Complex Neural Network Based Joint AoA and AoD Estimation for Bistatic ISAC（II）

文章目录

• • [IV. 基于机器学习的 AoA 和 AoD 估计](#IV. 基于机器学习的 AoA 和 AoD 估计)
  • [V. 参数化二维算法](#V. 参数化二维算法)
  • • [A. 算法描述](#A. 算法描述)
    • [B. 所需估计开销与复杂度](#B. 所需估计开销与复杂度)

IV. 基于机器学习的 AoA 和 AoD 估计

已有大多数文献 17, 18, 19 使用接收矩阵、已知导频信息 S P , n \mathbf{S}_{P,n} SP,n 或其协方差矩阵作为输入；而本文利用估计信道矩阵，并对其行执行 IFFT，从中提取一个降维后的矩阵 H ~ k \tilde{\mathbf{H}}_k H~k，其尺寸为 N t × N r N_t\times N_r Nt×Nr，包含关于 θ k \theta_k θk 和 ϕ k \phi_k ϕk 的全部信息，如第 II-D 节所述。在本文场景中，接收矩阵对应包含全部 OFDM 符号的 Y n \mathbf{Y}_n Yn。

注：

• 神经网络输入来自频域 IFFT 后的峰值矩阵。 这里输入 NN 的不是完整频域信道矩阵 H ˉ \bar{\mathbf H} Hˉ，也不是包含子载波维度的三维信道张量，而是先沿频域/子载波维度做 IFFT，再选取粗定时峰值 delay bin 后得到的空间矩阵。具体地，先对每个发射-接收天线对的频域响应执行

  h ˉ m = IFFT ⁡ ( H ˉ m , : ) = F H H ˉ m , : T , \bar{\mathbf h}m = \operatorname{IFFT} \left( \bar{\mathbf H}{m,:} \right) = \mathbf F^H\bar{\mathbf H}_{m,:}^T, hˉm=IFFT(Hˉm,:)=FHHˉm,:T,

  然后取峰值索引 i k i_k ik 对应的 delay bin，并重塑为

  H ~ k ≃ r e s N r , N t ( F H ) \[ i k , : H ˉ T ] . \tilde{\mathbf H}k \simeq res{N_r,N_t} \left (\\mathbf F\^H)_{\[i_k,:}\bar{\mathbf H}^T \right]. H~k≃resNr,Nt(FH)\[ik,:HˉT].

  因此，网络实际使用的是某个时延峰值处的 N r × N t N_r\times N_t Nr×Nt 空间 MIMO 矩阵；后文将其展开为长度 S i n p = N t N r S_{inp}=N_tN_r Sinp=NtNr 的复值输入向量。若多个目标落入同一个 delay bin，则该输入矩阵包含这些目标的 AoA/AoD 空间响应叠加；若目标在 delay bin 上完全分离，则每个峰值矩阵主要对应单个目标。

对于深度网络设计，一种直接做法是使用 MLP，并将复值输入预处理成适合的输入张量。例如，可以像 21 那样拼接输入的实部、虚部和复数辐角：

I ^ k = ℑ ( H \~ k ) ; arg ⁡ ( H \~ k ) ; ℜ ( H \~ k ) ∈ R N t × N r × 3 . (21) \hat{\mathbf{I}}_k= \begin{bmatrix} \Im(\tilde{\mathbf{H}}_k);\ \arg(\tilde{\mathbf{H}}_k);\ \Re(\tilde{\mathbf{H}}_k) \end{bmatrix} \in\mathbb{R}^{N_t\times N_r\times 3}. \tag{21} I^k=ℑ(H\~k); arg(H\~k); ℜ(H\~k)∈RNt×Nr×3.(21)

