能聚合应用提出类似的模型。该退化建模方法使我们能够捕捉放电深度（DoD）与总寿命循环次数之间的非线性关系，从而在日前市场中申报适当的投标量。

本文组织如下：第2节介绍优化模型的数学表述。接着，第3节阐述鲁棒对等模型及鲁棒解的评估方法。第4节给出所获得的结果，最后，第5节得出结论。

2. 框架和数学表述

所提出的物理系统实际上是一个由家庭组成的住宅微电网。其中一些家庭配备了太阳能板、锂离子电池和热存储设备。该系统与主电网相连。每个家庭包含一个需供电的总基本电负荷，以及一个必须由电热水器（EWH）满足的热负荷，该电热水器同时还以热量形式储存能源。

其思路是将一组家庭进行聚合，通过调整设备设置以优化管理资源，参与日前能源市场并最小化运行成本。

此外，为进行优化过程，做出了以下假设：（1）在公共耦合点的功率交换不会危及配电网；（2）假设不存在关于最低投标量的市场壁垒；（3）聚合商具备与家庭层面设备的通信与控制能力，存在适当的信息技术与通信平台，使得聚合商能够控制家庭层面的设备并确定其设定点；（4）所提出的居民聚合商不具备市场支配力，因此其作为价格接受者；（5）配电网运行属于配电系统运营商的职责范围，不包含在聚合商的能力之内。

所提出的资源聚合示意图如图1所示。

提出的家庭能源管理系统的一个特点是能够独立控制电池储能系统和热能存储。这意味着低压电网不直接为温控负荷供电。换句话说，该负荷由热能存储中的可用存储能量供电，而电热水器的输入被视为来自次级网络的负荷。

2.1. 电力负荷和光伏预测

SENSIBLE项目[36]通过三个欧洲示范项目探索现有技术与本地电网的集成。埃武拉示范项目开发了能源管理应用，因此在葡萄牙埃武拉市的一个局部社区部署了智能电表。此次智能电表的推广为预测模型提供了数据支持，这些模型用于预测单个家庭的电力负荷需求和光伏发电。

为了预测一个家庭在下一天的电力需求，该模型使用前一周的需求数据和第二天的室外温度预报。通过分位数平滑样条fitting[37], 可以预测时刻t的日前需求D t 在时刻t的值，作为三个函数的和：

̂ = + + − D f D f D f T ( ) () (), t t t t 1 24 2 3

 (1)

其中 − t 24 D为预测时刻前24小时的需求，D t 为前一周的平均需求，而 ̂

Tt为预测的温度。经过分位数回归后，得到一组预测分位数。与单一的点估计值不同， ... 10 20 %,%,,90%值可以被获得，并分别对应于在预测时刻测得实际需求更低的 ... 10 20 %,%,,90%概率。这种对电力需求的概率性预测是文献中的一个研究热点[38]。更多细节，建议读者参考文献 [37]。

光伏发电预测模型考虑了太阳辐照度预测。根据时间段的不同，估算光伏板的朝向、阴影效应和其他气象因素等参数。

针对每一天的每个时刻生成覆盖光伏发电整个分布的概率预测。这些分位数预测以标称概率为步长给出，从而获得与分位数 ... 10 20 %、%，⋯，90%相关的光伏预测，其方式与负荷预测类似。有关光伏预测方法的更多细节，建议参考文献[39]作为补充阅读。负荷和光伏的预测分别基于智能电表和欧洲中期天气预报中心（ECMWF）的数值天气预报所提供的数据，采用分位数样条fi拟合和核'密度估计器生成。

光伏和负荷概率预测的10%和90%分位数用于创建置信区间，以定义鲁棒优化模型中的不确定性预算（公式（定义）见公式(33)和(34)(33)和(34)）。

显示了光伏和负荷归一化聚合值在非典型日的上下限值的一个示例，如图2所示。

2.2. 确定性数学模型

2.2.1. 目标函数

式（2）展示了需要最小化的目标函数。第一项与参与日前市场有关（Pt E表示聚合商在时刻t的总能源购买投标量），第二项与等效电池循环成本相关。该项包含了由于电池循环模式引起的化学反应所带来的相应非线性特性。变量Xt h sDs、和lt hs、的详细说明和解释见第2.2.4节。

