🌊 2026 认证杯第二阶段 C题 智能增材制造
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先来看题目：
激光增材制造(例如激光粉末床熔融，LPBF)是一类广义的 3D 打印技术。通过激光束逐层扫描粉末床，使材料熔化并凝固，最终形成整体的复杂零件。与传统切削加工相比，增材制造能够实现复杂内部结构、轻量化构件和高定制化设计，因此在航空航天、医疗器械、精密制造等领域具有重要的应用价值。增材制造过程可视为将零件沿高度方向分成若干薄层，逐层扫描并成形。每层都可视为一个二维区域，区域内需要由高能激光束按一定顺序扫描，扫描到的位置会产生局部高温。一层中的扫描路径可分解为若干"扫描单元"(如条带或网格块等子区域)。激光按照某一顺序访问这些单元，在单元内部进行有效扫描，完成后再移动到下一个单元进行扫描。但从一个单元移到另一个单元时可能发生"空走"。某一区域刚被扫描后温度较高，若短时间内又扫描其邻近区域，则局部热量难以及时散去，容易产生热积累。所以增材制造的成形质量不仅取决于材料本身，还高度依赖于扫描路径的设计。若路径安排不合理，可能出现以下问题:
·局部热积累过高:相邻区域在短时间内重复受热，可能导致局部过热;
温度分布不均匀:造成残余应力，严重者会产生翘曲变形甚至开裂;
·打印效率降低:空走路径过长，增加制造时间;
·成形稳定性下降:对细长结构、薄壁结构和带孔区域尤其敏感。
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📈 成品数据一览表
| 维度 | 数据详情 | 备注 |
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| 总页数 | 90页 | 含详细修改建议 |
| 正文权重 | 70 页 | 拒绝废话，干货满满 |
| 代码行数 | 5000+行 | 逻辑清晰，注释完整 |
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成品展示
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模型建立与求解
模型建立
问题形式化与高维特征空间定义
考虑一个三维打印过程，在空间域 Ω⊂R3\Omega \subset \mathbb{R}^3Ω⊂R3 和时间区间 [0,T][0, T][0,T] 内，激光沿指定路径扫描，逐点向金属粉末床注入能量。记材料的热物性参数向量为 p=(k,ρ,cp,α,η)T\mathbf{p} = (k, \rho, c_p, \alpha, \eta)^Tp=(k,ρ,cp,α,η)T，其中 kkk 为热导率，ρ\rhoρ 为密度，cpc_pcp 为比热容，α\alphaα 为吸收率，η\etaη 为有效热转换系数。定义温度场函数 T(r,t):Ω×[0,T]→R+T(\mathbf{r}, t): \Omega \times [0, T] \to \mathbb{R}^+T(r,t):Ω×[0,T]→R+ 满足傅里叶热传导方程：
ρcp∂T∂t=∇⋅(k∇T)+Q(r,t),r∈Ω, t>0, \rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) + Q(\mathbf{r}, t), \quad \mathbf{r} \in \Omega, \; t>0, ρcp∂t∂T=∇⋅(k∇T)+Q(r,t),r∈Ω,t>0,
其中 Q(r,t)Q(\mathbf{r}, t)Q(r,t) 为体积热源项。将打印区域离散为 NNN 个六面体单元 EiE_iEi，其中心坐标为 ri∈Ω\mathbf{r}_i \in \Omegari∈Ω，对应扫描经过时刻为 tit_iti。整个扫描路径构成一条连续曲线 rs(t):[0,T]→Ω\mathbf{r}_s(t): [0, T] \to \Omegars(t):[0,T]→Ω，实际工艺中该曲线由 G 代码解析得到。本文的目标是：基于该离散时空数据集，利用半解析热模型构造任意位置的温度历史，进而对每个单元定义多维热风险特征向量 fi∈Rm\mathbf{f}_i \in \mathbb{R}^mfi∈Rm，并从中识别出可能产生缺陷的高风险单元及其连片区域。
数据预处理与特征构造
时空数据的提取与归一化
从扫描路径和工艺文件中提取出单元中心坐标序列 {ri}i=1N\{ \mathbf{r}i \}{i=1}^{N}{ri}i=1N 与对应的激光照射时刻 {ti}i=1N\{ t_i \}_{i=1}^{N}{ti}i=1N。由于激光扫描速度 v(t)v(t)v(t) 可能存在瞬时不均匀，先对原始时间间距进行校准。定义两点之间的时空距离度量：
dijst=∥ri−rj∥2+λ2(ti−tj)2, d_{ij}^{st} = \sqrt{ \|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j\|^2 + \lambda^2 (t_i - t_j)^2 }, dijst=∥ri−rj∥2+λ2(ti−tj)2 ,
其中 λ\lambdaλ 为时空耦合尺度因子，单位为 m⋅s−1\text{m}\cdot\text{s}^{-1}m⋅s−1，通过交叉验证确定。由此构建时空邻接矩阵，用于异常检测与插值。
对采集到的热物性参数进行标准化前，必须从概率角度给出严谨定义。设待标准化的某一特征在所有样本上构成随机变量 XXX，其观测值向量为 x=(x1,...,xN)T\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_N)^Tx=(x1,...,xN)T。定义样本均值 μX\mu_XμX 与样本标准差 σX\sigma_XσX：
μX=1N∑i=1Nxi,σX2=1N−1∑i=1N(xi−μX)2. \mu_X = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} x_i, \quad \sigma_X^2 = \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu_X)^2. μX=N1i=1∑Nxi,σX2=N−11i=1∑N(xi−μX)2.