然而，本文受近期研究启发，采用复值 NN 32。这些研究表明，复数具有更丰富的表示能力和有吸引力的性质。由于通信系统建模天然包含复值运算，这一选择尤其相关。因此，本文使用复值卷积层和复值线性层作为网络的基本构建模块。具体而言，线性层权重和卷积滤波器权重表示为复矩阵 W = W r + j W i \mathbf{W}=\mathbf{W}_r+j\mathbf{W}_i W=Wr+jWi。该方法使我们能够有效利用这些层中的固有复值操作，从而获得更强的表达和建模能力。举例来说，在复域中对复向量 h = x + j y \mathbf{h}=\mathbf{x}+j\mathbf{y} h=x+jy 执行等价的常规实值卷积时，有

W ∗ h = ( W r ∗ x − W i ∗ y ) + j ( W i ∗ x + W r ∗ y ) . (22) \begin{aligned} \mathbf{W}*\mathbf{h} &=(\mathbf{W}_r*\mathbf{x}-\mathbf{W}_i*\mathbf{y})\\ &\quad+j(\mathbf{W}_i*\mathbf{x}+\mathbf{W}_r*\mathbf{y}). \end{aligned} \tag{22} W∗h=(Wr∗x−Wi∗y)+j(Wi∗x+Wr∗y).(22)

这是由卷积算子的分配律得到的。用矩阵记号描述卷积操作的实部和虚部分量，可写为

ℜ ( W ∗ h ) ℑ ( W ∗ h ) = W r − W i W i W r ∗ x y . (23) \begin{bmatrix} \Re(\mathbf{W}*\mathbf{h})\\ \Im(\mathbf{W}*\mathbf{h}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{W}_r & -\mathbf{W}_i\\ \mathbf{W}_i & \mathbf{W}_r \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} \mathbf{x}\\ \mathbf{y} \end{bmatrix}. \tag{23} ℜ(W∗h)ℑ(W∗h)=WrWi−WiWr∗xy.(23)

类似地，利用乘法的分配律，可以由两个实值线性层构造复值线性层。Fig. 2 给出了一个复值 NN 的例子，其中第 k k k 层的权重和偏置参数分别为 W k = W r , k + j W i , k \mathbf{W}k=\mathbf{W}{r,k}+j\mathbf{W}{i,k} Wk=Wr,k+jWi,k 与 b k = b r , k + j b i , k \mathbf{b}k=\mathbf{b}{r,k}+j\mathbf{b}{i,k} bk=br,k+jbi,k。若上一层输入为 z k − 1 = x k − 1 + j y k − 1 \mathbf{z}{k-1}=\mathbf{x}{k-1}+j\mathbf{y}_{k-1} zk−1=xk−1+jyk−1，则该层响应为

z k = ( W r , k x k − 1 − W i , k y k − 1 + b r , k ) + j ( W r , k y k − 1 + W i , k x k − 1 + b i , k ) . (24) \begin{aligned} \mathbf{z}k &=(\mathbf{W}{r,k}\mathbf{x}{k-1}-\mathbf{W}{i,k}\mathbf{y}{k-1}+\mathbf{b}{r,k})\\ &\quad+j(\mathbf{W}{r,k}\mathbf{y}{k-1}+\mathbf{W}{i,k}\mathbf{x}{k-1}+\mathbf{b}_{i,k}). \end{aligned} \tag{24} zk=(Wr,kxk−1−Wi,kyk−1+br,k)+j(Wr,kyk−1+Wi,kxk−1+bi,k).(24)

Fig. 2. 所提出前馈神经网络的结构：它由复值线性层和 CReLU 激活函数组成。每个峰值处的信道矩阵用于计算对应的 AoA 和 AoD。

已有文献提出了多种处理复值表示的激活函数。本文具体采用复值修正线性单元（CReLU）。该激活函数独立作用于每个复值神经元的实部和虚部，即

CReLU ⁡ ( z k ) = ReLU ⁡ ( ℜ ( z k ) ) + j ReLU ⁡ ( ℑ ( z k ) ) . (25) \begin{aligned} \operatorname{CReLU}(\mathbf{z}_k) &=\operatorname{ReLU}(\Re(\mathbf{z}_k))\\ &\quad+j\operatorname{ReLU}(\Im(\mathbf{z}_k)). \end{aligned} \tag{25} CReLU(zk)=ReLU(ℜ(zk))+jReLU(ℑ(zk)).(25)