∑ ∑∑

⎧ ⎨⎩

∧ + + ⎫ ⎬⎭ = = =

πP a X b l min ( )

t

T

t t E h

N

s

S h s t h s Ds h s t h s 1 1 1 , ,, ,,, (2)

参数ah s、和bh s，在(2)中，对应于循环老化成本的分段近似参数。获取这些值所使用的方法论在第2.3节中详细说明。

2.2.2. 负载平衡约束

约束(3)表示功率平衡，其中

聚合交换与批发市场应满足投资组合中每个客户的净所需功率，如图1 所示。

∑ + − + − ∧ − = ∀ =

∧

P t P P P D H t Δ ( ) 0, t E h

N

t h pv t h c t h d t h t h 1 , , , , , (3)

⩽ ∀ P tP t | | Δ , t E pcc (4)

需要注意的是，每个家庭h的净功率考虑了电池fl流、光伏注入、电 力负荷以及电热水器所需功率。如公式(4)所示，该净功率约束受限于 PCC处允许的最大功率，该值可由配电系统运营商提供，或简单地由变 压器容量决定(4)。此外，如果某户家庭没有可用于储热的电热水器，则 变量H等于热负荷。

2.2.3. 电池约束

约束(5)--(9)描述了电池储能系统的储能状态。引入二进制变量ut

hs,,以避免电池同时充电和放电。因此，约束(7)和(8)在模型中引入了 混合整数特性。约束(6)确保储能设备在一天到另一天之间的连续性。

= + − ∀ ≠ ∀ − − − X X η tP tP η t t h Δ Δ /,, 1, t h t h c t h c t h d d , 1, 1, 1, (5)

= ∀ X X h , h T h 1, , (6)

⩽ ⩽ ∈ ∀ ≠ ∀ P P u u t t h 0 · , {0, 1}, , 1, t h c h c t h t h , , , (7)

⩽ ⩽ − P P u 0 ·(1 ) t h d h d t h , , (8)

⩽ ⩽ X X X h t h h , (9)

2.2.4. 循环约束

为了捕捉寿命循环与放电深度之间的非线性关系，提出了一种分段 线性化方法。该方法通过约束(10)来识别每个充电周期的开始。该约束 使我们能够检测到在 −t 1时刻从空闲或充电状态转变为t时刻充电状态 的过程。在这种情况下，变量 − xt h1,取值为1，表示充电发生前的立即时 间步长。 − t yh1,是一个二进制辅助变量，当状态无变化或 −1电池停止充 电时，其取值为0。约束(12)确保特殊有序集具有互斥的单位值。

− = − ∀ ≠ ∀ − − x y u u t t h , , 1, t h t h t h t h 1, 1, , 1, (10)

− = − ∀ x y u u h , T h T h h T h , , 0, , (11)

• ⩽ ∈ ∀ ∀ x y x y t h 1, , {0, 1}, , t h t h t h t h , , , , (12)

With the identification of the beginning of a charging cycle, the

DoD at which this cycle occurs can be extracted. Constraint (14)

allows a value different from zero to be stored in X D , right before the beginning

充电周期。为了分配正确的放电深度值，使用约束(13)。该约束的右侧 计算相对于额定电池能量的标幺值(p.u.)下的放电深度。XDf是一个虚 拟变量，用于在未识别充电周期时（ = 0 t h x,）平衡方程，并通过约束 (15)激活。

• = − ∀ ∀ X X X E t h 1 / , , tD h tD hf t h hrated , , , (13) ⩽ ∀ ∀ X x t h , , tD h t h , , (14) ⩽ − ∀ ∀ X x t h 1 , , t h Df t h , , (15)

需要注意的是，文献中对放电深度的定义并不存在共识。本文基于 以下假设建立老化模型：每次完整充电循环都伴随着一次完全放电事件。 即使放电事件单独或部分发生，该假设仍通过公式(6)成立。该约束条件 确保了每天的所有充电事件必须等于放电水平，以达到相同的初始和最 终荷电状态。

