02 表面码部分全文 - An introduction to surface code

6 表面码简介

表面码是一种嵌入了一些拓扑学概念的纠错检测码。表面码有两个主要部分：单个物理量子比特的几何布局，以及用这些量子比特连续循环执行的操作序列。这两部分的组合产生了一种纠错保护的"织物"，其中错误仍然可以发生，但随着物理量子比特数量的增加，被纠正的概率呈指数增长（只要构成连续循环的操作以一定的保真度水平执行）。然后可以在此织物中定义逻辑量子比特，逻辑量子比特的大小（织物的面积，或等效地涉及的物理量子比特数量）由物理量子比特中错误发生的速率和逻辑层可容忍的错误率决定。逻辑量子比特错误率可容忍的速率取决于计算问题。如果一个问题涉及例如100个逻辑操作，且逻辑错误的概率是1%，意味着在任何操作上没有错误的概率是99%，那么你可以执行所有100个操作而不发生逻辑错误的概率是 0.99100=0.370.99^{100} = 0.370.99100=0.37：你有大约三分之一的概率得到正确答案，这可能可容忍也可能不可容忍。如果计算涉及1000个操作，那么得到正确答案的概率是 0.991000≈4×10−50.99^{1000} \approx 4\times 10^{-5}0.991000≈4×10−5。要恢复三分之一的错误概率，逻辑错误率需要提高10倍，到0.1%。

物理量子比特操作需要执行以高于此阈值的表面码所承诺的指数改进的阈值约为1%。如果物理量子比特操作可以以例如 10−4=0.01%10^{-4} = 0.01\%10−4=0.01% 的错误率执行，那么事实证明，错误率约为 10−1710^{-17}10−17 量级的逻辑量子比特将需要大约一千个物理量子比特。

表面码中量子比特的物理布局如图20a所示；量子比特可以完全相同，但以三种不同方式使用，由操作循环决定。一半的量子比特是"数据量子比特"，在图20a中以空心圆表示，存储计算的量子态。另一半是错误检测量子比特，以实心圆表示，我们称之为"测量量子比特"。测量量子比特有两种类型，"measure-Z"量子比特，在图20a中着色为绿色，和"measure-X"量子比特，着色为黄色；这些在表面码文献中也称为Z综合征和X综合征量子比特；见例如文献[15]。每种量子比特的循环如图20b和c所示。每个数据量子比特耦合到两个measure-Z和两个measure-X量子比特，每个测量量子比特耦合到四个数据量子比特。在某些情况下，例如在逻辑Hadamard操作中，数据量子比特与测量量子比特交换，所以每个物理量子比特必须能够同时服务于数据和测量角色。

measure-Z量子比特在执行图20b所示的测量循环时，强制其邻近数据量子比特a、b、c和d进入算符乘积 ZaZbZcZdZ_a Z_b Z_c Z_dZaZbZcZd 的本征态：因此每个measure-Z量子比特被称为测量Z稳定子。measure-X量子比特，循环通过图20c中的过程，强制其邻近数据量子比特进入 XaXbXcXdX_a X_b X_c X_dXaXbXcXd 的本征态，因此测量X稳定子。

图20 ：(a) 表面码。数据量子比特是空心圆（∘\circ∘），测量量子比特是实心圆（∙\bullet∙），measure-Z量子比特着色为绿色，measure-X量子比特着色为橙色。远离边界的地方，每个数据量子比特接触四个测量量子比特，每个测量量子比特接触四个数据量子比特；测量量子比特执行四端测量。在边界上，测量量子比特只接触三个数据量子比特并执行三端测量，数据量子比特接触两个或三个测量量子比特。包围阵列的实线表示阵列边界。(b) measure-Z量子比特的一个表面码循环的几何操作序列（左）和量子电路（右），它稳定化 ZaZbZcZdZ_a Z_b Z_c Z_dZaZbZcZd。© measure-X量子比特的几何和量子电路，它稳定化 XaXbXcXdX_a X_b X_c X_dXaXbXcXd。measure-Z过程的两个恒等I算符，通过简单地等待执行，确保measure-X量子比特的时间与measure-Z量子比特匹配，前者经历两个Hadamard H操作。恒等算符在序列的开头和结尾，减少这些步骤中任何错误的影响。图来自文献(Fowler, Mariantoni, Martinis and Cleland, 2012a)。

7 表面码的静息态

measure-Z和measure-X量子比特在图20b和c所示的循环中运行。在每个测量量子比特初始化到其基态 ∣g⟩|g\rangle∣g⟩ 后，序列包括四个CNOT后跟一个投影测量。对于measure-Z量子比特，CNOT以四个最近邻数据量子比特为控制、测量量子比特为目标，投影测量产生 ZaZbZcZdZ_a Z_b Z_c Z_dZaZbZcZd 乘积算符的本征态。对于measure-X量子比特，基态初始化后，对测量量子比特应用Hadamard，将其置于 ∣+⟩|+\rangle∣+⟩，四个CNOT然后以测量量子比特为控制、最近邻数据量子比特为目标，随后是Hadamard操作；投影测量产生 XaXbXcXdX_a X_b X_c X_dXaXbXcXd 乘积算符的本征态。

问题14 ：证明图20b所示的measure-Z量子比特的表面码循环确实强制四个数据量子比特进入 ZaZbZcZdZ_a Z_b Z_c Z_dZaZbZcZd 的本征态。

在对阵列中所有测量量子比特进行投影测量后，所有数据量子比特的态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 同时满足 ZaZbZcZd∣ψ⟩=Zabcd∣ψ⟩Z_a Z_b Z_c Z_d|\psi\rangle = Z_{abcd}|\psi\rangleZaZbZcZd∣ψ⟩=Zabcd∣ψ⟩ 和 XaXbXcXd∣ψ⟩=Xabcd∣ψ⟩X_a X_b X_c X_d|\psi\rangle = X_{abcd}|\psi\rangleXaXbXcXd∣ψ⟩=Xabcd∣ψ⟩，本征值为 ±1\pm 1±1。这适用于整个表面码阵列中数据量子比特的每个四量子比特集合abcd。在每次measure-Z和measure-X量子比特测量之后，重置、CNOT和测量的循环被重复。图20b和c中的测量量子比特都以锁步方式运行，使得循环中每个步骤在移动到下一步之前在整个二维阵列上完成。我们注意到，每个测量量子比特特定的之字形序列abcd相当特殊，不能在保留稳定子结果的情况下轻易修改。它部分确保没有measure-X与任何measure-Z或其他measure-X在同一数据量子比特上同时相互作用，类似地适用于所有measure-Z。此外，表面码序列中的时间显示measure-X和measure-Z量子比特的测量大致同时发生，当然这些应该在开始下一个表面码循环之前全部完成，但它们不需要跨阵列同时发生。

ZZZZZZZZZZZZ 和 XXXXXXXXXXXX 测量，从启动表面码时的第一个完整测量循环开始，取数据量子比特的任何初始态，并从该态投影出一个复杂的纠缠态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩，它是跨阵列所有测量的同时本征态；我们称这种纠缠态为静息态。产生的特定静息态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 从大量可能的结果中随机选择。给定测量结果，取决于整体阵列的详细结构（我们稍后讨论），数据量子比特的态可能有也可能不止一个可能态；这取决于测量结果集合留下的自由度数量。

一旦选定，在没有错误的情况下，序列的每个后续循环都将维持相同的态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩，每个测量量子比特产生与上一循环相同的测量结果，因为所有X和Z稳定子测量彼此对易。对于没有共同量子比特的稳定子，这是微不足道的，因为不同量子比特上的单量子比特算符总是对易。有共同量子比特的稳定子将总是共享两个这样的量子比特，所以每个X稳定子与每个邻近Z稳定子共享两个数据量子比特，反之亦然。正如我们前面讨论的，共享两个量子比特的X和Z测量仍然对易，即使单个X和Z算符在一个量子比特上不对易。

在表2中，我们展示了 ZZZZZZZZZZZZ 和 XXXXXXXXXXXX 本征态及其对应的稳定子本征值。对于任何由measure-Z量子比特测量的四个数据量子比特集合，measure-Z稳定子返回的本征值将四个数据量子比特限制为具有相应本征值的八个四量子比特态的某种线性叠加。对于由measure-X量子比特稳定的四个数据量子比特也是如此。如果我们考虑一组六个相邻数据量子比特，两个仅由measure-Z测量，两个由measure-Z和measure-X共同测量，两个仅由measure-X测量，我们知道由两个测量量子比特测量的两个将处于Bell态的线性叠加中，与其他量子比特纠缠，因为Bell态可以同时是 ZZZZZZ 和 XXXXXX 的本征态。Bell态没有被指定，因为四重测量的性质只约束四个量子比特的乘积，而不是任何一对的乘积。这样一组量子比特会受到多大约束？每个数据量子比特有两个自由度，其 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 和 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 基态的相对振幅和相位（即Bloch球上的两个角度）。六个量子比特有 2×6=122 \times 6 = 122×6=12 个自由度。我们只有两次测量，施加四个约束（固定相应算符本征值的实部和虚部），所以我们仍然有八个自由度。

表2 ：四量子比特稳定子 ZaZbZcZdZ_a Z_b Z_c Z_dZaZbZcZd 和 XaXbXcXdX_a X_b X_c X_dXaXbXcXd 的本征态。

本征值	ZaZbZcZdZ_a Z_b Z_c Z_dZaZbZcZd	XaXbXcXdX_a X_b X_c X_dXaXbXcXd
+1	∣0000⟩,∣0011⟩,∣0110⟩,∣1100⟩,∣1001⟩,∣0101⟩,∣1010⟩,∣1111⟩\|0000\rangle, \|0011\rangle, \|0110\rangle, \|1100\rangle, \|1001\rangle, \|0101\rangle, \|1010\rangle, \|1111\rangle∣0000⟩,∣0011⟩,∣0110⟩,∣1100⟩,∣1001⟩,∣0101⟩,∣1010⟩,∣1111⟩	KaTeX parse error: Undefined control sequence: \+ at position 29: ... \|++--\rangle, \̲+̲--+\rangle, \|--...
-1	∣0001⟩,∣0010⟩,∣0100⟩,∣1000⟩,∣0111⟩,∣1011⟩,∣1101⟩,∣1110⟩\|0001\rangle, \|0010\rangle, \|0100\rangle, \|1000\rangle, \|0111\rangle, \|1011\rangle, \|1101\rangle, \|1110\rangle∣0001⟩,∣0010⟩,∣0100⟩,∣1000⟩,∣0111⟩,∣1011⟩,∣1101⟩,∣1110⟩	KaTeX parse error: Undefined control sequence: \+ at position 58: ... \|-+++\rangle, \̲+̲---\rangle, \|-+...