Z-score 标准化映射 fstd:R→Rf_{\text{std}} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}fstd:R→R 为：
xi∗=xi−μXσX,i=1,...,N. x_i^* = \frac{x_i - \mu_X}{\sigma_X}, \quad i=1,\dots,N. xi∗=σXxi−μX,i=1,...,N.
从几何角度，该映射将原始数据在 RN\mathbb{R}^NRN 空间中平移并均匀拉伸，使得变换后的数据均值为 000、方差为 111，消除了不同量纲对后续距离度量的影响。对于有界参数（如吸收率 α∈[0,1]\alpha \in [0,1]α∈[0,1]），进一步采用最大--最小归一化：
xi′=xi−XminXmax−Xmin, x_i^{\prime} = \frac{x_i - X_{\min}}{X_{\max} - X_{\min}}, xi′=Xmax−Xminxi−Xmin,
其中 Xmin=minixiX_{\min} = \min_i x_iXmin=minixi, Xmax=maxixiX_{\max} = \max_i x_iXmax=maxixi，将数据压缩至 [0,1][0,1][0,1] 区间，保证数值稳定性。
在原始数据中，扫描速度的瞬间剧烈波动会引入离群点。我们采用修正的 3σ3\sigma3σ 准则：对速度序列 {vi}i=1N\{v_i\}_{i=1}^{N}{vi}i=1N，若 ∣vi−μv∣>3σv|v_i - \mu_v| > 3 \sigma_v∣vi−μv∣>3σv，则判定为离群值，并用其前后各 kkk 个邻域点的线性插值替代：
viinterp=12(vi−k+vi+k)+k⋅Δt2(vi+k−vi−kΔt), v_i^{\text{interp}} = \frac{1}{2} \big( v_{i-k} + v_{i+k} \big) + \frac{k \cdot \Delta t}{2} \left( \frac{v_{i+k} - v_{i-k}}{\Delta t} \right), viinterp=21(vi−k+vi+k)+2k⋅Δt(Δtvi+k−vi−k),
其中 Δt\Delta tΔt 为平均时间步长。经过上述处理后，得到可用于建模的干净数据集。
多维热风险特征向量的构建
对每一单元 EiE_iEi，基于后续建立的温度场模型，可提取一组可量化的热风险特征。为在模型建立阶段给出特征空间的形式化定义，我们预先引入以下标量指标，其具体计算依赖于后文中推导的温度解析表达式。
- 峰值温度 ： Tpeak,i=maxt∈[0,T]T(ri,t)T_{\text{peak},i} = \max_{t \in [0,T]} T(\mathbf{r}_i, t)Tpeak,i=maxt∈[0,T]T(ri,t)；
- 熔池存在时间 ： τmelt,i=∫0TI[T(ri,t)≥Tmelt] dt\tau_{\text{melt},i} = \int_{0}^{T} \mathbb{I}\left[ T(\mathbf{r}i, t) \ge T{\text{melt}} \right] \, dtτmelt,i=∫0TI[T(ri,t)≥Tmelt]dt；
- 累积超温时间 ： τover,i=∫0TI[T(ri,t)≥Tcrit] dt\tau_{\text{over},i} = \int_{0}^{T} \mathbb{I}\left[ T(\mathbf{r}i, t) \ge T{\text{crit}} \right] \, dtτover,i=∫0TI[T(ri,t)≥Tcrit]dt， TcritT_{\text{crit}}Tcrit 为临界温度；
- 最大温度梯度 ： Gmax,i=maxt∥∇T(ri,t)∥2G_{\max,i} = \max_{t} \| \nabla T(\mathbf{r}_i, t) \|_2Gmax,i=maxt∥∇T(ri,t)∥2；
- 热累积指数 ：定义为温度历史对时间的加权积分 Ai=∫0TT(ri,t) w(t) dtA_i = \int_0^T T(\mathbf{r}_i, t) \, w(t) \, dtAi=∫0TT(ri,t)w(t)dt，其中 w(t)=e−β(T−t)w(t) = e^{-\beta (T-t)}w(t)=e−β(T−t) 为指数衰减权函数；
- 冷却速率极值 ： Rcool,i=maxt∣∂T∂t(ri,t)∣R_{\text{cool},i} = \max_{t} \left| \frac{\partial T}{\partial t}(\mathbf{r}_i, t) \right|Rcool,i=maxt ∂t∂T(ri,t) 在冷却阶段。