在约束条件(10)--(15)下，每个充电循环发生的放电深度被确定为 (XD)。为了提取适当的分段成本函数，必须激活成本曲线的相应段。这 通过约束条件(16)--(18)实现。约束条件(17)强制确定的放电深度落在相 应的线性化段内，并触发相关激活段s的二进制变量lt hs,,的激活。

∑ = ∀ ∀ =

X X t h , ,

s

S t h s Ds t h D 1 ,, , (16)

⩽ ⩽ ∈ ∀ ∀ l l X l l l t h , {0, 1} , s min t h s t h s Ds s max t h s t h s ,, ,, ,, ,, ,, (17)

∑ = ∀ ∀ =

l x t h , ,

s

S t h s t h 1 ,, , (18)

需要注意的是lt hs,,在目标函数(2)中被有效使用，以在需要时引入 参数bh s，。类似地，Xt h sDs,,被用作老化成本函数的自变量。该分段模 型也在第2.3节中给出。

2.2.5. 储水式电热水器约束

储热装置的储能状态由(19)和(20)给出。R和C（分别为热阻和 热容）在公式(19)中所包含的项表示电热水器中的能量耗散，作为能量 损失的度量，如[5]所提出。

= + − − ∧ ∀ ≠ ∀ ∀ − − − −

Y Y tH Y R C t Q t t s h Δ / Δ , , 1, , t s h t s h t s h t s h h h t s h ,, 1,, 1,, 1,, 1,, (19)

= ∀ ∀ Y Y s h , , s h T s h 1,, ,, (20)

⩽ ⩽ Y Y Y t h s t h s t h s ,, ,, ,, (21)

⩽ ⩽ H H 0 t h s t h s ,, ,, (22)

上述混合整数线性规划(MILP)数学模型具有四个不确定性来源；即 能源价格（∧ π在t时刻）、光伏出力（

∧

t h pv

P，在(3)中）、电力需求（∧

D t h，在(3)中）以及热力需求（∧Q在(19)中）。在不确定性条件下寻 找可处理的优化问题的方法将在第fit h,第3节中说明。

(2)),

2.3. 电池老化成本函数的线性化

为了在上一小节所述的优化模型中包含电池的老化成本，应对退化 行为进行分段线性化。

电池寿命通常可以用设备的实际使用寿命（日历寿命）或可实现的 充放电循环次数（循环寿命）来表示[40]。如前所述，老化过程十分复 杂；它取决于循环模式、充放电速率以及由此产生的化学反应，从而形 成电压、电流和温度的累积历史[41],，对此类交互作用的详细分析超出 了本文的范围。本文将电池退化成本视为循环寿命的内在特性以及放电 深度的函数'。

从短期电力市场（如能源日前市场）的角度来看，循环寿命可用于 计算使用电池进行能源交易的等效运行成本，并将其添加到聚合商的总 成本中。这种替代方法允许基于循环模式进行更精确的每日计算，并将 该信息嵌入优化模型中，正如先前研究[34,42,43]所提出的那样。

当电池制造商提供循环次数与放电深度曲线时，这些数据间接包含 了日历寿命信息，因为该曲线是基于寿命终止（EOL）时的容量衰减建 立的。这些可用信息使得可以通过特殊有序集在优化中显式地建模循环， 如第2.2.4节所述。当不仅提议参与电力市场，还提议提供频率支撑服务 时，循环寿命对于准确捕捉和评估充放电循环也具有重要意义。

通常情况下，电池在特定放电深度d下的最大充放电循环次数由以 下表达式[34]给出：

= − n n d d k 100 p (23)

其中kp是一个常数，取决于制造商提供的生命周期‐放电深度曲线，可 通过fitting方法从曲线上提取。量n100表示在=d 100%时失效前的等 效循环次数。

对于充电周期开始时某一特定的放电深度（如第2.2.4节所述），可 通过下式计算等效老化成本：

= C d C n d () cyc j ini j k 100

p

(24)

