ABC460d

很好的一个题，使我大脑黑白颠倒。感觉这个题，考察了比较完整的思考模式。

神秘洛谷不接受我的题解，简直妙妙。

感觉$F<D$

首先，看到$10^{100}$次方，应该想到的是在某一个操作下事物的状态不变，或者进入到了某种妙妙循环，是算法直觉？手玩样例发现，是后者，并且循环节为$2$，进入循环以后，黑白方块的颜色应该是颠倒的。于是，应该思考从什么时候开始进入循环。继续手玩样例后，发现进入循环的时间不一样。

在思考无果后，应该想到，将整个方块进入循环的时间划分成小格子进入循环的时间，也就是大问题无法解决的时候将大问题划分成若干个子问题，属于算法思想？格子只有黑或者白，由于白色只能被黑色"污染"，所以思考白色格子什么时候进入循环。不难想到，当一个白色格子被染成黑色后，下一次操作中，会将周围的白色格子染黑，并且自身变白；下下一次操作中，其相邻的格子会将周围的白色格子染黑，包括白色格子自己，此后不断循环，因为只能黑白交替，所以循环节为$2$。所以，白色格子进入循环的时间就是第一次被染成黑色的时间，白色格子只能被相邻的黑色格子污染，或者相邻的白色格子污染后再污染它，其相邻格子也是同理。于是我们发现，黑色格子可以作为污染源，不断传递颜色，设$dp $i$ $j$ $表示格子被污染的时间，所有的污染源设为$0$（坑点$1$），则有$dp $i$ $j$ = dp $a$ $b$ + 1$（$a, b$是相邻格子坐标）。开始思考黑色格子什么时候进入循环，如果黑色格子周围存在白色格子，一开始便进入了循环，如果周围没有，需要等待周围的黑色格子变白，然后这些白色格子被污染后才能改变状态，在某一段持续的时间内都是白色。这说明，并不是所有黑色格子都是污染源，只有周围存在白色格子的黑色格子才是污染源，可以通过这个白色格子将颜色传递；反之只能在变成白色格子后等待被污染（没有考虑这个会$wa$一半）。同时证明，我们的$dp$方程不是针对白色格子，而是针对所有不能做污染源的格子。

思考怎么更新$dp$状态，每个格子都会受到周围一圈格子的影响，所以，状态更新应该从周围一圈格子传递过来，周围一圈格子又从它们周围一圈格子传递状态，最终追溯到污染源，于是想到多源$bfs$，将所有污染源加入队列不断更新状态，这是算法应用。得到格子进入循环时间，当最晚的格子进入循环，整个方块进入循环。由于颜色随时间不断交替，所以可以考虑对时间分奇偶，假设格子在时间$t$进入循环，$t$是偶数，则最终颜色和当前一样（$10^{100}$是偶数），反之最终颜色和当前相反。

发现样例$2$无法通过，直觉告诉我们样例$2$是种特例（坑点$2$），手玩样例后发现，当方块初始状态下同色时，最终是白色，原因是缺少污染源。最终得到$AC$代码

复制代码

#define rep(i, x, y) for (int i = x; i <= y; i++)
#define per(i, x, y) for (int i = x; i >= y; i--)
#define t2 tuple<int, int>
const int inf = 1e6 + 10;
int dx[] = {-1, -1, -1, 0, 1, 1, 1, 0};
int dy[] = {-1, 0, 1, 1, 1, 0, -1, -1};
void solve() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector vec(n + 1, vector<char>(m + 1));
    vector dp(n + 1, vector<int>(m + 1, inf));
    queue<t2> q;
    rep(i, 1, n) rep(j, 1, m) cin >> vec[i][j];
    rep(i, 1, n) rep(j, 1, m) {
        if (vec[i][j] == '.') continue;
        rep(k, 0, 7) {
            int a = i + dx[k], b = j + dy[k];
            if (a < 1 || a > n || b < 1 || b > m) continue;
            if (vec[a][b] == '.') {
                q.push({i, j});
                dp[i][j] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    while (q.size()) {
        auto [x, y] = q.front();
        q.pop();
        rep(i, 0, 7) {
            int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
            if (a < 1 || a > n || b < 1 || b > m) continue;
            if (dp[a][b] > dp[x][y] + 1) {
                dp[a][b] = dp[x][y] + 1;
                q.push({a, b});
            }
        }
    }
    rep(i, 1, n) {
        rep(j, 1, m) {
            if (dp[i][j] & 1 || dp[i][j] == inf) cout << '.';
            else cout << '#';
        }
        cout << '\n';
    }
}

偶尔写写题，锻炼一下脑子

ABC460d