沐神-动手学习深度学习 2.4 - 微积分课后习题

2.4 微积分 题目

1. 绘制函数y=f(x)=x3−1xy = f(x) = x^3 - \frac{1}{x}y=f(x)=x3−x1和其在x=1x = 1x=1处切线的图像。
2. 求函数f(x)=3x12+5ex2f(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 5e^{x_2}f(x)=3x12+5ex2的梯度。
3. 函数f(x)=∥x∥2f(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|_2f(x)=∥x∥2的梯度是什么？
4. 尝试写出函数u=f(x,y,z)u = f(x, y, z)u=f(x,y,z)，其中x=x(a,b)x = x(a, b)x=x(a,b)，y=y(a,b)y = y(a, b)y=y(a,b)，z=z(a,b)z = z(a, b)z=z(a,b)的链式法则。

解答

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以下是四个问题的解答：

1. 绘制函数y = x\^3 - \\frac{1}{x}及其在x=1处的切线
   步骤：

计算导数：f'(x) = 3x\^2 + \\frac{1}{x\^2}

求x=1处的导数值：f'(1) = 3(1)\^2 + \\frac{1}{1\^2} = 4

求x=1处的函数值：f(1) = 1\^3 - \\frac{1}{1} = 0

切线方程：y = 4(x-1) + 0 \\Rightarrow y = 4x - 4

图像特征：

原函数在x\>0时，随x增大快速上升；在x\<0时，因-1/x项主导，左侧有垂直渐近线。

切线在x=1处与函数相切，斜率为4。

2. 求函数f(\\mathbf{x}) = 3x_1\^2 + 5e\^{x_2}的梯度

   梯度计算：

   \\nabla f = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial f}{\\partial x_1} \\frac{\\partial f}{\\partial x_2} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} 6x_1 5e\^{x_2} \\end{bmatrix}

3. 函数f(\\mathbf{x}) = \|\\mathbf{x}\|_2的梯度

   定义：f(\\mathbf{x}) = \\sqrt{x_1\^2 + x_2\^2 + \\dots + x_n\^2}

   梯度公式（当\\mathbf{x} \\neq \\mathbf{0}时）：

   \\nabla f = \\frac{\\mathbf{x}}{\|\\mathbf{x}\|_2}

特例：若\\mathbf{x} = \\mathbf{0}，梯度不存在（原点处不可导）。

4. 链式法则应用：u = f(x,y,z)，其中x = x(a,b), y = y(a,b), z = z(a,b)
   链式法则表达式：

   \\frac{\\partial u}{\\partial a} = \\frac{\\partial f}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial x}{\\partial a} + \\frac{\\partial f}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial y}{\\partial a} + \\frac{\\partial f}{\\partial z} \\cdot \\frac{\\partial z}{\\partial a}

   \\frac{\\partial u}{\\partial b} = \\frac{\\partial f}{\\partial x} \\cdot \\frac{\\partial x}{\\partial b} + \\frac{\\partial f}{\\partial y} \\cdot \\frac{\\partial y}{\\partial b} + \\frac{\\partial f}{\\partial z} \\cdot \\frac{\\partial z}{\\partial b}

公式总结

问题	关键公式
1	f'(x) = 3x\^2 + \\frac{1}{x\^2}，切线y = 4x - 4
2	\\nabla f = \[6x_1, 5e^{x_2}^T]
3	[\nabla f = \frac{\mathbf{x}}{
4	链式法则如上述分步公式
如需进一步代码实现（如绘制图像），可提供具体编程语言要求。

以下是针对代码的逐层解析，主要围绕plot()和set_axes()两个绘图函数的功能实现：

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一、函数功能概览

这两个函数是深度学习教材《动手学深度学习》(D2L) 中封装的标准化绘图工具，主要作用是通过简化matplotlib的API调用流程，实现快速创建规范化的科研图表。