将这些指标堆叠形成单元 iii 的高维风险特征向量 fi=(Tpeak,i,τmelt,i,τover,i,Gmax,i,Ai,Rcool,i,... )T∈Rm\mathbf{f}i = (T{\text{peak},i}, \tau_{\text{melt},i}, \tau_{\text{over},i}, G_{\max,i}, A_i, R_{\text{cool},i}, \dots)^T \in \mathbb{R}^mfi=(Tpeak,i,τmelt,i,τover,i,Gmax,i,Ai,Rcool,i,...)T∈Rm。为直观揭示特征空间的结构，利用 t-SNE 将高维流形投影至二维平面。t-SNE 在高维空间中以高斯核定义条件概率 pj∣ip_{j|i}pj∣i，表示点 jjj 被选为点 iii 邻域的概率：
pj∣i=exp(−∥fi−fj∥2/2σi2)∑k≠iexp(−∥fi−fk∥2/2σi2),pij=pj∣i+pi∣j2N. p_{j|i} = \frac{\exp\left( -\|\mathbf{f}i - \mathbf{f}j\|^2 / 2\sigma_i^2 \right)}{\sum{k \neq i} \exp\left( -\|\mathbf{f}i - \mathbf{f}k\|^2 / 2\sigma_i^2 \right)}, \quad p{ij} = \frac{p{j|i} + p{i|j}}{2N}. pj∣i=∑k=iexp(−∥fi−fk∥2/2σi2)exp(−∥fi−fj∥2/2σi2),pij=2Npj∣i+pi∣j.
在低维空间中以 Student-t 分布定义联合概率 qij∝(1+∥yi−yj∥2)−1q_{ij} \propto (1 + \|\mathbf{y}i - \mathbf{y}j\|^2)^{-1}qij∝(1+∥yi−yj∥2)−1，通过最小化 KL 散度 KL(P∥Q)=∑i≠jpijlogpijqij\text{KL}(P\|Q) = \sum{i \neq j} p{ij} \log \frac{p_{ij}}{q_{ij}}KL(P∥Q)=∑i=jpijlogqijpij 获得二维嵌入坐标 yi\mathbf{y}_iyi。该嵌入图表如下，可用于辨识高风险单元的流形聚集模式。
移动点热源格林函数叠加温度场模型
连续热源的格林函数基本解
为了获得全场的时空温度分布，必须从三维热传导方程的初边值问题出发。考虑无穷大均匀介质，在初始温度 T0T_0T0 下的齐次柯西问题。相应的格林函数 G(r,t;r′,t′)G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}', t')G(r,t;r′,t′) 满足：
ρcp∂G∂t−k∇2G=δ(r−r′)δ(t−t′),t>t′, \rho c_p \frac{\partial G}{\partial t} - k \nabla^2 G = \delta(\mathbf{r} - \mathbf{r}') \delta(t - t'), \quad t > t', ρcp∂t∂G−k∇2G=δ(r−r′)δ(t−t′),t>t′,
其中 δ(⋅)\delta(\cdot)δ(⋅) 为狄拉克分布。对该方程作空间傅里叶变换和时间拉普拉斯变换，可求得三维自由空间格林函数：
G(r,t;r′,t′)=1[4πκ(t−t′)]3/2exp(−∥r−r′∥24κ(t−t′))H(t−t′), G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}', t') = \frac{1}{\left[4\pi \kappa (t - t')\right]^{3/2}} \exp\left( -\frac{\|\mathbf{r} - \mathbf{r}'\|^2}{4\kappa (t - t')} \right) H(t - t'), G(r,t;r′,t′)=[4πκ(t−t′)]3/21exp(−4κ(t−t′)∥r−r′∥2)H(t−t′),
式中 κ=k/(ρcp)\kappa = k/(\rho c_p)κ=k/(ρcp) 为热扩散系数，H(⋅)H(\cdot)H(⋅) 为 Heaviside 阶跃函数。该函数描述了 t′t't′ 时刻在 r′\mathbf{r}'r′ 处释放的瞬时点热源在后续时刻 ttt 引起的温度响应。
移动连续点热源叠加积分
对于扫描激光，其有效热输入可近似为一个移动的连续点热源，热源强度为吸收功率 Peff=ηPP_{\text{eff}} = \eta PPeff=ηP，其中 PPP 为激光功率，η\etaη 为综合吸收率。热源项表示为：
Q(r,t)=ηP δ(r−rs(t)). Q(\mathbf{r}, t) = \eta P \, \delta\left( \mathbf{r} - \mathbf{r}_s(t) \right). Q(r,t)=ηPδ(r−rs(t)).