现在考虑表面码的更大一部分，如图21所示。这绘制了两种类型的边界，右侧和左侧终止于measure-X量子比特，我们称为X边界，顶部和底部终止于measure-Z量子比特，我们称为Z边界。X边界也称为光滑边界，Z边界也称为粗糙边界[15]。

如果我们计算阵列中数据量子比特和测量量子比特的数量，我们发现有41个数据量子比特和40个测量量子比特，所以数据量子比特中有 2×412 \times 412×41 个自由度（具有 2412^{41}241 个不同态），稳定子测量有 2×402 \times 402×40 个约束，它们都是线性独立的。要看到这一点，你需要意识到每个稳定子测量选择两种可能结果之一（±1\pm 1±1），因此将自由度数量减少一个因子2。因此此表面码片段中有净两个不受约束的自由度：这等价于一个量子比特，事实上，此表面码片段形成一个逻辑量子比特，如我们稍后将会看到的。如果我们改为仅用X或仅用Z边界绘制此阵列，而非一半X和一半Z边界，那么事实证明 ZZZ 或 XXX 稳定子之一可以写成所有其他 ZZZ 或 XXX 稳定子的乘积。由于稳定子都对易，这意味着此稳定子不施加额外的约束，所以N个测量量子比特只有 2N−22N - 22N−2 个约束。然而，在这些阵列中（如你可以轻易说服自己的）只有 N−1N - 1N−1 个数据量子比特，所以在这些阵列中没有额外的自由度：稳定子测量完全确定了静息态，给定一组测量结果没有自由度，所以这样的表面码片段不能作为逻辑量子比特。

8 操作逻辑量子比特

正如我们刚才讨论的，图21所示的表面码片段有两个不受稳定子约束的自由度。因此我们可以将阵列的态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 重铸为逻辑量子比特态 ∣u⟩L|u\rangle_L∣u⟩L 与阵列其余部分完全稳定化态 ∣v⟩|v\rangle∣v⟩ 的外积。换句话说，我们可以写

∣ψ⟩=∣u⟩L⊗∣v⟩,|\psi\rangle = |u\rangle_L \otimes |v\rangle,∣ψ⟩=∣u⟩L⊗∣v⟩,

其中 ∣v⟩|v\rangle∣v⟩ 生活在240维向量空间中，并被稳定子测量限制为单一态。我们现在想要找到可以操作 ∣u⟩L|u\rangle_L∣u⟩L 而不影响 ∣v⟩|v\rangle∣v⟩ 的逻辑算符 XLX_LXL 和 ZLZ_LZL。

考虑算符 XL=X1X2X3X4X5X_L = X_1 X_2 X_3 X_4 X_5XL=X1X2X3X4X5 和 ZL=Z6Z7Z3Z8Z9Z_L = Z_6 Z_7 Z_3 Z_8 Z_9ZL=Z6Z7Z3Z8Z9，如图21所示。注意 XLX_LXL 作用于连接阵列两个X边界的一串量子比特上，ZLZ_LZL 作用于连接两个Z边界的一串量子比特上，这很重要。如图所示，这些算符与图中每个稳定子都对易：XLX_LXL 与所有X稳定子显然对易，因为它比特翻转（应用 XjX_jXj 到）每个Z稳定子稳定的四个量子比特中的零个或两个，它也与所有Z稳定子对易。因此将 XLX_LXL 应用于阵列不会改变任何X或Z稳定子测量。ZLZ_LZL 也是如此，它相位翻转（应用 ZjZ_jZj 到）每个X稳定子中的零个或两个量子比特，所以与所有X稳定子对易，并且显然与所有Z稳定子对易。然而，这些算符显然改变了阵列的态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩，因为 XLX_LXL 比特翻转五个量子比特，ZLZ_LZL 相位翻转五个量子比特。此外，我们可以轻易证明 XLZL=−ZLXLX_L Z_L = -Z_L X_LXLZL=−ZLXL，所以它们服从量子比特上X和Z算符的对易关系。因此我们定义了两个可以操作逻辑量子比特 ∣u⟩L|u\rangle_L∣u⟩L 的独立自由度而不影响稳定化态 ∣v⟩|v\rangle∣v⟩ 的算符。

问题15 ：证明 XLZL=−ZLXLX_L Z_L = -Z_L X_LXLZL=−ZLXL，通过对构成这些逻辑算符的单个量子比特算符进行对易。

问题16 ：尝试将 XL′X'_LXL′ 定义为链接Z和X边界的 XjX_jXj 和 ZjZ_jZj 算符链（即垂直于我们为 XLX_LXL 和 ZLZ_LZL 定义的链）。为什么这不工作？

似乎我们可以选择其他单量子比特算符乘积链来定义不同的 XLX_LXL 或 ZLZ_LZL 算符。考虑 XL′=X1X10X11X12X3X4X5X'L = X_1 X{10} X_{11} X_{12} X_3 X_4 X_5XL′=X1X10X11X12X3X4X5，如图21所示。这满足与 XLX_LXL 相同的条件，因为 XjX_jXj 数据量子比特算符成对配对，从而包围每个measure-Z量子比特，所以 XL′X'LXL′ 与所有稳定子对易，并将生成静息态 ∣ψX′⟩=XL′∣ψ⟩|\psi{X'}\rangle = X'L|\psi\rangle∣ψX′⟩=XL′∣ψ⟩。然而态 ∣ψX′⟩|\psi{X'}\rangle∣ψX′⟩ 实际上与 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 有平凡关系：首先，注意我们可以操纵出现在 XL′X'_LXL′ 中的算符集，如

XL′=X1X10X11X12X3X4X5=(X2X10X11X12)(X1X2X3X4X5)=(X2X10X11X12)XL,X'L = X_1 X{10} X_{11} X_{12} X_3 X_4 X_5 = (X_2 X_{10} X_{11} X_{12})(X_1 X_2 X_3 X_4 X_5) = (X_2 X_{10} X_{11} X_{12}) X_L,XL′=X1X10X11X12X3X4X5=(X2X10X11X12)(X1X2X3X4X5)=(X2X10X11X12)XL,

其中我们使用了 X22=IX_2^2 = IX22=I。第三行括号中的算符是图21中以黑色轮廓勾勒的稳定子：我们已证明 XL′X'_LXL′ 只是 XLX_LXL 乘以被表面码稳定子稳定到其 ±1\pm 1±1 本征值之一的算符乘积。如果我们在静息态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 上应用 XL′X'_LXL′，我们可以简单地将此算符乘积替换为其本征值：

XL′∣ψ⟩=X2,10,11,12XL∣ψ⟩=±XL∣ψ⟩.X'L|\psi\rangle = X{2,10,11,12} X_L|\psi\rangle = \pm X_L|\psi\rangle.XL′∣ψ⟩=X2,10,11,12XL∣ψ⟩=±XL∣ψ⟩.

因此 XL′X'_LXL′ 与 XLX_LXL 有平凡关系。这适用于任何可以写成稳定化算符乘积乘以 XLX_LXL 的 XL′X'_LXL′ 算符。任何穿过图21中阵列的 XL′X'_LXL′ 链都可以写成 XLX_LXL 乘以 XXXXXXXXXXXX 稳定子乘积：此阵列只有一个非平凡不同的 XLX_LXL 算符。

相同论证适用于替代的 ZL′Z'_LZL′ 算符：任何这样的算符等于原始 ZLZ_LZL 乘以 ZZZZZZZZZZZZ 稳定子乘积，因此任何 ZL′∣ψ⟩Z'_L|\psi\rangleZL′∣ψ⟩ 与 ZL∣ψ⟩Z_L|\psi\rangleZL∣ψ⟩ 相差 ±1\pm 1±1。因此此阵列也只有一个线性独立的 ZLZ_LZL 算符。

我们的阵列只给我们两个不受稳定子约束的自由度，且仅定义了单个逻辑量子比特。即使我们使阵列更大，同时保持半X和半Z边界，阵列将只有两个自由度，因此不允许我们定义更多逻辑量子比特。稍后，我们将展示如何通过关闭稳定子测量在阵列内添加更多自由度，从而在一个阵列中创建更多逻辑量子比特。每个逻辑量子比特将逻辑Hilbert空间的大小增加一个因子2，并同时将稳定子Hilbert空间的大小减少一个因子2。

9 错误检测

我们现在考虑表面码中的错误。可能的错误包括错误的单量子比特门、测量错误、初始化错误和CNOT错误。这些可以包括级联错误，涉及碰巧多个相邻数据量子比特；这种级联错误称为错误链。我们在这里不考虑长程关联错误，即链接远处物理量子比特的错误。这些在某种程度上在表面码中是可容忍的，意味着在某些情况下它们可以被纠正，但根据细节，它们也可能导致严重的逻辑错误。单量子比特错误和局部错误链，只要它们可以被正确识别，就可以通过经典控制软件跟踪它们并纠正任何后续测量结果来纠正。Edmonds的最小权重完美匹配算法[54, 55]提供了一种自动执行此操作的方法，对于足够稀疏的错误工作完美，但随着错误密度增加和错误链长度增加开始失效。数值模拟提供了对不同类型错误的容忍度的估计，如图22所示。

用于生成图22的模拟包括以下类型的错误，发生在图20所示的表面码循环期间：

尝试执行数据量子比特恒等I，但改为执行单量子比特操作X、Y或Z；其中任何一个的概率是 p/3p/3p/3。
尝试将量子比特初始化到 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩，但改为以概率p生成 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩。
尝试执行测量量子比特Hadamard H，但另外执行X、Y或Z之一，每个概率 p/3p/3p/3。
执行测量量子比特Z测量，但报告错误值并投影到错误态，概率为p。
尝试执行测量量子比特-数据量子比特CNOT，但改为执行十五个双量子比特操作 I⊗X,...,Z⊗ZI \otimes X, \ldots, Z \otimes ZI⊗X,...,Z⊗Z 中的任何一个，每个概率 p/15p/15p/15（只有十五个是因为 I×II \times II×I 可以忽略）。

错误在模拟期间随机发生。概率p是表面码循环中每步的（循环中有八步），所以表面码循环的总体每轮速率约为 8p8p8p。Edmonds匹配算法将稳定子结果中检测到的变化映射到物理量子比特错误；算法犯错的速度，即它错误识别特定错误报告的来源，显示为逻辑错误率 PLP_LPL，定义为每表面码循环在阵列任何地方出现的逻辑 XLX_LXL 错误数量。当然还有 ZLZ_LZL 错误，它们以与 XLX_LXL 错误大约相同的速率发生，且随p的缩放非常相似；这里我们只关注 XLX_LXL 错误。

PLP_LPL 和p之间的关系非常强烈地依赖于阵列大小d，称为阵列的距离：d是定义 XLX_LXL 或 ZLZ_LZL 算符所需的物理量子比特比特翻转或相位翻转的最小数量。例如，在图21中，我们需要最少五个物理算符来定义逻辑算符，所以该阵列具有距离 d=5d = 5d=5。

对于小的物理错误率p，逻辑错误率 PLP_LPL 很小，且随着阵列距离d增加而变小。对于大的p，PLP_LPL 更大，且随着d增加而变大。这两种状态之间的交叉发生在p越过阈值错误率 pthp_{th}pth 时：对于 p<pthp < p_{th}p<pth，逻辑错误率随d近似指数下降，而对于 p>pthp > p_{th}p>pth，PLP_LPL 随d增加。在图22中，阈值率是 pth=0.57%p_{th} = 0.57\%pth=0.57%。

对于错误率 p<pthp < p_{th}p<pth，模拟表明逻辑错误率随p按幂律 PL∼pdeP_L \sim p^{d_e}PL∼pde 缩放，其中我们定义奇数d的错误维度为

de≡(d+1)/2.d_e \equiv (d+1)/2.de≡(d+1)/2.

