线性代数学习笔记（6-10课）
第六课：分块矩阵
I 分块运算的规则
- 分块矩阵
- 运算规则
- 加法
- 乘法
前提：AAA 的列分发和 BBB 的行分法必须完全相同
II 分块对角阵的性质
定义：一个分块矩阵除了主对角线上的子块外，其余所有子块都是零矩阵
形式：
性质：
- 行列式等于对角块行列式之积
- 逆矩阵等于对角块逆矩阵的分块对角阵
III 分块技巧的应用（分块矩阵辅助求逆）
-
MMM 对角块或块三角矩阵
-
MMM 特殊结构
第七课：行列式基础
I 排列和逆序数
- 排列
- 逆序
- 逆序数：记为
τ - 奇排列和偶排列：有逆序数的奇偶性来定
II 行列式的数学定义
一般记为 det(A) 或 |A|
-
2阶行列式
| a11 a12 |
| a21 a22 | = a11 * a22 - a12 * a21 -
3阶行列式
| a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 | = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
| a31 a32 a33 | - a13a22a31 - a11a23a32 - a12a21a33 -
n阶行列式的完全展开式定义
设 A 是一个 n×n 方阵，其元素为 a_{ij} ，则它的行列式定义为：
det(A) = Σ_{(j1, j2, ..., jn)} [ (-1)^{τ(j1, j2, ..., jn)} * a_{1j1} * a_{2j2} * ... * a_{njn} ]
III 行列式的几何意义
一个
n×n矩阵A可以代表一个n维空间中的线性变换。而行列式det(A)则完美地刻画了这个变换对空间造成的两种几何影响
- 缩放倍数（由 ∣det(A)∣|det(A)|∣det(A)∣ 决定）
- 方向改变（由行列式符号
sign(det(A))决定）
det(A) = 0
相当于把一个 nnn 维空间压缩到了一个更低为的的空间里
这对应的矩阵是不可逆的
第八课 行列式核心性质
I 行列式的"外形"变化
性质一：转置不变性
一个矩阵的行列式和其转置后的行列式相同。即 ∣D∣=∣DT∣|D|=|D^T|∣D∣=∣DT∣
性质二：交换其中两行列，行列式变号
性质三：两行（列）相同，行列式为零
假设这两行相同，交换它们。根据性质二，行列式应变号。但交换相同的两行，行列式根本没有任何变化！所以这个值必须同时等于它自己和自己的相反数，唯一可能就是这个值本身是 0。
II 行列式的"内部"运算性质
性质四：数乘性质（提公因子）
行列式的其中某一行乘以 $k，等价于用 kkk 乘以行列式本身
性质五：拆分性质（线性性）
性质六：倍加不变性
将某一行的 kkk 倍加到另一行上，行列式的值不变
这有利于我们把行列式化成上三角行列式进行求解
III 特殊行列式
- 核心技巧
利用性质六（倍加不变），将主对角线下的元素全部变成0，即上三角矩阵，此时行列式就变成了主对角线上所有元素的乘积
- 重要性质：两行（列）成比例，行列式为零
我们可以先由性质四（数乘性质）和性质三共同推出
这个方法可以让我们快速判断一个行列式是否为0
- "行和相等"型行列式
所有行（或列）的元素加起来都相等。常用技巧是将所有列（或行）都加到第一列（行），提取公因子，再创造零元素。
- "爪型"行列式
除了主对角线和第一行、第一列外，其余元素均为0。通常通过倍加操作，将其化为上（下）三角行列式。
第九课：代数余子式和展开定理
I 余子式与代数余子式
- 余子式
- 代数余子式
代数余子式是在余子式上的基础上乘上一个符号因子
Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij=(−1)i+jMij
II 行列式按行（列）展开定理
一个 nnn 阶行列式 DDD 的值，等于它的任意一行（或任意一列）的所有元素与其对应的代数余子式的乘积之和。
两种表达形式：
这个定理的本质是降阶。它将一个 n 阶行列式的计算，转化为 n 个 (n-1) 阶行列式（即余子式）的计算。
在具体计算过程中，我们优先选含"0"的行或列进行展开
III 伴随矩阵与逆矩阵公式
- 伴随矩阵的定会与构造
对于一个 nnn 阶方阵 A=(aij)n×nA=(a_{ij})_{n\times n}A=(aij)n×n，我们定义它的伴随矩阵为 A∗A^{*}A∗ 或 adj(A)\text{adj}(A)adj(A)
- 伴随矩阵与逆矩阵
对于任意 nnn 阶方阵 AAA，恒有以下关系：
由此，我们可以得到一个逆矩阵的决定公式：
A−1=1∣A∣A∗ \boxed{A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*} A−1=∣A∣1A∗
第十课：克莱姆法则
I 方程组与克莱姆法则
假设我们现在要解这样一个方程：
此时我们记系数行列式 DDD：
那克莱姆法则说的是：
若 D≠0D\ne 0D=0
则方程有唯一解，且
xj=DjD,j=1,2,...,n \boxed{x_j=\dfrac{D_j}{D},\qquad j=1,2,\dots,n} xj=DDj,j=1,2,...,n
DjD_jDj 的定义：
II 齐次方程组
但凭直觉知道，这种方差也可能有非0解，那必然有 D=0D = 0D=0
因此，我们可以得到一个等价命题：
齐次线性方程组 Ax=0Ax=0Ax=0 有非零解 ⇔ det(A)=0\det(A)=0det(A)=0
III 克莱姆法则简单用途
- 作为"唯一解存在性"的简介判据
- 打通"行列式 ↔ 逆矩阵 ↔ 解方程组"的逻辑闭环
克莱姆法则本质上是伴随矩阵求逆的另一种写法。