所得到的Ccyc是由于电池老化过程在该特定放电深度值下的等效成 本，应计入总调度成本中。已识别的放电深度对应的累积老化循环成本 如公式(2)中的第二项所示，参数a b,h s hs,,是通过对公式(24)进行分段 线性化获得的。图Fig. 3展示了针对一个3kW/3.3kWh锂离子电池的示 例。在此案例中，对该所述电池储能系统采用五段线性化，并使用上述 参数。首先，使用公式(24)评估六个等间距的点。然后，在每个分段内 进行曲线fitting，并获取参数ah s,和bh s,。最后，将这些参数输入优化 模型。

3. 基于调整鲁棒优化的求解方法论

3.1. 鲁棒对等模型

通过在每个约束条件内最大化不确定参数的偏差，可以找到上一节 所述确定性优化问题的鲁棒对等模型。利用强对偶定理可获得一个易于 处理的最终问题。感兴趣的读者可以在以下文献中找到详细公式化描述： [24]。

由于目标函数中的价格不确定性，在应用强对偶性时，得到以下方 程：

∑ ∑ ∑ ∑ ∑ + + ∧ + +

= = = = =

a X b l πP q z ( ) Γ

t

T

h

N

s

S h s t h s Ds h s t h s t

T

t t E t

T t c c c 1 1 1 , ,, ,,, 1 1 (25)

• ⩾ − ∀ z q π π y t 1

2( ), c tc t t tc (26) − ⩽ ⩽ ∀ y P y t , tc tE tc (27) ⩾ ∀ ∀ z q y t h ,, 0,, c tc tc (28)

为了应对价格不确定性，鲁棒参数可用于控制解的保守性（Γc）。 该值可在范围[0,T],内进行调整，其中T是目标函数（电价）中不确定 参数的最大数量。

约束中的不确定性(3)由光伏和电力负荷引入。因此，可通过在每个时间步 长计算净负荷（负荷减去光伏）得到单个不确定的右侧参数。该约束的鲁棒对 等模型由公式finding the net load at each time step (load minus PV). The robust counterpart of this constraint is given by Eqs. (29)--(31)给出。

∑ + − − = + + ∀ =

P t P P H D q z t Δ Γ , tE h

N td h tc h t h tnet t D tD tD 1 , , , (29)

• ⩾ − ∀ z q D D y t 1

2( ), t D t D t net h net t D (30)

⩾ ⩾ ∀ z q y t , 0, 1, t D t D t D (31)

其中

= + D D D 1

2( ) t net t net h net (32)

∑ = − =

D D P ( ) t net h

N t h t h pv 1 , 90% , 10% (33)

∑ = − =

D D P ( ) t net h

N t h q t h pv 1 , 10% , 90% (34)

在此案例中，净负荷不确定性间接反映了电力负荷和光伏的不确定 性。鲁棒参数Γt D控制每个约束t中的鲁棒性。为简便起见，在本文其余 部分，我们省略该参数的下标t，转而使用 ΓD来控制净负荷的鲁棒性。 当每个约束中最多存在一个不确定参数时， ΓD的基数为[0,1], 。

约束(19)包含另一个不确定参数，即热负荷。应用强对偶性可得到 以下约束：

= + − − ∧ +

• ∀ ∀

− − − − −

− −

Y Y tH Y R C t Q q

z t h

Δ / Δ(

Γ ), ,

t s h t s h t s h t s h h h t s h t h th

t h th

t h th

,, 1,, 1,, 1,, 1,, 1,

1, 1, (35)

• ⩾ − ∀ z q Q Q y t 1

2( ), t h th t h th t h t h t h th , , , 90% , 10% , (36)

⩾ ⩾ ∀ ∀ z q y t h , 0, 1, , t h th t h th t h th , , , (37)

为简化起见，我们从Γt h中省略下标t h,，并假设采用一个通用参数 来控制热负荷的鲁棒性：

Γth.注意 ∈ [0, 1] 。

完整的可调鲁棒混合整数线性规划（ARO）对等问题由以下方程表 示：

minimize(25) (38) s.t.