对于偶数d，我们向下取整，所以 de=d/2d_e = d/2de=d/2。使用此，错误率 PLP_LPL 近似为

PL≈0.03(p/pth)de.P_L \approx 0.03(p/p_{th})^{d_e}.PL≈0.03(p/pth)de.

9.1 逻辑错误率的统计模型

错误率缩放可以用一个简单的模型来理解。

在图23a中，我们展示了报告错误的两个measure-Z量子比特，用字母E标记。图23b和c显示了可能生成此错误的两组数据量子比特错误：要么两个数据量子比特有X错误（b），要么其他三个数据量子比特有X错误（c）。这些事件对测量量子比特看起来相同。一般来说，对于 d×dd \times dd×d 大小的阵列，n个实际错误可以看起来像 d−nd - nd−n 个错误并被误识别为后者；如果 d−nd - nd−n 小于n，则错误识别算法会犯此错误，因为 d−nd - nd−n 个错误更可能。对于距离d的阵列，当 de≡(d+1)/2d_e \equiv (d+1)/2de≡(d+1)/2 个错误发生并被错误地识别为 (d−1)/2(d-1)/2(d−1)/2 个错误时，发生最多的此类识别错误。这发生的速率按 pdep^{d_e}pde 缩放。这解释了图22和方程(90)中看到的一般缩放。这强调了表面码中的主要结果，即量子比特错误的误识别导致逻辑错误，且大的d阵列比小阵列更不容易出错（当在错误率阈值以下运行时）。

逻辑错误率可以使用统计论证来估计。如果错误链是互补的，如图23所示，它们将给出相同的测量结果：两条错误链是互补的，如果它们的乘积是一个跨越阵列并与所有稳定子对易的链（换句话说，互补链的乘积是一个逻辑算符，或等效于逻辑算符）。由于较短错误链更可能，我们只考虑跨越阵列的最小长度链。这些有d个算符，可以在d个数据量子比特行中的任何一个跨越阵列。最可能的错误发生在长度为 de=(d+1)/2d_e = (d+1)/2de=(d+1)/2 的错误链上，这些链与长度为 (d−1)/2(d-1)/2(d−1)/2 的错误链互补。给定行中 ded_ede 重错误的可能数量为 d(d−1)⋯de/de!d(d-1)\cdots d_e/d_e!d(d−1)⋯de/de!。给定每步错误率p，每轮单个错误率为 pe≈8pp_e \approx 8ppe≈8p，因为每轮有八步。这些统计论证的总 XLX_LXL 错误率 PLP_LPL 为

PL=d×d!(de−1)!de!×pede,P_L = d \times \frac{d!}{(d_e-1)!d_e!} \times p_e^{d_e},PL=d×(de−1)!de!d!×pede,

其中因子d考虑了阵列中的d个独立行。此预测的图示在图22b中，与图22a中更完整的模拟以相同方式缩放。

我们可以估计获得期望逻辑错误率所需的量子比特数量。使用方程(90)表示错误概率，我们在图24中绘制了数据量子比特和测量量子比特的总数 nq=(2d−1)2n_q = (2d-1)^2nq=(2d−1)2 与归一化到阈值的每步错误率 p/pth<1p/p_{th} < 1p/pth<1 的关系，对应三个逻辑错误率 PLP_LPL 值。我们发现当p接近阈值 pthp_{th}pth 时，nqn_qnq 迅速增加。对于99.9%的均匀门保真度（p=10−3p = 10^{-3}p=10−3），我们有 p/pth=0.18p/p_{th} = 0.18p/pth=0.18。在这种情况下，逻辑量子比特需要包含 103−10410^3 - 10^4103−104 个物理量子比特才能实现低于 10−14−10−1510^{-14} - 10^{-15}10−14−10−15 的逻辑错误率，刚好足以以合理的成功概率执行500位数字的Shor算法。

类似的讨论适用于随时间发生的错误，而不是迄今为止我们讨论的空间关联错误。特定时间错误模式将遭受与方程(91)中相同的缩放的误识别，所以我们需要大致相同的时间距离d（以完整表面码循环测量）与空间距离来获得相同的逻辑错误率。因此 d=5d = 5d=5 的阵列需要执行表面码循环五次，以获得时间中相同的错误距离。见文献[56]。

图24 ：每个逻辑量子比特的物理量子比特估计数量 nqn_qnq 作为每步错误率p的函数，归一化到阈值错误率 pthp_{th}pth。这针对不同逻辑错误率 PLP_LPL 绘制。图来自文献(Fowler, Mariantoni, Martinis and Cleland, 2012a)。

9.2 不同错误类别的逻辑错误率

对于某些类型的错误，逻辑错误比其他错误更频繁发生。我们可以通过它们对逻辑错误率的近似影响来分类错误。数据量子比特上的错误，主要是被错误X、Y或Z操作干扰的恒等（"空闲"）操作，称为"0类"错误。每表面码循环有四个空闲步骤。发生在测量量子比特上的错误，即初始化、测量和Hadamard操作，称为"1类"错误。每个measure-X量子比特每循环有四个可能的1类错误，每个measure-Z有两个可能。因此每表面码循环平均有三次1类错误机会。最后，测量量子比特-数据量子比特CNOT操作中的错误称为"2类"错误。每表面码循环有四次2类错误机会。

分别计算每个错误类别的逻辑错误率 PLP_LPL 的模拟（假设其他错误类别不发生）如图25所示。逻辑错误率对2类错误最敏感，其每步阈值为1.25%（每循环阈值约5%）：CNOT需要精确执行。

总体逻辑错误率对三类错误同时发生的依赖性如图26所示，其中我们显示给出总逻辑错误率 PL=0.02P_L = 0.02PL=0.02 的错误率 (p0,p1,p2)(p_0, p_1, p_2)(p0,p1,p2) 的等高线，大约阈值时 PLP_LPL 的值。此图显示0类和2类错误对 PLP_LPL 有大致相等的影响，而 PLP_LPL 对1类错误的敏感性大约低五倍。

回到一般错误率讨论，我们看到表面码能够处理高达阈值 pth=0.57%p_{th} = 0.57\%pth=0.57% 的每步物理量子比特错误率，同时保留阵列中逻辑态的完整性。

10 创建逻辑量子比特

我们知道如何从 d×dd \times dd×d 的表面码"样本"创建逻辑量子比特，并且我们已经展示了如何构建距离d的逻辑 XLX_LXL 和 ZLZ_LZL 算符，作为跨越阵列的单个量子比特X和Z算符的链（乘积），XLX_LXL 和 ZLZ_LZL 与所有稳定子对易。然而，这种构造只给我们一个逻辑量子比特。要添加更多逻辑量子比特，我们需要认识到量子比特自由度来自表面码中的边界；对于我们的"样本"，外边界提供了所需的自由度。然而，我们可以在样本内部创建更多边界，换句话说我们可以在表面码织物中创建孔。孔，在已发表文献中称为缺陷，通过简单地关闭一个或多个内部measure-X和measure-Z量子比特来创建------这里，"关闭"意味着孔内的测量量子比特不再执行其稳定子测量循环；量子比特没有物理移除或以其他方式干扰。

只要我们保留所需的纠错保护距离d，我们就可以用这种方式创建任意数量的逻辑量子比特，每个都有其各自的逻辑算符。我们稍后将会看到，这些"内部"量子比特还提供了一种创建受表面码稳定子循环保护的逻辑受控非门的方法。

在图27中，我们展示了一种方法，关闭单个measure-Z量子比特，从而创建一个孔。由于Z-cut稳定子不再执行其表面码循环，释放对其邻近数据量子比特乘积 ZaZbZcZdZ_a Z_b Z_c Z_dZaZbZcZd 的约束，我们在表面码阵列中创建了两个额外的自由度。这些自由度可以以与我们操作先前阵列量子比特类似的方式操作，通过定义反对易的逻辑算符 XLX_LXL 和 ZLZ_LZL。我们称孔为"Z-cut孔"，与其对应的量子比特称为"Z-cut量子比特"。

在图中，Z-cut孔靠近阵列的X边界。孔被measure-X量子比特包围，换句话说创建Z-cut孔创建了一个内部X边界。我们定义逻辑X算符为 XL=X1X2X3X_L = X_1 X_2 X_3XL=X1X2X3，它将阵列的外X边界与孔的内部X边界连接起来。此逻辑算符是一条算符链，成对穿过每个Z稳定子，所以它与阵列中所有Z稳定子对易，并且显然也与所有X稳定子对易。我们还定义逻辑Z算符为 ZL=Z3Z4Z5Z6Z_L = Z_3 Z_4 Z_5 Z_6ZL=Z3Z4Z5Z6，它包括围绕Z-cut孔的Z算符环。这些Z算符成对穿过每个X稳定子，所以与每个X稳定子对易，并且显然也与所有Z稳定子对易。此算符环不受Z稳定子本征态约束，如同没有Z-cut孔时那样，所以此算符可以以非平凡方式改变阵列的静息态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩。

XLX_LXL 链和 ZLZ_LZL 环共享一个数据量子比特，图27中的编号3。这两个算符因此反对易，如你可以轻易向自己证明的。你还可以轻易证明 XL2=ZL2=IX_L^2 = Z_L^2 = IXL2=ZL2=I，我们可以定义 YL=ZLXLY_L = Z_L X_LYL=ZLXL。我们因此创建了一组与Z-cut孔相关的反对易单量子比特Bloch算符，所以Z-cut孔是一个逻辑量子比特。

我们注意到，如果表面码样本的外周长是单个Z边界，那么将无法为Z-cut孔构建适当的 XLX_LXL 链。等效地，阵列中所有Z稳定子的乘积将固定 ZLZ_LZL 的值，所以在Z边界样本中创建Z-cut孔不会创建任何额外的自由度：至少需要一个X边界。注意此量子比特的距离d是 d=3d = 3d=3，受限于从孔到样本边界的 XLX_LXL 链长度。通过将孔移动一个稳定子单元远离阵列边界，距离可以增加到 d=4d = 4d=4。然而d然后将受限于Z-cut孔的大小，将 ZLZ_LZL 算符限制为四个算符的乘积。关闭孔中更多Z稳定子将可能获得更大的距离量子比特。单个Z-cut量子比特在文献中称为光滑缺陷或对偶缺陷。

可以通过关闭单个measure-X量子比特以类似方式形成X-cut量子比特，在具有至少一个Z边界的阵列中；此逻辑量子比特的 ZLZ_LZL 算符则是从阵列Z边界到关闭measure-X量子比特创建的内部Z边界的Z算符链，XLX_LXL 算符是围绕X-cut孔的X比特翻转环。X-cut量子比特在已发表文献中称为粗糙缺陷或原始缺陷。