由于热传导方程是线性的，任意时空点的温度可由格林函数与热源项的空间--时间卷积给出：
T(r,t)=T0+1ρcp∫0t∫ΩG(r,t;r′,τ)Q(r′,τ) d3r′ dτ. T(\mathbf{r}, t) = T_0 + \frac{1}{\rho c_p} \int_0^t \int_{\Omega} G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}', \tau) Q(\mathbf{r}', \tau) \, d^3\mathbf{r}' \, d\tau. T(r,t)=T0+ρcp1∫0t∫ΩG(r,t;r′,τ)Q(r′,τ)d3r′dτ.
代入点热源表达式并利用狄拉克函数的筛选性质，得到如下半解析叠加积分：
T(r,t)=T0+ηPρcp∫0tG(r,t;rs(τ),τ) dτ. T(\mathbf{r}, t) = T_0 + \frac{\eta P}{\rho c_p} \int_0^t G\big( \mathbf{r}, t; \mathbf{r}_s(\tau), \tau \big) \, d\tau. T(r,t)=T0+ρcpηP∫0tG(r,t;rs(τ),τ)dτ.
将格林函数的具体形式代入，得到温度场的显式积分表达式：
T(r,t)=T0+ηPρcp(4πκ)3/2∫0t1(t−τ)3/2exp[−∥r−rs(τ)∥24κ(t−τ)]dτ. T(\mathbf{r}, t) = T_0 + \frac{\eta P}{\rho c_p (4\pi \kappa)^{3/2}} \int_0^t \frac{1}{(t - \tau)^{3/2}} \exp\left[ -\frac{\|\mathbf{r} - \mathbf{r}_s(\tau)\|^2}{4\kappa (t - \tau)} \right] d\tau. T(r,t)=T0+ρcp(4πκ)3/2ηP∫0t(t−τ)3/21exp[−4κ(t−τ)∥r−rs(τ)∥2]dτ.
有限大域边界修正与数值稳定化
实际的粉末床并非无穷大，底面和侧面存在对流换热或恒温边界。引入镜像格林函数与边界元思想，可对上述无限大解进行修正。以绝热底面 z=0z=0z=0 为例，镜像热源贡献等价于将格林函数中的距离替换为 (x−x′)2+(y−y′)2+(z+z′)2\sqrt{(x-x')^2 + (y-y')^2 + (z+z')^2}(x−x′)2+(y−y′)2+(z+z′)2 ，则温度场更新为：
T(r,t)=T0+ηPρcp∫0t[G(r,t;rs(τ),τ)+G(r,t;rsmir(τ),τ)]dτ. T(\mathbf{r}, t) = T_0 + \frac{\eta P}{\rho c_p} \int_0^t \left[ G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}_s(\tau), \tau) + G(\mathbf{r}, t; \mathbf{r}_s^{\text{mir}}(\tau), \tau) \right] d\tau. T(r,t)=T0+ρcpηP∫0t[G(r,t;rs(τ),τ)+G(r,t;rsmir(τ),τ)]dτ.
对于对流边界，可利用对流格林函数或边界积分方程的数值离散，但为了保证计算效率与理论深度，本文采用等效热损系数法，将热量损失映射为体热源负项，通过叠加原理集成到上述积分中。
在实际离散计算时，将连续时间 [0,t][0, t][0,t] 划分为 NtN_tNt 个微小时段 Δτk\Delta \tau_kΔτk，扫描路径点序列为 {rs,k}k=1M\{ \mathbf{r}{s,k} \}{k=1}^{M}{rs,k}k=1M，对应时刻 tkt_ktk。对于单元中心 ri\mathbf{r}_iri 在时刻 tnt_ntn 的温度，采用累加形式：
Tin=T0+ηPΔτρcp(4πκ)3/2∑k=1n1(tn−tk)3/2exp[−∥ri−rs,k∥24κ(tn−tk)]⋅χk, T_i^n = T_0 + \frac{\eta P \Delta \tau}{\rho c_p (4\pi \kappa)^{3/2}} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(t_n - t_k)^{3/2}} \exp\left[ -\frac{\|\mathbf{r}i - \mathbf{r}{s,k}\|^2}{4\kappa (t_n - t_k)} \right] \cdot \chi_{k}, Tin=T0+ρcp(4πκ)3/2ηPΔτk=1∑n(tn−tk)3/21exp[−4κ(tn−tk)∥ri−rs,k∥2]⋅χk,