约束：(4)--(18)， (39)

(20)--(22),(26)--(31),(35)--(37) (40)

这是一个可处理的MILP问题，可以使用现成的商业求解器进行求 解。可以通过调节三个鲁棒控制参数来获得不同的鲁棒日前竞标方案： Γ、 Γ DA D和 Γth。它们分别用于控制能源价格、净负荷和热负荷不确 定性带来的保守性。第3.2节介绍了评估各参数及其交互作用影响的方法 论。

3.2. 鲁棒解的性能评估

为了分析在日前能源市场投标时不同水平的保守性，需要分析不同 的 Γ、 Γ DA D和 Γth组合。当获得任意组合的解时，日前能源购买承诺 （Pt E）和设备设置即被确定。通过计算每个时间步长由于能源不匹配导 致的不平衡量 −+I I/t t来评估该日前计划的性能。负/正不平衡表示能 源短缺/过剩，必须以更高/更低的价格购买/出售，从而导致运行中的额 外成本。通过蒙特卡洛（MC）模拟，对每种计划在多种能源价格、光 伏以及电负荷和热负荷实际场景下的性能进行分析。

生成并分析若干蒙特卡洛方法场景后，鲁棒解的性能被赋予两个属 性：平均成本和标准差（SD）。决策者希望同时最小化这两项指标，以 实现较低的成本期望并降低风险。由于单个日前调度对应的平均成本和 标准差数量与 Γs的组合数相同，因此采用帕累托最优理论来选择在平均 成本和标准差两方面表现更优的一组控制参数[44]。确定特定日前优化 帕累托前沿的方法论完整流程如图4所示。

在本研究中，为了生成蒙特卡洛方法场景，我们考虑在能源价格的 中心预测值周围采用均匀分布[0。9π∧,1.1π∧]，对于光伏和负荷的情况， 我们采用第2.1节所述实际预测得到的逆累积分布函数（ICDF）。由于 分位数信息是离散的，我们通过插值法获取分位数之间的适当值。蒙特 卡洛方法仿真的停止准则设定为1000个场景。我们验证了即使在少于 1000次试验的情况下，置信水平仍至少达到95%，且误差范围小于1%。

3.3. 数值模拟中不确定性的表征 ations

定义了一个指标来衡量每天净负荷的幅度。该指标通过计算24小时 周期内的平均净负荷区间（MI）获得。首先，使用(33)/(34)计算最大/ 最小净负荷。然后，计算每一天m的MI：

∑ =

−

×

=

T D D D MI 1 100% m t

T t m net t m net

t m net 1

, , , (41)

MI指数从净负荷的角度反映了不确定集的宽度，用于根据MI水平对每 一天进行分类。例如，图5描绘了2015年11月每一天的MI值。在本案例 中，我们利用该信息对MI值高（11月5日）、中（11月15日）和低（11 月27日）的三个典型日进行仿真，以避免在日前仿真中任意选择日期。

此外，图6展示了两个选定日期（11月5日和27日）的净负荷置信区间示 例。

4. 结果

4.1. 输入数据

所提出的算法使用Python编写。基础电负荷根据第2.1节中所述逻 辑生成，用于埃武拉示范项目的25户住宅。家庭能源管理系统在真实配 电网中的位置以及每户住宅所配备的资源如图7所示。这25户住宅对应 两个不同的低压农村电网A和B，分别包含16户和9户家庭，并包含图中 所示的资源分布。总体而言，这些住宅配备了25块光伏板、16套电池储 能系统和15台电热水器。测试案例仅包含家庭能源管理系统以及聚合商 对设备设置的控制能力。中压和低压电网的运行与控制由配电系统运营 商负责，不属于聚合商的能力或职责范围。标准化热负荷模式取自[45]， 以反映真实行为。

电价数据来自欧洲电力交易所（EPEX）数据库[46],，并采用持续 性模型对日前电价和不平衡电价进行预测，该方法假设使用相同星期几 的最近已知数据。这样做是为了考虑一种实际情况：聚合商在制定日前 购电计划时无法获得结算电价。因此，通过采用前一周相同星期几的电 价，我们能够获取可用于决策的输入数据。根据[21,26],预测值的偏差 被假定为 ± 10%，以构建置信区间。

电池的充电和放电效率假设为95%，符合[47--50]。15个电池额定 为3千瓦/3.3千瓦时，剩余一个电池为10千瓦/20千瓦时设备。所有光伏 板额定为1.5千瓦峰值。循环行为基于市场上可获得的锂离子电池信息， 并从其技术规格中获取循环寿命与放电深度的关系曲线拟合值拟合参数 以获得循环寿命与放电深度之间的关系，这些参数取自其技术规格规格 [51]。得到的系数为 = 7 100 p k。。

电池的初始成本为500欧元/千瓦时，根据最新数据

国际可再生能源机构关于欧洲国家住宅储能系统的信息[52].

