CRC校验介绍 - 技术栈

文章目录

核心原理：多项式除法
具体步骤
举例演示 (CRC-3)
CRC的检错能力
硬件实现与软件计算
常见应用与标准
一些注意事项

CRC（Cyclic Redundancy Check，循环冗余校验）是一种根据数据产生简短固定位数校验码的算法，主要用于检测数字数据在传输或存储过程中是否发生错误。它的检错能力强、实现简单，在通信、存储等领域应用非常广泛。

核心原理：多项式除法

CRC校验的核心思想是：将二进制数据看作一个多项式的系数，然后使用一个预设的"除数"多项式（即生成多项式）去除这个数据多项式，得到的余数就是CRC校验码。

具体步骤

1、数据多项式：假设要发送的数据是 1011001（二进制）。可以把它表示为一个多项式：

bash 复制代码

M(x) = 1*x^6 + 0*x^5 + 1*x^4 + 1*x^3 + 0*x^2 + 0*x^1 + 1*x^0 = x^6 + x^4 + x^3 + 1

2、生成多项式：发送方和接收方必须事先约定一个生成多项式 G(x)。它的最高次幂记为 r（r位）。常见标准如：

bash 复制代码

CRC-8：x^8 + x^2 + x + 1 (对应二进制：1 0000 0111)

CRC-16-CCITT：x^16 + x^12 + x^5 + 1 (对应二进制：1 0001 0000 0010 0001)

CRC-32（以太网、ZIP等）：x^32 + x^26 + x^23 + ... + x^2 + x + 1

3、补零并做模2除法：

在原数据比特串后面补 r 个0，得到 M(x) * x^r。这样做的目的是为余数（校验码）留出位置。

用这个补零后的数，除以生成多项式 G(x)，除法使用模2除法（即按位异或，不借位、不进位）。

4、得到CRC校验码：模2除法得到的余数（长度一定小于r位，如果不足r位则前面补0）就是CRC校验码。

5、发送数据：将原数据与计算出的CRC校验码拼接起来，形成最终的发送帧：原数据 + CRC码。

举例演示 (CRC-3)

原始数据：1101 (二进制)

生成多项式 G(x)：1011 (对应 x^3 + x + 1, 最高次幂 r=3)

计算CRC码的步骤：

1、补3个0：数据后面加3个0 → 1101 000

2、模2除法：用 1101000 除以 1011（只做异或运算）

bash 复制代码

      1 0 0 1  (商，这里不关心)
    __________
1011 ) 1 1 0 1 0 0 0
      1 0 1 1
      -------
        1 1 0 0   (余数拖下一位0)
        1 0 1 1
        -------
          1 1 1 0 (余数拖下一位0)
          1 0 1 1
          -------
            1 0 1 0 (余数拖下一位0)
            1 0 1 1
            -------
              0 0 1   (最终余数)

3、得到余数：001。这就是CRC-3校验码（r=3位）。

4、发送数据：1101 + 001 = 1101001。

接收方校验：

接收方收到 1101001，使用同一个生成多项式 1011 去除它（同样做模2除法）。如果余数为 000，则说明数据在传输中没有出错；如果余数非0，则说明发生了错误。

bash 复制代码

      1 0 0 1
    __________
1011 ) 1 1 0 1 0 0 1
      1 0 1 1
      -------
        1 1 0 0
        1 0 1 1
        -------
          1 1 1 0
          1 0 1 1
          -------
            1 0 1 1
            1 0 1 1
            -------
              0 0 0 (余数为0，校验通过)

CRC的检错能力

CRC的检错能力与生成多项式的设计密切相关。一个设计良好的CRC多项式可以保证检测出：

所有奇数个错误（前提是多项式包含因子 (x+1)）

所有双比特错误

所有长度 ≤ r 的突发错误（连续的一段错误）

长度 = r+1 的突发错误，漏检概率为 1/2^(r-1)

长度 > r+1 的突发错误，漏检概率为 1/2^r

硬件实现与软件计算

硬件实现：非常高效。可以使用带有反馈移位的线性反馈移位寄存器（LFSR）来实现。每一位时钟周期处理一个输入位，结构极其简单。

做FPGA的伙伴可以学习，做软件的了解即可。博主也只是略微扫了一眼。

常见应用与标准

一些注意事项

1、不是纠错码：CRC主要用于检测错误，虽然理论上可以纠错，但在实践中通常只用于检测。发现错误后，一般会请求对方重传数据。

2、初值和异或值：许多实际标准会对CRC寄存器设置一个初始值（比如全1），并在计算结束后对结果异或一个固定值（如全1），以增强鲁棒性。这可以防止漏检数据开头的额外0。

3、输入/输出反转：有些协议（如以太网CRC-32）要求输入数据的每个字节比特顺序反转，或最终CRC值的字节顺序反转。这在实现时需要特别注意。