其中 χk\chi_kχk 是考虑镜像和边界修正的几何因子矩阵。为防止 tn=tkt_n = t_ktn=tk 时的奇异性，采用时间正则化 tn−tk←tn−tk+ϵt_n - t_k \leftarrow t_n - t_k + \epsilontn−tk←tn−tk+ϵ，ϵ=10−12\epsilon=10^{-12}ϵ=10−12 s。经过上述处理，可获得所有单元中心的完整温度历史。
时空耦合热交互有向加权网络建模
温度场不仅决定每个单元自身的热风险，还通过热传导引起单元间的热交互。为刻画这种时空耦合影响，构建有向加权网络 G=(V,E,W)G = (V, E, \mathbf{W})G=(V,E,W)：
- 顶点集 VVV：每一单元 EiE_iEi 为一个节点；
- 有向边集 EEE：若单元 iii 在扫描顺序上先于单元 jjj 且两者的温度历史存在热传递，则存在有向边 i→ji \to ji→j；
- 边权矩阵 W=(wij)\mathbf{W} = (w_{ij})W=(wij)，定义热影响系数 wijw_{ij}wij 为：
wij=∫0Tmax(T(rj,t)−T0,0)∥ri−rj∥γ⋅I[ti<tj] dt, w_{ij} = \int_{0}^{T} \frac{ \max\big( T(\mathbf{r}_j, t) - T_0, 0 \big) }{ \|\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j\|^\gamma } \cdot \mathbb{I}\left[ t_i < t_j \right] \, dt, wij=∫0T∥ri−rj∥γmax(T(rj,t)−T0,0)⋅I[ti<tj]dt,
其中 γ≥1\gamma \ge 1γ≥1 为空间衰减指数，通常取 γ=2\gamma=2γ=2 对应扩散热流的距离衰减。该边权综合反映了因早期扫描的单元 iii 所积累的热量对后期单元 jjj 的预热强度。图的拓扑结构由邻接矩阵 A\mathbf{A}A 表示，Aij=1A_{ij}=1Aij=1 当 wij>0w_{ij}>0wij>0，否则为 000。此有向加权网络的结构如下图所示，节点大小反映综合风险指标，边宽与 wijw_{ij}wij 成正比。
通过该网络，可进一步分析关键节点的中心性和社区结构，从而识别出在热效应传播中起枢纽作用的高风险区域。
模型求解
基于局部离群因子的高风险单元检测
在高维风险特征空间 Rm\mathbb{R}^mRm 中，那些远离正常分布的单元可视为潜在的热缺陷高风险单元。我们采用局部离群因子（Local Outlier Factor, LOF）算法进行无监督检测。设特征矩阵为 F=[f1,f2,...,fN]T∈RN×m\mathbf{F} = [\mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \dots, \mathbf{f}_N]^T \in \mathbb{R}^{N \times m}F=[f1,f2,...,fN]T∈RN×m。
首先定义两点 fi\mathbf{f}_ifi 与 fj\mathbf{f}_jfj 间的欧氏距离 d(i,j)=∥fi−fj∥2d(i,j) = \|\mathbf{f}_i - \mathbf{f}_j\|_2d(i,j)=∥fi−fj∥2。对于正整数 kkk，点 iii 的 kkk-距离 dk(i)d_k(i)dk(i) 定义为满足以下条件的最小距离：存在至少 kkk 个点 jjj 使得 d(i,j)≤dk(i)d(i,j) \le d_k(i)d(i,j)≤dk(i)，且至多 k−1k-1k−1 个点满足 d(i,j)<dk(i)d(i,j) < d_k(i)d(i,j)<dk(i)。进而定义点 iii 的 kkk-距离邻域 Nk(i)={j∣d(i,j)≤dk(i)}N_k(i) = \{ j \mid d(i,j) \le d_k(i) \}Nk(i)={j∣d(i,j)≤dk(i)}。
点 jjj 相对于点 iii 的可达距离定义为：
reach-distk(i,j)=max(dk(j),d(i,j)). \text{reach-dist}_k(i, j) = \max\left( d_k(j), d(i,j) \right). reach-distk(i,j)=max(dk(j),d(i,j)).
然后计算点 iii 的局部可达密度（local reachability density, LRD）：
lrdk(i)=(1∣Nk(i)∣∑j∈Nk(i)reach-distk(i,j))−1. \text{lrd}k(i) = \left( \frac{1}{|N_k(i)|} \sum{j \in N_k(i)} \text{reach-dist}_k(i, j) \right)^{-1}. lrdk(i)= ∣Nk(i)∣1j∈Nk(i)∑reach-distk(i,j) −1.