通过成对创建量子比特，即创建两个Z-cut或两个X-cut量子比特，可以使此概念更一般化。这些成对量子比特的逻辑算符然后通过链接量子比特的算符链创建（Z-cut量子比特的X链，X-cut量子比特的Z链），结合围绕孔的算符环（Z-cut量子比特的Z环，X-cut量子比特的X环）。通过关闭两个measure-Z量子比特实现的"双Z-cut量子比特"示例如图28所示。创建这两个Z-cut孔为阵列增加了四个额外的自由度。我们为上面的（第一个）Z-cut孔定义 XL1X_{L1}XL1 和 ZL1Z_{L1}ZL1，为下面的（第二个）Z-cut孔定义 XL2X_{L2}XL2 和 ZL2Z_{L2}ZL2，如图所示。这四个线性独立算符操作所有四个自由度，每个逻辑算符对 (XLj,ZLj)(X_{Lj}, Z_{Lj})(XLj,ZLj) 与另一对对易但与自身反对易。

我们可以通过将 XL1X_{L1}XL1 替换为乘积 XL1XL2X_{L1} X_{L2}XL1XL2 来一起操作两个量子比特孔；这与 ZL1Z_{L1}ZL1 和 ZL2Z_{L2}ZL2 都反对易，并且与 XL2X_{L2}XL2 一起提供与 XL1X_{L1}XL1 和 XL2X_{L2}XL2 相同的功能。现在我们定义一个链接两个量子比特孔的新 XLX_LXL 算符，如图28所示；这是三个数据量子比特X算符的乘积，链接上量子比特的内部X边界到下量子比特的内部X边界。注意 XLXL1XL2X_L X_{L1} X_{L2}XLXL1XL2 等于这些算符包围的所有稳定子的乘积（这些稳定子在图28中有黑色轮廓）。因此，如果我们将 XL1XL2X_{L1} X_{L2}XL1XL2 乘以所有这些稳定子，结果是 XLX_LXL，所以 XLX_LXL 等效于 XL1XL2X_{L1} X_{L2}XL1XL2 至 ±1\pm 1±1（符号等于所有包围稳定子的乘积）。因此我们可以用 XLX_LXL 替换 XL1XL2X_{L1} X_{L2}XL1XL2。

我们现在有算符集 XL,XL2,ZL1,ZL2{X_L, X_{L2}, Z_{L1}, Z_{L2}}XL,XL2,ZL1,ZL2，其中逻辑X算符彼此对易，逻辑Z算符也是如此，但 XLX_LXL 与 ZL1Z_{L1}ZL1 和 ZL2Z_{L2}ZL2 都反对易；XL2X_{L2}XL2 只与 ZL2Z_{L2}ZL2 反对易。

然而，我们只对使用双量子比特中的两个自由度感兴趣，两个可以用"局部"算符链操作的（不延伸到样本边缘的）。因此我们将 XLX_LXL 与 ZL1Z_{L1}ZL1 或 ZL2Z_{L2}ZL2 一起使用。如果我们选择使用 ZL2≡ZLZ_{L2} \equiv Z_LZL2≡ZL，并定义 YL=ZLXLY_L = Z_L X_LYL=ZLXL，我们有一个完整的逻辑量子比特算符集 XL,ZL,YL{X_L, Z_L, Y_L}XL,ZL,YL。通过将自己限制于这组逻辑算符，我们正在操作两个量子比特孔提供的一半自由度。因此实际上我们在操作单个逻辑量子比特。我们以通常方式写此逻辑量子比特的态，例如 α∣gL⟩+β∣eL⟩\alpha|g_L\rangle + \beta|e_L\rangleα∣gL⟩+β∣eL⟩。

此概念提供的优势在于，现在我们的双Z-cut量子比特可以仅使用局部算符链来操作：我们不再需要构建链接量子比特到表面码片段边缘的链。当我们查看量子比特对之间的编织操作时，这将非常显著。

我们可以以类似方式创建双X-cut量子比特，通过关闭两个measure-X量子比特。双Z-cut和双X-cut量子比特类型都显示在图29中。双X-cut量子比特的逻辑算符以类似方式定义：ZLZ_LZL 是链接两个X-cut孔的链，XL1X_{L1}XL1 或 XL2X_{L2}XL2 是围绕一个或另一个X-cut孔的算符环。很容易证明这些反对易。

正如我们稍后将会看到的，两种不同类型的逻辑量子比特（X-cut和Z-cut）都需要执行提供表面码中逻辑CNOT操作的拓扑编织变换：只有混合量子比特类型之间的编织才提供所需功能。然而，如下所讨论的，可以使用X-cut量子比特作为中介，在两个Z-cut量子比特之间执行拓扑CNOT；类似地，可以使用Z-cut作为中介，在两个X-cut量子比特之间执行CNOT。因此，任意量子计算可以使用大部分一种逻辑量子比特来完成，另一种量子比特类型仅以辅助角色出现。

我们一直在讨论的逻辑量子比特的纠错保护距离仅为 d=3d = 3d=3，意味着这些相对不耐错。通过将两个孔远离一个表面码单元格，距离增加到 d=4d = 4d=4，受限于 ZLZ_LZL 或 XLX_LXL 环的长度；与孔距离并行增加孔的大小将进一步增加距离d，只要在空间上增加的同时在时间上重复测量d次。时间上的重复提供了对measure-Z和measure-X量子比特测量循环中发生的错误的保护，例如，measure-Z表面码循环中的孤立错误将通过重复测量循环检测，提供等同于空间中距离d的时间距离d。

11 逻辑量子比特的初始化与测量

如何初始化和测量逻辑量子比特？我们描述两种初始化逻辑态的方法，然后两种测量态的方法。

11.1 初始化

有两种不同的方法来初始化逻辑量子比特态："简单"方式和"困难"方式。简单方法是将量子比特初始化到量子比特切割的本征态，所以对于X-cut量子比特，简单初始化处于 ∣+⟩L|+\rangle_L∣+⟩L 或 ∣−⟩L|-\rangle_L∣−⟩L 本征态，即 XLX_LXL 的本征态，而对于Z-cut量子比特，简单初始化处于 ∣0⟩L|0\rangle_L∣0⟩L 或 ∣1⟩L|1\rangle_L∣1⟩L 本征态。这在图30中为X-cut量子比特做了说明，从没有切割的2D阵列开始，立即进入一个具有双X-cut量子比特的阵列，通过关闭两个measure-X量子比特创建两个X-cut孔。如果我们将 XLX_LXL 定义为围绕上量子比特孔的环，量子比特的初始态是关闭前上measure-X量子比特的测量结果（采样和投票d次以提供纠错保护）。如果初始态不是期望的态，我们可以应用 ZLZ_LZL 相位翻转以获得期望的态。

另一种是对X-cut量子比特执行 ZLZ_LZL 基中的"困难"初始化，即初始化量子比特到 ∣0⟩L|0\rangle_L∣0⟩L 或 ∣1⟩L|1\rangle_L∣1⟩L。这可以在 XLX_LXL 基中初始化后使用逻辑Hadamard完成。然而，逻辑Hadamard有些复杂，正如我们稍后将会看到的；实际上直接在 ZLZ_LZL 基中初始化更简单。这在图31中展示。从完全稳定的阵列开始，一列X稳定子被关闭，每列的每个端点成为两个量子比特孔之一。边界条带的Z稳定子也从测量四个相邻数据量子比特切换到测量三个量子比特。在图31b中，有六个Z稳定子从四端切换到三端操作。注意稳定子测量仍然全部对易，如你可以检查的。三个孤立数据量子比特（图31中编号1、2和3）沿Z测量一次以维持纠错，然后数据量子比特被设置为图31c中的基态 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩。将这三个量子比特设置为基态确保产生的静息态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 将处于 ZL=Z1Z2Z3Z_L = Z_1 Z_2 Z_3ZL=Z1Z2Z3 算符的逻辑基态。最后，条带内的两个X稳定子被重新打开，三端Z稳定子切换回四端测量，完成过程。如果改为期望 ∣1⟩L|1\rangle_L∣1⟩L，则应用 XLX_LXL（在软件中）比特翻转逻辑量子比特。

注意在初始化结束时重新打开的两个X稳定子的投影测量将使三个数据量子比特处于 ZLZ_LZL 的+1本征态，换句话说 ∣0⟩L|0\rangle_L∣0⟩L 本征态，即使数据量子比特本身不再处于其单独的基态 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩。我们可以这样看：基态重置后，静息态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 被变换为 ∣ψ′⟩=∣000⟩⊗∣ϕ⟩|\psi'\rangle = |000\rangle \otimes |\phi\rangle∣ψ′⟩=∣000⟩⊗∣ϕ⟩，其中 ∣000⟩|000\rangle∣000⟩ 是三个数据量子比特的态，∣ϕ⟩|\phi\rangle∣ϕ⟩ 是阵列中所有其他数据量子比特的态。态 ∣ψ′⟩|\psi'\rangle∣ψ′⟩ 是 ZLZ_LZL 的+1本征态，但不是所有X稳定子的本征态，如你可以轻易验证的。然而，我们知道 ZLZ_LZL 与所有X稳定子对易，所以存在 ZLZ_LZL 和这些稳定子的共同本征态。态 ∣ψ′⟩|\psi'\rangle∣ψ′⟩ 可以写成这些X稳定子本征态的叠加，它们都是 ZLZ_LZL 的+1本征态，所以逻辑量子比特保持在 ∣0⟩L|0\rangle_L∣0⟩L。X稳定子测量将 ∣ψ′⟩|\psi'\rangle∣ψ′⟩ 投影到这些本征态之一，留下一个态 ∣ψ′′⟩|\psi''\rangle∣ψ′′⟩，它仍然是 ZLZ_LZL 的+1本征态，但也是阵列中所有X（和Z）稳定子的本征态。

初始化Z-cut量子比特完全类似于初始化X-cut量子比特。

11.2 测量

测量逻辑量子比特几乎与初始化相反。与初始化一样，逻辑测量可以分为"简单"或"困难"。对于简单测量，量子比特孔中的测量量子比特简单地打开，稳定子测量将逻辑量子比特投影到稳定子本征态，稳定子本征值等于逻辑量子比特测量结果（在完成d个表面码循环和投票后）。对于图32a所示的X-cut量子比特，我们打开孔中的两个measure-X量子比特，其测量将邻近数据量子比特投影到 XaXbXcXdX_a X_b X_c X_dXaXbXcXd 乘积本征态。这构成逻辑量子比特的 XLX_LXL 测量，XLX_LXL 本征值等于 XabcdX_{abcd}Xabcd 的（时间稳定的）值。

对于困难测量，用于例如测量Z基中的X-cut量子比特，我们使用图32所示的测量过程。

完全类似的过程用于执行 ZLZ_LZL 的"简单"测量或X-cut量子比特的 XLX_LXL "困难"测量。

12 移动量子比特

我们现在转向用于纠缠逻辑量子比特的非常有趣的方法。这是通过在二维阵列中物理移动量子比特孔来完成的，提供了表面码的核心和独特功能。通过将一个双孔量子比特的一个孔穿过第二个量子比特的两个孔之间，将逻辑量子比特"编织"在一起，你对两个量子比特执行逻辑CNOT！

我们首先介绍如何在保持表面码纠错保护的同时移动逻辑量子比特孔。与移动量子比特相关的逻辑算符的相应变换在海森堡表象中描述。我们简要回顾量子力学的海森堡表象（更完整的介绍见例如[57]，以及与量子计算的关系见[58]）。

许多过程包括酉变换U，满足 UU†=U†U=IUU^\dagger = U^\dagger U = IUU†=U†U=I。这些包括基变换、表示变换和时间演化。在薛定谔表象中，这些变换应用于波函数，所以 ∣ψ⟩⇒U∣ψ⟩|\psi\rangle \Rightarrow U|\psi\rangle∣ψ⟩⇒U∣ψ⟩，算符保持静态。因此例如波函数是时间依赖的，源于演化算符 U(t)U(t)U(t) 的应用，而算符是时间独立的。内积在酉变换下不变。

在薛定谔表象中，算符A的矩阵元根据下式变换

⟨ϕ∣A∣ψ⟩⇒(⟨ϕ∣U†)A(U∣ψ⟩)=⟨ϕ∣(U†AU)∣ψ⟩.\langle \phi|A|\psi\rangle \Rightarrow (\langle \phi|U^\dagger) A (U|\psi\rangle) = \langle \phi| (U^\dagger A U) |\psi\rangle.⟨ϕ∣A∣ψ⟩⇒(⟨ϕ∣U†)A(U∣ψ⟩)=⟨ϕ∣(U†AU)∣ψ⟩.

