《LeetCode 509 斐波那契数记忆化搜索DFS解法》

一.题目

二.思路讲解

2.1 思路讲解

在递归求解某些问题时，我们常常会发现递归展开图 中存在大量重复计算 。比如斐波那契数列、爬楼梯等经典问题，同样的子问题被反复求解，导致效率低下。如果能缓存已经计算过的结果，遇到相同子问题时直接返回，就能避免重复递归 ，从而将指数级复杂度优化为多项式级。这种以空间换时间 的优化方法，就是记忆化搜索。

2.2 记忆化搜索步骤

实现记忆化搜索通常遵循三个步骤：

初始化备忘录 ：创建一个数组（或哈希表）来存储已经计算过的子问题的结果，并初始化为"未计算"的标记（如 -1、0 或 nullptr）。
递归时先查备忘录 ：在进入递归计算前，先检查备忘录中是否已有当前状态的结果。若有，则直接返回，不再重复递归。
把递归结果放入备忘录：计算出当前状态的结果后，将其存入备忘录，以便后续复用。

三.记忆化搜索、暴搜、动态规划的认识

3.1 记忆化搜索和动态规划

记忆化搜索 与动态规划 关系非常紧密，它们都是对暴力搜索 的优化手段，本质都是利用重叠子问题 来避免重复计算。记忆化搜索常被视为动态规划的一种自顶向下 实现形式，而动态规划通常采用自底向上的递推方式。两者在思想上是相通的，只是实现方式不同。

3.2 记忆化搜索和动态规划的区别

记忆化搜索 ：采用递归方式，从大问题开始，递归地分解为子问题，并缓存计算结果，属于自顶向下（Top-Down）的思路。
动态规划 ：采用迭代方式，从小问题开始，逐步推导出大问题的解，属于自底向上（Bottom-Up）的思路。

3.3 暴搜与二者的关系

既然记忆化搜索和动态规划都是对暴力搜索的优化，那么是否所有暴力搜索都能转换为这两种形式？不一定 。优化的前提是问题存在重叠子问题------即递归过程中有大量重复计算。如果递归树中每个子问题只出现一次（如某些树形结构问题），那么暴力搜索本身就是最优的，无需优化。此外，动态规划的状态表示往往也源自暴力搜索的递归定义。

四.代码演示

cpp 复制代码

class Solution 
{
public:
    int memo[31];
    int fib(int n)
    {
        //初始化
        memset(memo,-1,sizeof(memo));
        return dfs(n);    
    }
    int dfs(int n)
    {
        //往备忘录查找一下
        if(memo[n] != -1)
            return memo[n];
        //把递归结果放入备忘录
        if(n == 0 || n == 1)
        {
            memo[n] = n;
            return n;
        }
        //把递归结果放入备忘录
        memo[n] = dfs(n-1) + dfs(n - 2);
        return memo[n];

    }
};

五.代码讲解

一、备忘录初始化

在 fib 函数中，我们首先定义一个备忘录数组 memo[31]（因为题目中 n 的范围通常 ≤ 30），并使用 memset(memo, -1, sizeof(memo)) 将其所有元素初始化为 -1 ，表示对应子问题尚未计算过。然后调用递归函数 dfs(n) 开始计算。

二、递归函数 `dfs`

dfs(n) 负责计算第 n 个斐波那契数，并利用备忘录避免重复计算。执行流程如下：

1. 查备忘录

首先检查 memo[n] 是否不等于 -1，若是，则说明该子问题已经计算过，直接返回 memo[n]，无需重复递归。这是记忆化搜索的核心优化。

2. 递归终止条件

当 n == 0 或 n == 1 时，斐波那契数即为 n 本身。此时将结果存入备忘录（memo[n] = n），并返回 n。

3. 递归计算并存储

对于 n > 1，通过 dfs(n-1) + dfs(n-2) 递归计算，然后将结果存入备忘录（memo[n] = ...），最后返回该结果。

三、关键细节

备忘录的作用 ：将每个子问题的结果保存下来，后续遇到相同子问题时直接返回，避免了指数级的重复计算。例如，计算 fib(5) 时，fib(3) 只需计算一次，之后被多次复用。
初始化值的选择：用 -1 表示"未计算"，因为斐波那契数均为非负整数，-1 不会与有效结果冲突。

《LeetCode 509 斐波那契数 记忆化搜索DFS解法》