所有电热水器的额定功率/能量为1.5千瓦/3千瓦时，热阻/热容为 568(°C/kW)/0.3483(千瓦时/°C)，符合[5]。

4.2. 确定性与鲁棒性方法中的运行行为

以下结果展示了在求解中等市场渗透率日（11月15日）的确定性模 型（见公式(2)--(22)）以及其自适应鲁棒优化（ARO）对应模型（(38)-- (40)）后，主要变量的行为。求解确定性问题时，得到的日前运行成本 为14.93€。另一方面，当 = = Γ 24 Γ 1 DA ,D和 = Γ 1 th时，鲁棒解为 29.88€，这表示模型中所有不确定变量均考虑了完整的不确定性预算。 该鲁棒日前运行成本构成了运行成本的上界，而确定性解则构成下界。

对于确定性解而言，这意味着任何偏离电价、负荷和光伏中心预测的不 确定性实现都将导致因不平衡而产生的惩罚 由于不平衡。另一方面，在不确定性预算范围内的任何不确定性集的实 现，其运行成本均不会超过29.88欧元，后者起到了保证最小值的作用。

图8显示了该问题完整表述下确定性（）和自适应鲁棒优化（）案 例中所有电池储能系统的累计荷电状态（SOC）。

确定性（）SOC总体上与自适应鲁棒优化的演化趋势相似。然而， 在12h至16h的时间段内存在明显差异，该时间段恰好与光伏发电时段重 合。在ARO方法中，由于模型隐式假设了高度保守的情景（即ΓD=1和 Γth=1：最低光伏发电量和最大需求），电池在此期间呈现放电模式， 以补偿可用光伏出力较低的情况。ARO方法表现出更为保守的充放电策 略，因为在这些时间段内保留存储能量可避免运行点接近边界，从而更 高效地应对潜在的不确定性实现。例如，若在12h至15h的时间段内，实 际的不确定性实现高于预测的光伏值，则ARO解将为向电网注入功率留 出更多空间。相反，确定性解在此潜力利用方面则较为受限，因为其电 池储能系统的设置无法提供额外的存储能力。然而，下一小节将更详细 地分析ARO方法相较于确定性方法的潜在节约和成本优势。

此外，我们进行了一个忽略循环老化成本（公式(2)中第二项）的 仿真，针对确定性情况和自适应鲁棒优化情况。在模型中忽略该项意味 着电池可以无相关成本地进行循环，等效循环老化在目标函数中的成本 将为零。该案例下得到的荷电状态在图9中分别展示了确定性（）和自 适应鲁棒优化（）情况。此仿真显示在时间段：3h--5h、14h--16h和 20h--22h内出现了更深的循环。这是一个预期的结果，因为在模型中 省略了老化因素，导致电池在无退化约束的情况下运行，从而出现更深 且更频繁的循环。总体而言，图9中的循环模式比图8中的更深。

两种案例的能源购买承诺如图10所示。除两个时间段（20h和23 h）外，购买承诺为

计算的平均净负荷区间)

ARO方法（）始终高于确定性方法（）。这是一个预期的结果，因为如 上所述，鲁棒解具有保守性，代表了可承受不同不确定性实现的成本边 界，同时确保最终运行成本低于该最大保障成本。

当聚合商在日前能源市场中进行竞价并确定其设备每小时的运行时， 可能会由于偏差导致不平衡，如第3.2节所述。在这种情况下，能源短缺/ 过剩需以不平衡价格购买/出售，从而增加fi最终运行成本。