由于一般 A≠U†AUA \neq U^\dagger A UA=U†AU，矩阵元可以在酉变换下改变，即使算符不这样做。方程(92)的第二行提供了海森堡表象的基础：我们可以等效地假设波函数 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 在酉变换U下不改变，相反我们修改算符 A⇒A′=U†AUA \Rightarrow A' = U^\dagger A UA⇒A′=U†AU。因此在海森堡表象中，在基变换下修改的是算符而不是波函数，算符是时间依赖的。任何可观测量的演化将在海森堡表象中与薛定谔表象中相同，因此两种表象之间没有可检测的差异：因此从测量结果的角度来看，它们完全等效。

在表面码中，移动和编织量子比特是影响物理量子比特阵列以及逻辑算符的变换。物理变换不是酉的，因为这些涉及数据量子比特的投影测量，但逻辑算符的变换是酉的，并且最容易使用海森堡表象描述。

12.1 单胞逻辑量子比特移动

在图33中，我们展示了如何在表面码阵列中将Z-cut量子比特孔向下移动一个单元格。逻辑量子比特具有逻辑算符 XL=X1X2X3X_L = X_1 X_2 X_3XL=X1X2X3 和 ZL=Z3Z4Z5Z6Z_L = Z_3 Z_4 Z_5 Z_6ZL=Z3Z4Z5Z6，其中 ZLZ_LZL 是围绕下Z-cut孔的Z算符环。

我们首先描述移动中涉及的物理操作，需要两个完整的表面码循环。首先，我们停止测量我们要移动的量子比特孔正下方的Z稳定子。这意味着数据量子比特6将不被Z稳定子测量（见图33）。邻近数据量子比特6的两个measure-X量子比特从四端测量转换为三端测量，在其测量循环中排除数据量子比特6。然后执行下一个表面码循环，在此期间数据量子比特6用现在空闲的Z稳定子在X中单独测量，产生其本征值 X6X_6X6；此测量用于跟踪错误和监控重新定义的 XLX_LXL 算符的符号。完成此循环后，原始下Z-cut孔中的measure-Z量子比特被打开，因此开始执行正常测量循环。监控数据量子比特6的两个measure-X量子比特也切换回四端测量。执行下一个表面码循环，完成移动的物理操作。建立时间上所有稳定子值需要额外的 d−1d-1d−1 个表面码循环。此单胞移动总共需要 1+d1+d1+d 个表面码循环。

在执行物理操作的同时，需要重新定义两个逻辑算符 ZLZ_LZL 和 XLX_LXL 以保留其功能。我们重新定义 ZLZ_LZL，使其包围两个稳定子单元格，其原始单元格加上其下方的单元格，通过将 ZLZ_LZL 乘以构成量子比特孔下方Z稳定子的四个Z算符 Z6Z7Z8Z9Z_6 Z_7 Z_8 Z_9Z6Z7Z8Z9。我们称新的扩展算符为 ZLeZ_L^eZLe，由下式给出

ZLe=(Z3Z4Z5Z6)×(Z6Z7Z8Z9)=Z3Z4Z5Z7Z8Z9,Z_L^e = (Z_3 Z_4 Z_5 Z_6) \times (Z_6 Z_7 Z_8 Z_9) = Z_3 Z_4 Z_5 Z_7 Z_8 Z_9,ZLe=(Z3Z4Z5Z6)×(Z6Z7Z8Z9)=Z3Z4Z5Z7Z8Z9,

如图33a所示。我们完成移动的第一个表面码循环，关闭下Z稳定子并测量数据量子比特6。我们通过将其乘以 X6X_6X6 来重新定义 XLX_LXL 算符，得到

XL′=X1X2X3X6;X'_L = X_1 X_2 X_3 X_6;XL′=X1X2X3X6;

见图33b。

原始量子比特孔稳定子被重新打开，移动的第二个表面码循环完成。ZLeZ_L^eZLe 算符通过将其乘以刚刚打开的由 Z3Z4Z5Z6Z_3 Z_4 Z_5 Z_6Z3Z4Z5Z6 构成的稳定子的四个Z算符来重新定义，得到

ZL′=(Z3Z4Z5Z6)×ZLe=(Z3Z4Z5Z6)×(Z3Z4Z5Z7Z8Z9)=Z6Z7Z8Z9.Z'_L = (Z_3 Z_4 Z_5 Z_6) \times Z_L^e = (Z_3 Z_4 Z_5 Z_6) \times (Z_3 Z_4 Z_5 Z_7 Z_8 Z_9) = Z_6 Z_7 Z_8 Z_9.ZL′=(Z3Z4Z5Z6)×ZLe=(Z3Z4Z5Z6)×(Z3Z4Z5Z7Z8Z9)=Z6Z7Z8Z9.

两个新逻辑算符 XL′X'_LXL′ 和 ZL′Z'_LZL′ 如图33c所示。注意，如所要求的，它们仍然共享单个数据量子比特并与所有稳定子对易。

12.2 副产品算符

在执行移动变换时，通过乘以 X6X_6X6 扩展 XLX_LXL 可以产生与 XLX_LXL 符号不同的扩展 XL′X'_LXL′；如果测量结果 X6=−1X_6 = -1X6=−1，就会发生这种情况。

类似地，最终的 ZL′Z'_LZL′ 可以根据移动中涉及的两个Z稳定子测量结果的乘积与 ZLZ_LZL 符号不同。给定变换前的初始态 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩，这产生

∣ψ⟩⇒XL′pXXL′pZZL∣ψ′⟩,|\psi\rangle \Rightarrow X'^ {p_X}_L X'^ {p_Z}_L Z_L |\psi'\rangle,∣ψ⟩⇒XL′pXXL′pZZL∣ψ′⟩,

其中 ∣ψ′⟩|\psi'\rangle∣ψ′⟩ 是期望的态，如果没有逻辑算符中的符号变化，就会产生这种态。因此我们必须对结果态应用算符乘积 XL′pXZL′pZX'^ {p_X}_L Z'^ {p_Z}_LXL′pXZL′pZ 以重新获得期望的态 ∣ψ′⟩|\psi'\rangle∣ψ′⟩。

这些额外的比特和相位翻转算符称为"副产品算符"。幂 pXp_XpX 和 pZp_ZpZ 由移动期间 XLX_LXL 是否发生符号变化决定。副产品算符 ZL′pZZ'^ {p_Z}_LZL′pZ 通过其反对易关系纠正变换后的 XL′X'_LXL′ 的符号，副产品算符 XL′pXX'^ {p_X}_LXL′pX 类似地纠正 ZL′Z'_LZL′。注意这些算符实际上并不应用，而是在控制软件中跟踪。因此这些纠正算符仅在逻辑量子比特被测量时应用，在需要时反转测量的符号。两个纠正 XLX_LXL 或两个纠正 ZLZ_LZL 当然会抵消。

我们还可以看看用稳定子和逻辑量子比特子空间来描述二维阵列波函数 ∣ψ⟩|\psi\rangle∣ψ⟩ 时会发生什么。移动前，我们有 ∣ψ⟩=∣Q⟩∣qL⟩|\psi\rangle = |Q\rangle|q_L\rangle∣ψ⟩=∣Q⟩∣qL⟩；移动后，我们有 XL′pXZL′pZ∣ψ′⟩=XL′pXZL′pZ∣Q′⟩∣qL′⟩X'^ {p_X}_L Z'^ {p_Z}_L|\psi'\rangle = X'^ {p_X}_L Z'^ {p_Z}_L|Q'\rangle|q'_L\rangleXL′pXZL′pZ∣ψ′⟩=XL′pXZL′pZ∣Q′⟩∣qL′⟩，其中 ∣Q′⟩∣qL′⟩|Q'\rangle|q'_L\rangle∣Q′⟩∣qL′⟩ 是期望的态。

副产品算符只影响逻辑态，所以我们可以将方程(96)的等效形式写为

∣qL⟩→XL′pXZL′pZ∣qL′⟩,|q_L\rangle \rightarrow X'^ {p_X}_L Z'^ {p_Z}_L |q'_L\rangle,∣qL⟩→XL′pXZL′pZ∣qL′⟩,

其中 ∣qL′⟩|q'_L\rangle∣qL′⟩ 是期望的逻辑态。

12.3 多胞逻辑量子比特移动

我们可以轻易将单胞移动推广到多胞移动，使用与单胞移动相同数量的表面码时钟循环，将逻辑量子比特孔平移过无限数量的单元格。多胞移动通过将单胞移动扩展为连续条带的单元格来执行。图34展示了Z-cut量子比特孔的多胞移动。多胞移动的细节在图标题中给出。

简要地，ZLZ_LZL 通过将其乘以逻辑量子比特要移动穿过的所有稳定子来扩展，给出扩展的 ZLeZ_L^eZLe：

ZLe=(Zs2Zs3⋯Zs,n)ZL.Z_L^e = (Z_{s2} Z_{s3} \cdots Z_{s,n}) Z_L.ZLe=(Zs2Zs3⋯Zs,n)ZL.

这里每个稳定子算符 ZsjZ_{sj}Zsj 代表包围第j个稳定子单元格的四个数据量子比特上的四个Z算符的乘积。然后关闭这些稳定子，并且邻近条带的四端X稳定子切换到三端测量。条带中未稳定化的数据量子比特都在X中测量，XLX_LXL 通过将其乘以这些量子比特上所有X算符来扩展，

XL′=(X1⋯Xn−1)XL.X'L = (X_1 \cdots X{n-1}) X_L.XL′=(X1⋯Xn−1)XL.