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二、set_axes()函数解析

#@save
def set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend):
    """设置matplotlib的轴"""
    axes.set_xlabel(xlabel)          # 设置X轴标签
    axes.set_ylabel(ylabel)          # 设置Y轴标签
    axes.set_xscale(xscale)          # 设置X轴刻度类型（linear/log）
    axes.set_yscale(yscale)          # 设置Y轴刻度类型
    axes.set_xlim(xlim)              # 设置X轴范围
    axes.set_ylim(ylim)              # 设置Y轴范围
    if legend:
        axes.legend(legend)          # 添加图例
    axes.grid()                      # 显示网格

核心作用：集中配置坐标轴属性，通过参数化实现以下功能：

• 坐标标签设置（xlabel/ylabel）
• 坐标范围控制（xlim/ylim）
• 刻度类型转换（xscale/yscale支持线性/对数坐标）
• 图例与网格的显示控制

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三、plot()函数解析

#@save
def plot(X, Y=None, xlabel=None, ylabel=None, legend=None, xlim=None,
         ylim=None, xscale='linear', yscale='linear',
         fmts=('-', 'm--', 'g-.', 'r:'), figsize=(3.5, 2.5), axes=None):
    # 参数预处理
    if legend is None: legend = []
    set_figsize(figsize)  # 设置画布尺寸
    axes = axes if axes else d2l.plt.gca()  # 获取当前axes或新建

    # 数据维度检测函数
    def has_one_axis(X):
        return (hasattr(X, "ndim") and X.ndim == 1 or 
                isinstance(X, list) and not hasattr(X[0], "__len__"))

    # 数据格式标准化
    if has_one_axis(X): X = [X]
    if Y is None: X, Y = [[]]*len(X), X
    elif has_one_axis(Y): Y = [Y]
    if len(X) != len(Y): X = X * len(Y)

    # 清空画布并绘制曲线
    axes.cla()
    for x, y, fmt in zip(X, Y, fmts):
        axes.plot(x, y, fmt) if len(x) else axes.plot(y, fmt)
    
    # 调用set_axes配置坐标轴
    set_axes(axes, xlabel, ylabel, xlim, ylim, xscale, yscale, legend)

关键设计亮点

1. 智能数据适配

   • 通过has_one_axis()自动检测一维数据，将其包装为二维列表
   • 支持Y=None时自动用X作为Y值（此时X索引作为X轴）

2. 多曲线绘制

   • fmts参数预设4种线条样式（实线、品红虚线、绿点划线、红点线）
   • 通过zip(X,Y,fmts)实现多组数据对应不同样式的自动匹配

3. 灵活的画布控制

   • figsize=(3.5,2.5)默认采用论文常用的小尺寸图表
   • 支持传入外部axes对象实现多子图绘制

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四、典型使用示例

import numpy as np
x = np.linspace(0, 10, 100)
y1 = np.sin(x)
y2 = np.cos(x)

# 绘制双曲线
plot([x, x], [y1, y2], 
     xlabel='x', ylabel='y', 
     legend=['sin(x)', 'cos(x)'], 
     xlim=(0, 10), ylim=(-1.5, 1.5))

输出效果：

• 生成尺寸为3.5x2.5英寸的图表
• X轴标签为"x"，范围0-10；Y轴标签为"y"，范围-1.5~1.5
• 两条曲线分别以实线('-')和品红虚线('m--')呈现
• 右下角显示图例说明

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五、与原生matplotlib的对比

功能	原生matplotlib实现	D2L plot()函数优势
多曲线绘制	需手动循环调用plt.plot()，样式需逐个设置	自动匹配数据与样式，支持批量绘制
坐标轴配置	需分别调用xlabel()、xlim()等多个函数	通过set_axes()集中配置，参数化更简洁
画布尺寸	需记忆plt.figure(figsize=(w,h))	预设科研常用尺寸，通过set_figsize()快捷调整
数据维度处理	需手动处理一维/二维数据转换	自动检测数据维度并进行标准化包装

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该工具函数的设计充分体现了封装常用模式 和降低使用门槛的理念，特别适合深度学习实验中快速可视化训练曲线、数据分布等场景。