通过分析在日前采购承诺受到价格、光伏发电和需求的多次随机实 现影响下产生的不平衡，可以直观地展示鲁棒性。为了生成确定性解和 自适应鲁棒优化解的不平衡箱线图，采用第3.2节所述方法进行蒙特卡洛 仿真。图11显示了每个时间段内不平衡情况的比较（相同选定日期： 11月15日）。对于该特定案例，可以看出，鲁棒解（ = = Γ 24 Γ 25 DA 、 D和 = Γ 1 th ）不会产生负不平衡（额外采购），而仅在所有时间段内 出售能源过剩（正不平衡），尤其在5小时和6小时以及中午时段中位数 值明显更高。其原因是，自适应鲁棒优化返回的解在最低光伏发电水平 和最高负荷场景下仍可行，因此当分析该不确定性的不同实现时会出现 能源过剩。此外，凌晨时段的正不平衡与高能源采购（见图10）用于电 池充电（见图8）有关，这部分电能随后成为能源过剩并返售给市场。

相比之下，当确定性解面临不确定性实现时，在所有时间步长均出现负 不平衡，因其应对偏离中心预测值的不确定性实现能力有限，特别是在 负荷较高而光伏发电较低的情况下。

4.2.1. 确定性与鲁棒性方法中的设备交互

针对完整分析月份进行了另一次仿真。在本案例中，分析了确定性 情况和鲁棒优化情况下的不同灵活性来源的交互作用。所提出的测试系 统包含两种能源存储技术：电化学电池和电热水器。利用电热水器存储 热能的可能性使得该设备能够作为柔性负荷运行。不同案例的平均成本 如表1所示。

该表格表明，在允许将热能存储（TES）作为灵活性手段时，确定 性与鲁棒优化（RO）两种案例均获得了更好的结果。具体而言，当利 用电热水器（EWHs）储存热量时，与仅使用电池储存能源的情况相比， 确定性方法和鲁棒优化方法分别实现了3.2%和2.6%的成本降低。这表 明允许对电热水器设置进行控制以储存热水供后续时段使用的重要性。

例如，图12显示了测试系统中所有电热水器的平均存储热量。从图中可以 得出结论，鲁棒方法相比确定性情况呈现出更高的存储热量水平。这可以通过 以下事实解释：鲁棒优化（RO）能够抵御置信区间内热负荷的潜在变化，包括 最大值。 因此，在每个时间步长中，可用的热水应足以应对这种极端场景。

该图还显示了电池储能系统的聚合平均荷电状态（SOC）。在此案 例中，鲁棒优化（RO）案例的存储能量与确定性案例主要在中午时段 存在差异，表现为较低的放电深度（DoD），或类似地，可用存储能量 较少。存储能量的这种差异也导致鲁棒案例中的平均循环老化程度较低。 例如，由于电池SOC的差异，鲁棒优化（RO）相较于确定性方法实现 了10%的等效循环平均成本降低。

4.2.2. 电池效率对成本的影响

为了确定充电和放电效率对通过确定性方法和自适应鲁棒优化方法 （包含ΓDA=24、 ΓD=25和 Γth=1）获得的总运行成本的影响，进行 了敏感性分析。

该分析通过改变== η η η c d在公式(5)中的值，并对分析月份内的 每一天进行求解。然后，计算每月平均成本并将其与每个η值相关联。

完成此过程后，所得值在图13中展示。

This figure shows that lower values of efficiency lead to average cost decrease for both cases: deterministic and ARO. For the case of the deterministic approach, when losses are neglected (= η 1) the cost is 14.74€, and increases up to 8.6% when an efficiency of 0.8 is considered for the storage system.

