频谱、功率谱和功率谱密度

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所有代码都可以直接复制到 Python 环境里运行。

一、基本概念

我们有一个时域信号，比如一段随时间变化的电压：

频谱（幅度谱）

告诉我们：信号里有哪些频率成分，每个频率的振幅有多大。

比如"50 Hz的正弦波振幅是1，120 Hz的正弦波振幅是0.5"。
功率谱

告诉我们：每个频率成分的功率（与振幅的平方成正比）有多大。

物理上功率 ≈ 振幅²，所以功率谱 ≈ 频谱的平方。它不关心相位，只看能量大小。
功率谱密度（PSD）

与功率谱类似，但它把功率分摊到单位频率（每Hz）上。

当你改变频率分辨率时，功率谱的数值会变，而功率谱密度近似不变，更"物理"。通常用 dB/Hz 表示。

一句话对比：

频谱（幅度）→ 振幅大小；功率谱 → 功率大小；功率谱密度 → 每Hz含有多少功率。

二、生成仿真信号

我们构造一个 1 秒长的信号，采样率 1000 Hz，包含：

50 Hz 正弦波，振幅 1
120 Hz 正弦波，振幅 0.5
一些高斯白噪声

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.signal import periodogram

参数设置

fs = 1000 # 采样频率 1000 Hz
T = 1.0 # 时长 1 秒
N = int(fs * T) # 总采样点数
t = np.linspace(0, T, N, endpoint=False) # 时间轴

构造信号：两个正弦波 + 噪声

f1, A1 = 50, 1.0 # 频率50Hz，振幅1
f2, A2 = 120, 0.5 # 频率120Hz，振幅0.5
noise_amp = 0.8 # 噪声标准差
signal = A1 * np.sin(2 * np.pi * f1 * t)
+ A2 * np.sin(2 * np.pi * f2 * t)
+ noise_amp * np.random.randn(N)

三、计算频谱、功率谱、功率谱密度

复制代码

# ---- 1. 频谱（幅度谱）----
# 用 FFT 计算，并做归一化让峰值等于正弦波的振幅
fft_vals = np.fft.fft(signal)                # 复数FFT
freqs = np.fft.fftfreq(N, 1/fs)              # 频率轴

# 取正频率部分（单边谱）
positive_freqs = freqs[:N//2]
# 幅度谱：取绝对值，乘以2（单边能量），再除以N
magnitude = (2 / N) * np.abs(fft_vals[:N//2])

# ---- 2. 功率谱（|FFT|^2，未归一化为密度）----
# 直接取FFT模的平方，同样处理单边
power_spectrum = (2 / N**2) * np.abs(fft_vals[:N//2])**2

# ---- 3. 功率谱密度（PSD）----
# 使用周期图法，自动完成：分段 / 加窗 / 归一化到 V^2/Hz
f_psd, psd = periodogram(signal, fs, scaling='density')
# 转换成 dB/Hz 方便观察
psd_db = 10 * np.log10(psd)

为什么有不同的归一化？

幅度谱 2*|FFT|/N：让正弦波的峰高刚好等于它的振幅（1.0 和 0.5）。
功率谱 2*|FFT|²/N²：让正弦波的峰高等于振幅²（1.0 和 0.25）。
功率谱密度（PSD）：periodogram 把总功率分摊到 Hz，使得噪声基底不会随采样点数的变化而大幅改变。

四、画图对比

复制代码

plt.figure(figsize=(12, 10))

# 子图1：原始信号（只画前200个点，否则太密）
plt.subplot(4, 1, 1)
plt.plot(t[:200], signal[:200])
plt.title('原始信号（前 0.2 秒）')
plt.xlabel('时间 (s)')
plt.ylabel('幅度')

# 子图2：幅度谱
plt.subplot(4, 1, 2)
plt.plot(positive_freqs, magnitude)
plt.title('频谱（幅度谱）')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('振幅')
plt.xlim(0, 200)   # 只看0~200 Hz
plt.grid(True)

# 子图3：功率谱
plt.subplot(4, 1, 3)
plt.plot(positive_freqs, power_spectrum)
plt.title('功率谱（|FFT|² 未归一化密度）')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('功率 (幅度²)')
plt.xlim(0, 200)
plt.grid(True)

# 子图4：功率谱密度（PSD），单位 dB/Hz
plt.subplot(4, 1, 4)
plt.plot(f_psd, psd_db)
plt.title('功率谱密度（PSD）')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('功率谱密度 (dB/Hz)')
plt.xlim(0, 200)
plt.grid(True)

plt.tight_layout()
plt.show()

图形解读：

原始信号：看不出频谱，只能看到波形。
幅度谱：在 50 Hz 处有一个尖峰，高度≈1.0；在 120 Hz 处高度≈0.5；其他地方是噪声引起的低矮"草"。
功率谱：同样 50 Hz≈1.0²=1；120 Hz≈0.5²=0.25。数值变化更"剧烈"。
功率谱密度：纵轴是 dB/Hz，峰值位置相同，但整个曲线的"基底"变得平坦且不随采样点数变化。噪声整体呈一条水平线（白噪声的特点）。

五、核心区别小结

名称	物理意义	单位（若信号是V）	与频率分辨率的关系
频谱（幅度）	频率对应的振幅	V	不改变高度，只改变点数
功率谱	频率对应的功率	V²	数值随频率分辨率改变
功率谱密度	每 Hz 的功率	V²/Hz 或 dB/Hz	近似不变，反映真实密度
记住：

想看振幅大小 → 用幅度谱。
想看能量分布、比较不同长度信号 → 用功率谱密度。
功率谱是中间产物，工程上常用 PSD 替代。

你可以把上面代码里的 f1, A1, f2, A2, noise_amp 改成别的数值试试，几个图会立刻反映出变化。