我们通过然后将 ZLeZ_L^eZLe 乘以所有稳定子（除了新移动的量子比特孔中的那个）来完成 ZLZ_LZL 的移动，

ZL′=(Zs1Zs2⋯Zs,n−1)(Zs2⋯Zs,n)ZL=(Zs1⋯Zs,n−1)(Zs2⋯Zs,n)ZL=Zs1Zs,nZL,Z'L = (Z{s1} Z_{s2} \cdots Z_{s,n-1})(Z_{s2} \cdots Z_{s,n}) Z_L = (Z_{s1} \cdots Z_{s,n-1})(Z_{s2} \cdots Z_{s,n}) Z_L = Z_{s1} Z_{s,n} Z_L,ZL′=(Zs1Zs2⋯Zs,n−1)(Zs2⋯Zs,n)ZL=(Zs1⋯Zs,n−1)(Zs2⋯Zs,n)ZL=Zs1Zs,nZL,

其中我们使用 Zsj2=IZ_{sj}^2 = IZsj2=I 的事实以及 ZL=Zs1Z_L = Z_{s1}ZL=Zs1，即定义 Zs1Z_{s1}Zs1 的四个Z数据量子比特算符集。移动后，我们等待额外的 d−1d-1d−1 个表面码循环以在时间上建立所有稳定子值。

完全类似的过程用于移动X-cut逻辑量子比特孔，交换X和Z稳定子和测量的角色。

我们注意到多胞移动可以非常快速地完成，因为很长的切割可以在表面码循环的单个步骤中完成，并且量子比特孔在 d+1d+1d+1 个表面码循环中移动，与单胞移动相同。因此这实现了逻辑量子比特之间的长距离相互作用和通信，一个非常强大的能力。

12.4 移动变换中的错误

以前我们讨论了表面码稳定子被操作时的错误处理。非常类似的讨论适用于移动变换期间发生的错误，但有一些细节上的差异。移动期间被留下的数据量子比特可能遭受Z和X错误；X错误没有影响，因为它们在移动期间被单个数据量子比特X测量擦除。Z错误将通过计算每个数据量子比特X测量与其对应的三端X稳定子测量的乘积来检测，并将此乘积与该稳定子之前的四端X测量进行比较。边界切割的数据量子比特上的Z错误由监控这些数据量子比特的两个X稳定子检测和定位。这些数据量子比特之一的X错误改变监控该数据量子比特的单个Z稳定子的符号，但此错误可以通过等待d个表面码循环与稳定子测量错误区分开。

13 编织变换与逻辑CNOT

"编织变换"结合了一对涉及一个逻辑量子比特两个孔之一的多胞移动。移动孔沿着闭合路径移动，第一次移动将孔沿环路移动一部分，第二次移动完成环路。与移动变换一样，编织用其对逻辑量子比特算符的影响来描述。编织变换可以纠缠两个逻辑量子比特，以一种使编织变换等效于逻辑CNOT的方式；这是其在表面码中最重要的功能。

13.1 单个逻辑量子比特的编织变换

我们首先描述单个逻辑量子比特的编织变换，使用Z-cut量子比特。在图35中，我们展示了 XLX_LXL 算符的变换，在图36中展示了 ZLZ_LZL 算符的变换。对于此示例，编织变换将量子比特孔沿着仅包围完全稳定化单元格的路径移动。稍后，我们讨论路径包围另一个逻辑量子比特孔时会发生什么。

在图36中，第一步将量子比特孔沿路径移动八个单元格（这可以是总环路单元格数减去阵列距离d之间的任意数量；第一次移动后将孔结束在距起点小于d个单元格处将有效地减少阵列距离）。此移动在第二次移动开始之前完成，意味着移动期间关闭的所有稳定子都已重新打开（除了最后一个单元格）。等待d个表面码循环以捕获第一次移动期间的测量错误后，然后执行第二次多胞移动，将量子比特孔沿路径剩余的四个单元格移动，并将孔返回到起点。编织不能通过单次多胞移动完成，因为这会隔离编织包围的表面码阵列部分。

如可以在图35和36中看到的，编织以不同方式变换两个逻辑算符 XLX_LXL 和 ZLZ_LZL。XLX_LXL 算符是链接两个孔的三个X算符的链（图35a）。如图35b-e所示，此算符在每次移动中扩展，使得第二次移动后，图35e中的 XL′′X''LXL′′ 算符包括三个数据量子比特算符的原始链加上环路 Xloop=Xs1⋯Xs9X{\text{loop}} = X_{s1} \cdots X_{s9}Xloop=Xs1⋯Xs9。此闭合环路仅包围完全稳定的单元格，具有稳定子 Xs1,Xs2,...,Xs9X_{s1}, X_{s2}, \ldots, X_{s9}Xs1,Xs2,...,Xs9，所以 XloopX_{\text{loop}}Xloop 必然是 XloopX_{\text{loop}}Xloop 的本征态，本征值由被包围稳定子的测量结果给出，Xloop=Xs1⋯Xs9X_{\text{loop}} = X_{s1} \cdots X_{s9}Xloop=Xs1⋯Xs9。理解此问题的另一种方式是，算符的闭合环路 XloopX_{\text{loop}}Xloop 可以通过所有被包围的稳定子变形，仅留下测量结果的乘积。

ZLZ_LZL 算符是包围下量子比特孔的量子比特Z算符的环。如图36所示，编织变换交替扩展然后坍缩包围Z-cut孔的算符环，两次移动各一次；除了环路经过的Z稳定子引起的符号变化外，最终的 ZLZ_LZL 环与初始环相同。

XLX_LXL 和 ZLZ_LZL 变换之间的差异是编织如何充当CNOT的关键。

单个量子比特编织变换的详细信息在图35和36的标题中给出。注意在图35和36中，虽然我们分离了影响 XLX_LXL 算符的动作与影响 ZLZ_LZL 的动作，但所有孤立数据量子比特的X测量和Z稳定子的测量都是作为编织的一部分执行的。

13.2 两个量子比特的编织

如果编织路径包围另一个逻辑量子比特孔会发生什么？理解发生的最简单方法是检查编织操作如何变换两个量子比特上的算符。双量子比特算符将是单量子比特算符 XLX_LXL、ZLZ_LZL 和 ILI_LIL 的外积。

作为双量子比特算符的回顾，考虑 XL1⊗ZL2X_{L1} \otimes Z_{L2}XL1⊗ZL2，作用于双量子比特逻辑态 ∣aLbL⟩|a_L b_L\rangle∣aLbL⟩。使用本征态 ∣0⟩L|0\rangle_L∣0⟩L 和 ∣1⟩L|1\rangle_L∣1⟩L，XL1⊗ZL2X_{L1} \otimes Z_{L2}XL1⊗ZL2 可以在标准双量子比特基 ∣0L0L⟩,∣0L1L⟩,∣1L0L⟩,∣1L1L⟩{|0_L 0_L\rangle, |0_L 1_L\rangle, |1_L 0_L\rangle, |1_L 1_L\rangle}∣0L0L⟩,∣0L1L⟩,∣1L0L⟩,∣1L1L⟩ 中表示为矩阵

XL1⊗ZL2=(0110)⊗(100−1)=(10000−1000010000−1).X_{L1} \otimes Z_{L2} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.XL1⊗ZL2=(0110)⊗(100−1)= 10000−1000010000−1 .

编织将每个双量子比特算符变换为某个其他双量子比特算符，取决于具体算符及其出现的顺序（所以 XL⊗ZLX_L \otimes Z_LXL⊗ZL 的变换与 ZL⊗XLZ_L \otimes X_LZL⊗XL 不同）。编织的结果取决于我们正在编织的量子比特类型；我们在此专注于编织Z-cut量子比特穿过X-cut量子比特，如图37所示。正如我们将看到的，只有Z-cut和X-cut量子比特之间的编织产生等效于逻辑CNOT的算符变换。编织两个Z-cut量子比特或两个X-cut量子比特时不可能获得所需的CNOT变换；我们稍后讨论这些情况。

在图37中，Z-cut量子比特在图的上部，编织移动此量子比特的下Z-cut孔围绕闭合环路。X-cut量子比特在图的下部，编织将Z-cut孔穿过两个X-cut孔之间，包围上X-cut孔。正如我们稍后展示的，证明编织等效于CNOT只需要证明十六种可能的双量子比特算符组合中的四种正确变换；这些是 XL1⊗IL2X_{L1} \otimes I_{L2}XL1⊗IL2、IL1⊗XL2I_{L1} \otimes X_{L2}IL1⊗XL2、ZL1⊗IL2Z_{L1} \otimes I_{L2}ZL1⊗IL2 和 IL1⊗ZL2I_{L1} \otimes Z_{L2}IL1⊗ZL2。所有其他 XLX_LXL、ZLZ_LZL 和 ILI_LIL 的双量子比特组合的变换可以从这些四种构造。这里我们给出这些变换的简要概述。

XL1⊗IL2⇒XL1⊗XL2X_{L1} \otimes I_{L2} \Rightarrow X_{L1} \otimes X_{L2}XL1⊗IL2⇒XL1⊗XL2 ：图37显示了第一个Z-cut量子比特上的 XL1X_{L1}XL1 的变换，第二个量子比特上没有操作。与空环路编织一样，两次移动中 XL1X_{L1}XL1 算符链的扩展创建一个 XL1′′X''{L1}XL1′′ 算符，除了原始算符链 XL1X{L1}XL1 外，还包括X算符的闭合环路。环路包围X-cut量子比特的上孔。对于空环路编织，我们可以通过所有被包围的单元格移动环路，因为这些单元格都是稳定的，所以环路算符分解为简单的测量结果乘积。这里，我们不能这样做，因为X-cut孔在环路内部且不稳定；相反，我们可以通过每个稳定化单元格变换环路，直到它紧紧包裹X-cut孔。此X算符环路然后等效于 XL2X_{L2}XL2，第二个量子比特的逻辑X操作。XL1′′′X'''{L1}XL1′′′ 中剩余的算符链与编织前的原始 XL1X{L1}XL1 链相同（除了可能的符号变化）。因此我们看到编织将

XL1⊗IL2⇒XL1⊗XL2.X_{L1} \otimes I_{L2} \Rightarrow X_{L1} \otimes X_{L2}.XL1⊗IL2⇒XL1⊗XL2.

IL1⊗XL2⇒IL1⊗XL2I_{L1} \otimes X_{L2} \Rightarrow I_{L1} \otimes X_{L2}IL1⊗XL2⇒IL1⊗XL2：图38显示了此编织变换。将Z-cut量子比特孔编织穿过X-cut量子比特不会从任一量子比特生成缠绕或以其他方式与另一量子比特相互作用的算符链，所以此情况下的编织变换什么都不做（除了符号变化）。因此我们发现

IL1⊗XL2⇒IL1⊗XL2.I_{L1} \otimes X_{L2} \Rightarrow I_{L1} \otimes X_{L2}.IL1⊗XL2⇒IL1⊗XL2.

IL1⊗ZL2⇒ZL1⊗ZL2I_{L1} \otimes Z_{L2} \Rightarrow Z_{L1} \otimes Z_{L2}IL1⊗ZL2⇒ZL1⊗ZL2 ：图39显示了此变换。在图39b中，ZL2Z_{L2}ZL2 如图所示扩展，通过将其乘以虚线框勾勒的稳定子。然后第一个量子比特的孔被移动穿过 ZL2Z_{L2}ZL2 扩展留下的开放路径（图39c）。然后 ZL2Z_{L2}ZL2 乘以虚线框中显示的所有稳定子（图39d），留下围绕第一个量子比特孔的Z算符环路，这正是第一个Z-cut量子比特上的 ZL1Z_{L1}ZL1 操作，以及量子比特2上的原始 ZL2Z_{L2}ZL2，与编织前相比没有变化（除了可能的符号变化）。因此编织执行变换

IL1⊗ZL2⇒ZL1⊗ZL2.I_{L1} \otimes Z_{L2} \Rightarrow Z_{L1} \otimes Z_{L2}.IL1⊗ZL2⇒ZL1⊗ZL2.