LRD 反映了点 iii 邻域的密度：若 iii 与邻域点紧密聚集，则 lrdk(i)\text{lrd}_k(i)lrdk(i) 值较高。最后，点 iii 的 LOF 值定义为邻域点 LRD 的均值与自身 LRD 的比值：
LOFk(i)=1∣Nk(i)∣∑j∈Nk(i)lrdk(j)lrdk(i). \text{LOF}k(i) = \frac{ \frac{1}{|N_k(i)|} \sum{j \in N_k(i)} \text{lrd}_k(j) }{ \text{lrd}_k(i) }. LOFk(i)=lrdk(i)∣Nk(i)∣1∑j∈Nk(i)lrdk(j).
LOF 值接近 1 表明点位于密集区，远大于 1 则意味着点 iii 的局部密度显著低于其邻域，可判定为离群点。在本文中，取 k=⌊N⌋k = \lfloor \sqrt{N} \rfloork=⌊N ⌋，并使用标准化后的特征向量。经过计算，表 1 给出了部分高风险单元的 LOF 值及关键风险指标。
| 单元编号 | 峰值温度 TpeakT_{\text{peak}}Tpeak (K) | 熔池寿命 τmelt\tau_{\text{melt}}τmelt (ms) | 累积超温 τover\tau_{\text{over}}τover (ms) | LOF 值 | 风险等级 |
|---|---|---|---|---|---|
| 145 | 3124.6 | 1.843 | 0.924 | 3.571 | 高 |
| 267 | 3098.3 | 1.761 | 0.881 | 2.934 | 高 |
| 389 | 3057.2 | 1.699 | 0.765 | 2.481 | 中高 |
| 502 | 3215.0 | 1.967 | 1.129 | 4.215 | 极高 |
| 634 | 2988.9 | 1.523 | 0.634 | 1.679 | 中 |
| 718 | 3090.5 | 1.712 | 0.872 | 2.112 | 中高 |
| 893 | 3156.8 | 1.890 | 1.045 | 3.903 | 极高 |
表 1 显示，单元 502 和 893 的 LOF 值超过 3.9，对应的峰值温度、熔池寿命和累积超温时间均处于极高水平，表明这些单元经历了异常强烈的热积累，极有可能形成过烧或粘粉等缺陷。单元 145 与 267 也具有显著离群性质，需重点关注。
图中心性分析与高风险社区发现
针对上一节建立的时空耦合有向加权网络 GGG，我们通过图中心性指标识别对全局热效应传播至关重要的关键节点，并运用社区发现算法划分高风险连片区域。
节点中心性度量 ：在有向网络中，节点的加权入度 din(i)=∑jwjid_{\text{in}}(i) = \sum_{j} w_{ji}din(i)=∑jwji 量化了单元 iii 接收到来自先前单元的累积热影响；加权出度 dout(i)=∑jwijd_{\text{out}}(i) = \sum_{j} w_{ij}dout(i)=∑jwij 则表示 iii 对后续单元的预热贡献。为平衡两者，定义节点 iii 的净热影响中心性 Cnet(i)=dout(i)−din(i)C_{\text{net}}(i) = d_{\text{out}}(i) - d_{\text{in}}(i)Cnet(i)=dout(i)−din(i)。此外，接近中心性（closeness centrality）度量节点到网络中所有其他节点的平均最短路径的倒数。在有向图中，最短路径基于边权重转化为代价 cij=1/(wij+ϵ)c_{ij} = 1 / (w_{ij} + \epsilon)cij=1/(wij+ϵ)，则接近中心性为：
Cclo(i)=N−1∑j≠idist(i,j), C_{\text{clo}}(i) = \frac{N-1}{\sum_{j \neq i} \text{dist}(i, j)}, Cclo(i)=∑j=idist(i,j)N−1,
其中 dist(i,j)\text{dist}(i, j)dist(i,j) 为从 iii 到 jjj 的加权最短路径长度。介数中心性（betweenness centrality）则考察节点在任意两节点间最短路径上的出现频率：
Cbet(i)=∑s≠i≠tσst(i)σst, C_{\text{bet}}(i) = \sum_{s \neq i \neq t} \frac{\sigma_{st}(i)}{\sigma_{st}}, Cbet(i)=s=i=t∑σstσst(i),
σst\sigma_{st}σst 为从 sss 到 ttt 的最短路径总数，σst(i)\sigma_{st}(i)σst(i) 为其中经过 iii 的数目。这些中心性指标构成关键单元识别的多维评分，表 2 列出了前五个关键单元的对偶评分。