对于ARO案例，当忽略损耗时，平均成本为27.69€，成本增加达到 8.3%。ARO解与确定性解的直接比较表明，当忽略损耗时，与确定性 解相比，ARO的额外成本为87.85%。在= η 0.8的情况下，额外成本为 81.1%，表明尽管η变化较大，鲁棒解相比确定性解仍具有更高的保证成 本。这可能导致不同方法论下的设备调度和绝对成本不同，但如预期所 示，ARO解始终表现出更高的最大保证成本，如第4.2节所述。

4.3. 不确定性预算的影响

选择不确定性预算会影响fl日前运行的性能，这解释了本文采用 ARO方法的原因。为了确定更优的预算选择，我们使用图4中所述的流 程。这样可以对多个Γ、 Γ DA D和 Γth的组合使用蒙特卡洛方法，并计算 平均成本和标准差。通过这种方式，可以确定一组使平均成本和偏差最 小化的不确定性预算。选取两天进行此分析：11月5日（高MI）和27日 （低MI）。对于Γ、 Γ DA D和 Γth的取值范围分别为= =ij6, 0.2 和=k 0.2

分别为此，在性能评估方法下生成了180种组合进行分析。在对180种不 确定性预算中的每一种运行蒙特卡洛方法仿真后，我们得到了图14中的 成本和偏差。注意，数值已使用确定性值作为基准（1标幺值）进行了 归一化处理。图中以蓝色方块表示确定性解的性能：（）。

该仿真表明，在两种情况下，与不同不确定性预算下的鲁棒方法相 比，确定性解的标准差tendsto更高。这表明鲁棒解在不平衡及其后续 惩罚方面更具可靠性和平稳性，因此对聚合商而言代表了一种风险更低 的运行方式。

具体而言，11月5日的仿真结果显示，仅有8个自适应鲁棒优化方案 的标准差高于确定性解，而在11月27日中排名第四。采用鲁棒模型后， 这两天的标准差分别可降低27.3%和36.4%。

关于采用自适应鲁棒优化（ARO）获得的性能成本，与确定性方法 相比，每天的成本平均可分别降低5.7%和2.6%。此外，通过确定非支 配集的点可以找到最小‐最小帕累托前沿 根据帕累托最优准则[44]。该帕累托前沿（表示为：[.85]）代表了从 平均性能成本和标准差角度出发的最佳解集。

表2显示了满足以下两个条件的点：(1)构成帕累托前沿；(2)独立 优于确定性解。该表还显示了相对于确定性解的运行成本改进，分别在 每一天获得5.2--5.7%和2.1--2.6%的成本改进范围。此外，SD的改进 范围分别为7.7--27.2%和17.5--36.4%。

需要注意的是，11月5日的帕累托前沿中 ΓL的值均为零。该结果表 明，对于高平均净负荷区间日，由于较高的不确定性预算会导致过度保 守性，该方法论避免使用较高的不确定性预算值。而对于11月27日（低 平均净负荷区间），ARO模型在多种情况下即使所有不确定性预算参数 取非零值也能运行。这一结果的原因在于负荷的不确定性实现在较窄的 区间内，并且接近中心预测。

为了进一步分析，从帕累托前沿中选择自适应鲁棒优化解来构建累 积密度函数（CDF），并从成本角度与确定性解进行性能比较。根据图 15，这两天各自的ARO解决方案彼此表现相似，并且每一天都具有一个 共同特征，即相关成本低于确定性方法所获得的成本。该结果再次表明 了所提出模型在处理不确定参数及其潜在实现方面的鲁棒性。

例如，对于11月5日，自适应鲁棒优化方案的解成本低于确定性平 均值的概率位于91.2--96.3%的范围内。对于11月27日，自适应鲁棒优化 方案性能优于确定性均值的概率介于79.0%和85.4%之间。这些值只需 通过找到成本等于1标幺值时的曲线交点，并确定相应的累积密度即可获 得。通常情况下，最左侧的解代表更好的性能。

表1 资源管理的日平均成本
Case	BESS	TES	等效成本循环 [€]	总运行成本 [€]
确定性	Yes	No	0.20	15.7
确定性	Yes	Yes	0.20	15.19
RO	Yes	No	0.19	28.89
RO	Yes	Yes	0.18	28.14

)

还可以注意到，与11月5日相比，11月27日的累积分布函数（ CDFs）更加集中。这同样是一个预期的结果，因为该天的平均净负荷 区间（MI）较低；因此可以预期鲁棒优化和确定性解的性能和行为将更 为接近。

4.4. 模型中考虑循环老化的影响

为了分析这一影响，采用第4.2节中使用的相同日期（11月15日） 以及不确定性预算的以下任意值：ΓDA=12, ΓD=0.5