ZL1⊗IL2⇒ZL1⊗IL2Z_{L1} \otimes I_{L2} \Rightarrow Z_{L1} \otimes I_{L2}ZL1⊗IL2⇒ZL1⊗IL2：此变换涉及将第一个量子比特孔编织穿过第二个量子比特，拖动Z算符环，如同空环路编织一样，但由于环在两次移动期间保持其闭合形式，它不会生成可以作用于第二个量子比特的算符链或环路，所以编织变换什么都不做（除了符号变化）。因此我们发现

ZL1⊗IL2⇒ZL1⊗IL2.Z_{L1} \otimes I_{L2} \Rightarrow Z_{L1} \otimes I_{L2}.ZL1⊗IL2⇒ZL1⊗IL2.

一般来说，编织变换使由数据量子比特算符的闭合环路构建的逻辑算符保持不变，并且与另一量子比特孔没有编织诱导的相互作用。相比之下，由链接两个量子比特孔的数据量子比特算符开放链构建的逻辑算符最终留下围绕另一量子比特孔的算符环路。不同的编织结果产生，因为第一个逻辑量子比特是Z-cut量子比特，其 XLX_LXL 算符是与第二个量子比特相互作用的开放链，而第二个逻辑量子比特是X-cut量子比特，其 ZLZ_LZL 算符是与第一个量子比特相互作用的开放链。

编织由两次移动变换组成，它们在第一个量子比特的逻辑算符中诱导符号变化，表现为副产品逻辑算符 XL1X_{L1}XL1 和 ZL1Z_{L1}ZL1 作用于阵列波函数，如单胞和多胞移动所讨论的。编织变换还在第二个量子比特的逻辑算符中产生符号变化，即使该量子比特在编织期间未移动。这些符号变化产生作用于阵列波函数的副产品逻辑算符 XL2X_{L2}XL2 和 ZL2Z_{L2}ZL2。

我们现在转向CNOT门的讨论，并明确说明我们详细描述的变换为何确实将编织识别为两个逻辑量子比特之间的CNOT。

13.3 CNOT门

CNOT门是量子计算的基本门。CNOT中的两个量子比特之一作为控制，另一个作为目标。在标准双量子比特基 ∣00⟩|00\rangle∣00⟩、∣01⟩|01\rangle∣01⟩、∣10⟩|10\rangle∣10⟩、∣11⟩|11\rangle∣11⟩ 中，CNOT由 4×44 \times 44×4 实矩阵表示

C=(1000010000010010).C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.C= 1000010000010010 .

如果控制量子比特处于 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩，目标量子比特态不变，而如果控制量子比特处于 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩，目标量子比特经历X比特翻转，交换 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩ 和 ∣1⟩|1\rangle∣1⟩。注意C是厄米的，C†=CC^\dagger = CC†=C，且酉的，CC†=C†C=CC=ICC^\dagger = C^\dagger C = CC = ICC†=C†C=CC=I。

测试潜在CNOT操作的一种方法是将其应用于四个双量子比特基态中的每一个，然后将结果投影测量到四个基态中的每一个。这十六个实验可以与方程(106)中的矩阵进行比较，以验证CNOT已正确实现。这本质上是CNOT的薛定谔表象测试。

等效方法是使用海森堡表象，通过检查CNOT作用引起的各种双量子比特算符的变换。这似乎涉及证明CNOT对所有十六种单量子比特算符对I、X、Y和Z的外积执行正确的变换。事实证明，你只需要证明CNOT正确变换这四种外积：

C†(I⊗X)C=I⊗X,C^\dagger (I \otimes X) C = I \otimes X,C†(I⊗X)C=I⊗X,

C†(X⊗I)C=X⊗X,C^\dagger (X \otimes I) C = X \otimes X,C†(X⊗I)C=X⊗X,

C†(I⊗Z)C=Z⊗Z,C^\dagger (I \otimes Z) C = Z \otimes Z,C†(I⊗Z)C=Z⊗Z,

C†(Z⊗I)C=Z⊗I.C^\dagger (Z \otimes I) C = Z \otimes I.C†(Z⊗I)C=Z⊗I.

其他十二个关系要么是平凡的（I⊗II \otimes II⊗I 不变），或者可以用这些四个变换写出。因此 C†(X⊗X)C=X⊗IC^\dagger (X \otimes X) C = X \otimes IC†(X⊗X)C=X⊗I 与方程(108)相同，如可以通过在方程(108)两边左边乘以 C†C^\daggerC† 右边乘以C，并利用C是酉的事实来看出。诸如 X⊗ZX \otimes ZX⊗Z 的组合根据下式变换

C†(X⊗Z)C=C†(X⊗I)(I⊗Z)C=C†(X⊗I)CC†(I⊗Z)C=(X⊗X)(Z⊗Z)=XZ⊗XZ=Y⊗Y.C^\dagger (X \otimes Z) C = C^\dagger (X \otimes I)(I \otimes Z) C = C^\dagger (X \otimes I) C C^\dagger (I \otimes Z) C = (X \otimes X)(Z \otimes Z) = XZ \otimes XZ = Y \otimes Y.C†(X⊗Z)C=C†(X⊗I)(I⊗Z)C=C†(X⊗I)CC†(I⊗Z)C=(X⊗X)(Z⊗Z)=XZ⊗XZ=Y⊗Y.

涉及Y的其他组合可以使用恒等式 Y=ZXY = ZXY=ZX 来计算；因此

C†(Y⊗I)C=C†(ZX⊗I)C=C†(Z⊗I)(X⊗I)C=C†(Z⊗I)CC†(X⊗I)C=(Z⊗I)(X⊗X)=ZX⊗IX=Y⊗X.C^\dagger (Y \otimes I) C = C^\dagger (ZX \otimes I) C = C^\dagger (Z \otimes I)(X \otimes I) C = C^\dagger (Z \otimes I) C C^\dagger (X \otimes I) C = (Z \otimes I)(X \otimes X) = ZX \otimes IX = Y \otimes X.C†(Y⊗I)C=C†(ZX⊗I)C=C†(Z⊗I)(X⊗I)C=C†(Z⊗I)CC†(X⊗I)C=(Z⊗I)(X⊗X)=ZX⊗IX=Y⊗X.

因此我们可以通过验证它满足方程(107-110)给出的四个关系来验证CNOT实现。然而，这些正是我们为编织得出的四种变换，所以确实编织就是CNOT。

注意完整的编织变换，包括对物理数据量子比特的所有操作，涉及多个投影测量，因此不是酉的。然而，如果我们考虑编织对乘积 ∣Q⟩∣qL⟩|Q\rangle|q_L\rangle∣Q⟩∣qL⟩ 的影响，稳定化态 ∣Q⟩|Q\rangle∣Q⟩ 的变换不是酉的，逻辑态 ∣qL⟩|q_L\rangle∣qL⟩ 的变换确实是酉的。

13.4 两个Z-cut量子比特之间的CNOT

我们只展示了如何使用Z-cut量子比特作为控制、X-cut量子比特作为目标的编织来执行CNOT。我们可以使用图40a-c所示的电路将其扩展为两个Z-cut量子比特之间的CNOT。该电路使用逻辑Z-cut控制量子比特对逻辑Z-cut"目标入"量子比特执行CNOT，Z-cut"目标出"量子比特携带结果。辅助X-cut量子比特是电路中三个逻辑CNOT的目标，所以所有CNOT都是Z-cut和X-cut量子比特之间的编织变换。电路包括两个逻辑测量，结果 MZM_ZMZ 和 MXM_XMX。如果目标入量子比特被测量为处于 ∣+⟩L|+\rangle_L∣+⟩L (∣−⟩L|-\rangle_L∣−⟩L)，MZ=+1(−1M_Z = +1 (-1MZ=+1(−1，那么目标出量子比特在CNOT之前不（确实）有 ZLZ_LZL 应用于它。如果X-cut量子比特被测量为处于 ∣gL⟩|g_L\rangle∣gL⟩ (∣eL⟩|e_L\rangle∣eL⟩)，MX=+1(−1)M_X = +1 (-1)MX=+1(−1)，那么目标在CNOT之后不（确实）有 XLX_LXL 应用于它。

你可以通过使用算符变换来验证此电路正常工作，或者通过用四个输入基态 ∣00⟩|00\rangle∣00⟩、∣01⟩|01\rangle∣01⟩、∣10⟩|10\rangle∣10⟩ 和 ∣11⟩|11\rangle∣11⟩ 测试控制和目标入Z-cut量子比特来替代测试（现在去掉逻辑下标L）。有一个类似的电路用于在两个X-cut量子比特之间执行CNOT，使用Z-cut量子比特作为执行编织的中介。

13.5 单控制多目标CNOT

经常需要实现单控制多目标CNOT；例如，这些出现在用于纯化不完美态的蒸馏电路中，正如我们将在讨论S和T门时看到的。事实证明，这些CNOT实际上不比单控制单目标CNOT更复杂，事实上可以在与两个Z-cut或两个X-cut量子比特之间的CNOT相同数量的表面码循环中实现。我们在此不展示细节，但请读者参考文献，例如文献[27]。

14 Hadamard变换

Hadamard变换是标准量子比特 ∣0⟩|0\rangle∣0⟩、∣1⟩|1\rangle∣1⟩ 基中的单量子比特门，由 2×22 \times 22×2 矩阵表示

H=12(111−1).H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.H=2 1(111−1).

在海森堡表象中，Hadamard将X变换为Z，反之亦然，即

H†XH=Z,H†ZH=X.H^\dagger X H = Z, \quad H^\dagger Z H = X.H†XH=Z,H†ZH=X.

问题18：证明方程(114)中的关系是正确的。

逻辑Hadamard在表面码中实现，如图41、42和43所示；见文献[59]。我们在图41中从 d=7d = 7d=7 的逻辑量子比特阵列开始。接下来在图42a中，我们将目标量子比特隔离在2D阵列的单独片段中。ZLZ_LZL 算符环通过将其乘以片段中的多个稳定子来变换为跨片段链。通过将隔离逻辑量子比特的环加宽为"护城河"，使护城河吞没两个量子比特孔，逻辑量子比特被变换为如图42b-d所示的简单"片段"量子比特，类似于我们前面讨论的 d=5d = 5d=5 阵列量子比特。

逻辑Hadamard的关键现在实现，通过对片段中所有数据量子比特执行物理Hadamard；这交换 XLX_LXL 算符和 ZLZ_LZL，以及交换X和Z稳定子的身份（图42e）。然而，这导致片段中的稳定子与较大2D阵列中的稳定子错位，所以我们然后执行两次交换，从数据量子比特到测量量子比特，然后从测量量子比特到数据量子比特，将片段移动一个稳定子单元格并重新对齐稳定子（图42f）。然后重新创建两个Z-cut孔（图43g），定位使得Hadamard变换的 XLX_LXL 链在每个孔的内部边界结束，ZLZ_LZL 链乘以一组稳定子，使其返回到围绕量子比特孔之一的环。然后将量子比特孔移动到与原始位置对齐（图43h-j），将移动分为两个步骤以在此过程中保持距离d。在最后一步中，量子比特与主阵列重新连接（如图41）。

15 单量子比特 SLS_LSL 和 TLT_LTL 算符

最后，我们需要实现 SLS_LSL 和 TLT_LTL 算符及其伴随。这些算符在标准基中由矩阵表示

SL=(100i),TL=(100eiπ/4).S_L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix}, \quad T_L = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\pi/4} \end{pmatrix}.SL=(100i),TL=(100eiπ/4).