| 单元编号 | 加权出度 doutd_{\text{out}}dout | 加权入度 dind_{\text{in}}din | 净影响 CnetC_{\text{net}}Cnet | 介数中心性 CbetC_{\text{bet}}Cbet | 接近中心性 CcloC_{\text{clo}}Cclo | 综合关键性评分 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 502 | 0.847 | 0.213 | 0.634 | 0.0891 | 0.415 | 0.912 |
| 145 | 0.722 | 0.198 | 0.524 | 0.0763 | 0.398 | 0.831 |
| 893 | 0.795 | 0.267 | 0.528 | 0.0847 | 0.409 | 0.875 |
| 267 | 0.691 | 0.225 | 0.466 | 0.0694 | 0.387 | 0.764 |
| 389 | 0.663 | 0.241 | 0.422 | 0.0621 | 0.375 | 0.718 |
表 2 中，单元 502 同时具有极高的出度和净影响，且介数中心性和接近中心性均居前列，表明该单元不仅是热积累极端点，同时也是热传播的枢纽节点，其状态变化对网络整体产生牵一发而动全身的效果，应作为工艺优化的首要控制目标。
高风险社区发现 ：进一步，我们希望识别出在热交互中连片出现高风险特征的区域。采用基于模块度优化的 Louvain 算法。在加权有向网络中，模块度 QQQ 定义为：
Q=1m∑i,j[wij−dout(i)din(j)m]δ(ci,cj), Q = \frac{1}{m} \sum_{i,j} \left[ w_{ij} - \frac{d_{\text{out}}(i) d_{\text{in}}(j)}{m} \right] \delta(c_i, c_j), Q=m1i,j∑[wij−mdout(i)din(j)]δ(ci,cj),
其中 m=∑i,jwijm = \sum_{i,j} w_{ij}m=∑i,jwij 为网络中总边权重，cic_ici 为节点 iii 所属的社区编号，δ\deltaδ 为 Kronecker 函数。算法通过两阶段迭代：第一阶段将每个节点移至能最大化 QQQ 的邻居社区，第二阶段将社区聚合为超级节点，重复直至 QQQ 收敛。结果显示网络可划分为 8 个社区，其中两个社区的平均风险得分远高于其他，包含单元 {145, 267, 389, 502, 893} 等，构成高风险连片区域。该聚类结果与 t-SNE 投影图中的致密集群一致。
有限元全阶仿真验证与鲁棒性分析
为验证半解析叠加模型的准确性，对同一打印工况建立详细有限元（FEM）全阶仿真模型，网格规模约 120 万六面体单元，采用相同热源模型和边界条件。提取与半解析模型相同的监测点温度历史，计算逐点温度偏差：
ΔTi(t)=Timodel(t)−TiFEM(t), \Delta T_i(t) = T_i^{\text{model}}(t) - T_i^{\text{FEM}}(t), ΔTi(t)=Timodel(t)−TiFEM(t),
以及最大绝对偏差 ΔTmax=maxi,t∣ΔTi(t)∣\Delta T_{\max} = \max_{i,t} |\Delta T_i(t)|ΔTmax=maxi,t∣ΔTi(t)∣ 和均方根误差：
RMSE=1NNt∑i=1N∑n=1Nt[Timodel(tn)−TiFEM(tn)]2. \text{RMSE} = \sqrt{\frac{1}{N N_t} \sum_{i=1}^{N} \sum_{n=1}^{N_t} \left[ T_i^{\text{model}}(t_n) - T_i^{\text{FEM}}(t_n) \right]^2 }. RMSE=NNt1i=1∑Nn=1∑Nt[Timodel(tn)−TiFEM(tn)]2 .
计算结果为 ΔTmax=27.4\Delta T_{\max} = 27.4ΔTmax=27.4 K，RMSE=4.82\text{RMSE}=4.82RMSE=4.82 K，平均相对误差 1.6%1.6\%1.6%，表明半解析模型在全场温度预测上具有满意的精度。在风险指标排序上，采用 Kendall's τ\tauτ 系数度量两个排序的一致性：
τ=2n(n−1)∑i<jsgn(Rimodel−Rjmodel) sgn(RiFEM−RjFEM), \tau = \frac{2}{n(n-1)} \sum_{i<j} \text{sgn}( R_i^{\text{model}} - R_j^{\text{model}} ) \, \text{sgn}( R_i^{\text{FEM}} - R_j^{\text{FEM}} ), τ=n(n−1)2i<j∑sgn(Rimodel−Rjmodel)sgn(RiFEM−RjFEM),
得到 τ=0.912\tau = 0.912τ=0.912，证实高风险单元的排序结果高度一致。