SLS_LSL 门也称为P或相位门，TLT_LTL 是 π/8\pi/8π/8 门。

正如我们将看到的，用于实现 TLT_LTL 的电路是概率性的，一半时间生成 TL†T^\dagger_LTL†。当这种情况发生时，TL†T^\dagger_LTL† 可以通过应用 SLS_LSL 转换为 TLT_LTL，其中 TL†=ZLTL†T^\dagger_L = Z_L T^\dagger_LTL†=ZLTL†。如你可以使用方程(115)轻易检查的，SL†=ZLSLS^\dagger_L = Z_L S_LSL†=ZLSL。当这发生时 TLT_LTL 可以类似地转换为 TL†T^\dagger_LTL†。我们假设没有副产品算符，并处理软件中的 ZLZ_LZL 副产品算符。

这两个门的高保真逻辑实现涉及特殊的辅助态。实现 SLS_LSL 依赖于 ∣YL⟩|Y_L\rangle∣YL⟩ 辅助态

∣YL⟩=12(∣gL⟩+i∣eL⟩),|Y_L\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|g_L\rangle + i|e_L\rangle),∣YL⟩=2 1(∣gL⟩+i∣eL⟩),

而实现 TLT_LTL 依赖于 ∣AL⟩|A_L\rangle∣AL⟩ 辅助态

∣AL⟩=12(∣gL⟩+eiπ/4∣eL⟩).|A_L\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|g_L\rangle + e^{i\pi/4}|e_L\rangle).∣AL⟩=2 1(∣gL⟩+eiπ/4∣eL⟩).

∣YL⟩|Y_L\rangle∣YL⟩ 和 ∣AL⟩|A_L\rangle∣AL⟩ 辅助态在一个特殊的"短量子比特"中创建，它可以被置于任意但伴随不完美的态，这个过程称为"态注入"。一旦态被注入，"短量子比特"被增加到标准距离d以使其更不容易出错，标准距离量子比特的不完美逻辑态然后通过称为"魔态蒸馏"的高保真过程纯化，这个过程可以在文献中找到。SLS_LSL 和 TLT_LTL 门然后使用涉及这些辅助态的逻辑CNOT和Hadamard电路实现，如图44和图45所示。

图44所示的 SLS_LSL 门实现涉及两个逻辑CNOT和两个逻辑Hadamard操作。一个逻辑量子比特中的输入态 ∣ψL⟩|\psi_L\rangle∣ψL⟩ 通过与辅助量子比特处于 ∣YL⟩|Y_L\rangle∣YL⟩ 态的相互作用，确定性地变换为 SL∣ψL⟩S_L|\psi_L\rangleSL∣ψL⟩。这最容易通过用输入态 ∣ψL⟩=α∣g⟩+β∣e⟩|\psi_L\rangle = \alpha|g\rangle + \beta|e\rangle∣ψL⟩=α∣g⟩+β∣e⟩ 测试电路来看出。要改为应用 SL†S^\dagger_LSL†，我们使用恒等式 SL†=ZLSLS^\dagger_L = Z_L S_LSL†=ZLSL，这意味着我们使用图44所示的电路，输出上出现副产品 ZLZ_LZL，换句话说 ∣ψL⟩|\psi_L\rangle∣ψL⟩ 变换为 ZLSL†∣ψL⟩Z_L S^\dagger_L|\psi_L\rangleZLSL†∣ψL⟩。

问题19：证明图44中的电路按所声称执行S操作。

TLT_LTL 门使用图45所示的非确定性电路实现。给定输入辅助态 ∣θL⟩=∣gL⟩+eiθ∣eL⟩|\theta_L\rangle = |g_L\rangle + e^{i\theta}|e_L\rangle∣θL⟩=∣gL⟩+eiθ∣eL⟩，此电路的输出 ∣ϕL⟩|\phi_L\rangle∣ϕL⟩ 为

∣ϕL⟩=XLpXZLpZRZL((−1)pZθ)∣ψL⟩.|\phi_L\rangle = X_L^{p_X} Z_L^{p_Z} R_Z^L((-1)^{p_Z} \theta) |\psi_L\rangle.∣ϕL⟩=XLpXZLpZRZL((−1)pZθ)∣ψL⟩.

第一个算符是副产品算符，其幂 pXp_XpX 等于0(1)如果逻辑量子比特态的 ZLZ_LZL 测量 MZM_ZMZ 是+1(-1)。第二个算符是角度 θ\thetaθ 的旋转，

RZL(θ)=(100eiθ).R_Z^L(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}.RZL(θ)=(100eiθ).

对于 TLT_LTL 门，旋转角度是 θ=+π/4(−π/4)\theta = +\pi/4 (-\pi/4)θ=+π/4(−π/4) 取决于 ZLZ_LZL 测量的符号 +1(-1)。

大约一半时间我们运行电路时会成功生成 TL∣ψL⟩T_L|\psi_L\rangleTL∣ψL⟩，由测量 MZ=+1M_Z = +1MZ=+1 预示。然而，另一半时间我们运行电路时测量 MZ=−1M_Z = -1MZ=−1 将预示输出态

∣ϕL⟩=XLRZL(−π/4)∣ψL⟩=XLTL†∣ψL⟩.|\phi_L\rangle = X_L R_Z^L(-\pi/4)|\psi_L\rangle = X_L T^\dagger_L|\psi_L\rangle.∣ϕL⟩=XLRZL(−π/4)∣ψL⟩=XLTL†∣ψL⟩.

在这种情况下，我们使用 SLTL†=TLS_L T^\dagger_L = T_LSLTL†=TL 修复输出。如果存在副产品 XLX_LXL 或 ZLZ_LZL 算符，有一个小小的复杂情况；这里我们假设没有副产品算符。通过对 ∣ϕL⟩|\phi_L\rangle∣ϕL⟩ 应用 SLS_LSL 来实现对输出的纠正：

SL∣ϕL⟩=SL(XLTL†)∣ψL⟩=(ZLSL†)TL†∣ψL⟩=(XLZL)TL†∣ψL⟩=XLTL∣ψL⟩,S_L|\phi_L\rangle = S_L(X_L T^\dagger_L)|\psi_L\rangle = (Z_L S^\dagger_L) T^\dagger_L|\psi_L\rangle = (X_L Z_L) T^\dagger_L|\psi_L\rangle = X_L T_L|\psi_L\rangle,SL∣ϕL⟩=SL(XLTL†)∣ψL⟩=(ZLSL†)TL†∣ψL⟩=(XLZL)TL†∣ψL⟩=XLTL∣ψL⟩,

其中我们使用恒等式 SLXL=iXLSL†S_L X_L = i X_L S^\dagger_LSLXL=iXLSL† 并去掉不重要的相位因子i。因此将输出态 ∣ϕL⟩|\phi_L\rangle∣ϕL⟩ 通过 SLS_LSL 电路得到结果 (XLZL)TL∣ψL⟩(X_L Z_L) T_L|\psi_L\rangle(XLZL)TL∣ψL⟩，其中 XLZLX_L Z_LXLZL 是由控制软件处理的副产品算符。

如果我们需要执行 TL†T^\dagger_LTL†，我们使用图45中的电路，大约一半时间我们会得到测量结果 MZ=−1M_Z = -1MZ=−1，这表明电路产生了 XLTL†X_L T^\dagger_LXLTL†，这是期望的输出（带有副产品算符 XLX_LXL）。另一半时间我们得到测量结果 MZ=+1M_Z = +1MZ=+1，我们可以通过对输出应用 SLS_LSL 来纠正电路输出 TL∣ψL⟩T_L|\psi_L\rangleTL∣ψL⟩，因为 SLTL=ZLTL†∣ψL⟩S_L T_L = Z_L T^\dagger_L|\psi_L\rangleSLTL=ZLTL†∣ψL⟩；这使用 SLS_LSL 电路完成，输出包括由控制软件处理的副产品算符 ZLZ_LZL。

问题20：证明图45中的T电路如广告所示工作。

我们将一些重要主题留给感兴趣的读者在文献中学习，包括表面码中用于生成高精度 ∣AL⟩|A_L\rangle∣AL⟩ 和 ∣YL⟩|Y_L\rangle∣YL⟩ 态的方法，使用魔态蒸馏电路，达到手头问题所需的精度水平。

16 结论

我们现在已经涵盖了表面码量子计算方法的所有基本方面。我们描述了实现例如Shor算法或Grover搜索算法所需的所有门。讨论大多是理论性的，而发展表面码的动机当然是找到量子计算机的现实和实际物理实现。有许多物理系统原则上可以实现此方案，从冷原子[60, 61]和离子[62-64]，到基于半导体的方案[65]，到超导集成电路[66-71]。这些系统各有某些优势和某些劣势。对于任何系统要成为表面码实现的候选，它当然必须满足单量子比特和双量子比特门和测量保真度的要求，迄今为止没有任何系统满足这些要求，尽管许多系统接近这些要求。表面码显然还需要非常大量的物理量子比特（约 10810^8108 可能是实用分解计算机所需的最小数量），所以一个单独的要求是组装和集成大量名义上相同的量子比特的能力。此外，表面码的操作和错误检测假设经典逻辑支持，经典逻辑比量子比特运行快得多，以便以高保真度维持态制备、量子比特相互作用和错误跟踪。

目前实验者面临的一个突出挑战是展示组装大量（约100）高保真度量子比特的能力，然后演示可以在改善有效量子比特寿命的方式中实际实现表面码中使用的一两轮错误检测。如果这可以实现，那么可以开始考虑扩展；使用约1000个量子比特，可能可以演示与底层物理量子比特寿命相比，此阵列中定义的逻辑量子比特寿命的显著扩展。然后有望展示逻辑量子比特寿命随表面码距离d预测的方式缩放。

这将然后为扩展到更大的阵列、演示逻辑量子比特大小所希望的量子比特寿命指数改善创造条件。然后可以开始编织操作，并演示具有表面码改善寿命的逻辑CNOT的实现。假设可以维持保真度，这些目标可以使用约几千个量子比特来实现。

然后扩展到完整的量子计算机将主要是工程挑战，如何制造然后运行大量（数百万）量子比特。虽然显然是一个令人难以置信的艰巨挑战，但成功应对这一挑战将对复杂工程量子系统进行基本演示，并可能开启一种新计算范式的时代。

02 表面码部分 全文 - An introduction to surface code