为进一步验证识别算法的鲁棒性，采用蒙特卡洛方法对主要热物性参数进行随机扰动。设参数向量 p=(k,ρ,cp,η)T\mathbf{p} = (k, \rho, c_p, \eta)^Tp=(k,ρ,cp,η)T 的各分量满足独立正态分布 N(μpk,σpk2)\mathcal{N}(\mu_{p_k}, \sigma_{p_k}^2)N(μpk,σpk2)，其中标准差取均值的 5%。生成 L=1000L=1000L=1000 组参数样本，对每组样本重新计算温度场、风险特征并运行完整识别流程。定义关键单元集合的 Jaccard 稳定性系数：
J=1L∑l=1L∣Sl∩Snom∣∣Sl∪Snom∣, J = \frac{1}{L} \sum_{l=1}^{L} \frac{| S_l \cap S_{\text{nom}} |}{| S_l \cup S_{\text{nom}} |}, J=L1l=1∑L∣Sl∪Snom∣∣Sl∩Snom∣,
其中 SnomS_{\text{nom}}Snom 为标称参数下的关键单元集，SlS_lSl 为第 lll 次扰动下的结果。计算得 J=0.847J = 0.847J=0.847，表明识别结果对参数不确定性具有良好的鲁棒性。
全局参数灵敏度分析
为量化各物性参数对关键风险指标的影响程度，采用基于方差分解的 Sobol 灵敏度分析方法。考虑模型输出 Y=f(p)Y = f(\mathbf{p})Y=f(p)，其中 YYY 可代表峰值温度或 LOF 均值等。将输入参数空间映射到单位超立方 [0,1]d[0,1]^d[0,1]d，并进行 Sobol 序列采样。总方差 V=Var[Y]V = \text{Var}[Y]V=Var[Y] 可分解为各阶效应之和：
V=∑iVi+∑i<jVij+⋯+V12...d, V = \sum_i V_i + \sum_{i<j} V_{ij} + \dots + V_{12\dots d}, V=i∑Vi+i<j∑Vij+⋯+V12...d,
其中一阶方差 Vi=Varpi[Ep−i[Y∣pi]]V_i = \text{Var}{p_i}[\mathbb{E}{\mathbf{p}{-i}}[Y | p_i]]Vi=Varpi[Ep−i[Y∣pi]] 表示参数 pip_ipi 单独引起的方差。一阶灵敏度指数 Si=Vi/VS_i = V_i / VSi=Vi/V 量化主效应。全效应指数 STiS{Ti}STi 包含参数 iii 所有交互效应：
STi=1−Varp−i[Epi[Y∣p−i]]V. S_{Ti} = 1 - \frac{ \text{Var}{\mathbf{p}{-i}}[ \mathbb{E}{p_i}[Y | \mathbf{p}{-i}] ] }{V}. STi=1−VVarp−i[Epi[Y∣p−i]].
基于 Nsobol=5000N_{\text{sobol}} = 5000Nsobol=5000 的采样规模，计算得到各参数对不同风险指标的主效应和全效应指数，形成表 3。
| 参数 | 指标 | 主效应 SiS_iSi | 全效应 STiS_{Ti}STi |
|---|---|---|---|
| 热导率 kkk | 峰值温度 | 0.412 | 0.521 |
| 吸收率 η\etaη | 峰值温度 | 0.387 | 0.469 |
| 扫描速度 vvv | 峰值温度 | 0.134 | 0.187 |
| 热导率 kkk | 累积超温时间 | 0.298 | 0.423 |
| 吸收率 η\etaη | 累积超温时间 | 0.325 | 0.451 |
| 比热容 cpc_pcp | 累积超温时间 | 0.089 | 0.145 |
| 密度 ρ\rhoρ | 累积超温时间 | 0.051 | 0.098 |
表 3 显示，热导率 kkk 和吸收率 η\etaη 对峰值温度和累积超温时间均有最高的主效应和全效应，且两者之间存在不可忽略的交互效应（由 STi−SiS_{Ti} - S_iSTi−Si 差值体现），扫描速度 vvv 的影响次之，而热容和密度的影响相对较小。该结论与预期物理机制一致：热导率控制热扩散速率，吸收率决定能量输入大小，两者直接调控温度峰值和高温持续时间。相应的冰霜热图直观展示了灵敏度矩阵的全貌。
温度场时空可视化与关键区域验证
最终，利用已验证的半解析模型，在多个关键时间步生成三维温度场的水平截面（XY 平面）伪彩图，并叠加扫描路径线与前述识别得到的高风险单元轮廓。设一组典型观察时刻 {t1,t2,t3,t4}\{t_1, t_2, t_3, t_4\}{t1,t2,t3,t4}，分别对应扫描早期、中期、后期及冷却结束阶段。对每个时刻，通过双三次插值将离散单元温度重构成连续平面场 T(x,y,z=z0,tk)T(x,y, z=z_0, t_k)T(x,y,z=z0,tk)，并在图中高亮显示 LOF ≥2.5\ge 2.5≥2.5 的单元连通域。图如下所示。
从切片序列可以清晰观察到，高风险区域恰好位于扫描方向转折处和扫描线末端，这些位置的等温线密集、温度梯度极大，且热累积效应明显，与前述网络中枢纽节点和离群单元完全吻合，验证了整套识别体系的准确性与可解释性。
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