需要强调的是，网络不需要被约束为全纯函数；已有研究表明，使目标函数和激活函数分别关于实部与虚部可微就是充分条件 33。训练数据按照第 II 节模型生成。对于目标完全分离的情形，所采用架构包含三个隐藏层和一个最终输出层，输出层由 N o u t = 2 N_{out}=2 Nout=2 个神经元组成，分别对应 AoA 和 AoD 的预测。输入为展开后的输入矩阵向量，尺寸为 S i n p = N t N r S_{inp}=N_tN_r Sinp=NtNr。三个隐藏层将输入映射到如下潜在维度： ⌊ S i n p / 2 ⌋ , ⌊ S i n p / 4 ⌋ , ⌊ S i n p / 8 ⌋ \\lfloor S_{inp}/2\\rfloor,\\lfloor S_{inp}/4\\rfloor,\\lfloor S_{inp}/8\\rfloor ⌊Sinp/2⌋,⌊Sinp/4⌋,⌊Sinp/8⌋。一个带 CReLU 激活函数、将 S i S_i Si 映射到 S o S_o So 的复值线性层总共需要 4 ( S i ⋅ S o ) + 2 S i 4(S_i\cdot S_o)+2S_i 4(Si⋅So)+2Si 次乘法和 4 S o + 3 S i 4S_o+3S_i 4So+3Si 次加法。因此，将不同层的乘法和加法贡献相加，可得总操作数为

T m u l = 4 ( S i n p ⌊ S i n p 2 ⌋ + ⌊ S i n p 2 ⌋ ⌊ S i n p 4 ⌋ + ⌊ S i n p 4 ⌋ ⌊ S i n p 8 ⌋ + 2 ⌊ S i n p 8 ⌋ ) + 2 ( S i n p + ⌊ S i n p 2 ⌋ + ⌊ S i n p 4 ⌋ + 2 N o u t ) , (26) \begin{aligned} T_{mul} &=4\left( S_{inp}\left\lfloor\frac{S_{inp}}{2}\right\rfloor \quad+\left\lfloor\frac{S_{inp}}{2}\right\rfloor \left\lfloor\frac{S_{inp}}{4}\right\rfloor \quad+\left\lfloor\frac{S_{inp}}{4}\right\rfloor \left\lfloor\frac{S_{inp}}{8}\right\rfloor \quad+2\left\lfloor\frac{S_{inp}}{8}\right\rfloor \right)\\ &\quad+2\left( S_{inp} \quad+\left\lfloor\frac{S_{inp}}{2}\right\rfloor \quad+\left\lfloor\frac{S_{inp}}{4}\right\rfloor \quad+2N_{out} \right), \end{aligned} \tag{26} Tmul=4(Sinp⌊2Sinp⌋+⌊2Sinp⌋⌊4Sinp⌋+⌊4Sinp⌋⌊8Sinp⌋+2⌊8Sinp⌋)+2(Sinp+⌊2Sinp⌋+⌊4Sinp⌋+2Nout),(26)

T a d d = 3 S i n p + 7 ( ⌊ S i n p 2 ⌋ + ⌊ S i n p 4 ⌋ ) + 4 ⌊ S i n p 8 ⌋ + 8 N o u t . (27) \begin{aligned} T_{add} &=3S_{inp}+7\left( \left\lfloor\frac{S_{inp}}{2}\right\rfloor+\left\lfloor\frac{S_{inp}}{4}\right\rfloor \right)\\ &\quad+4\left\lfloor\frac{S_{inp}}{8}\right\rfloor \quad+8N_{out}. \end{aligned} \tag{27} Tadd=3Sinp+7(⌊2Sinp⌋+⌊4Sinp⌋)+4⌊8Sinp⌋+8Nout.(27)

对于目标函数，AoA 的 MSE 定义为

MSE ⁡ A o A = 1 q E ∑ e = 1 E ∑ k = 1 q ( θ ^ k t a r ( e ) − θ k ( e ) ) 2 . (28) \begin{aligned} \operatorname{MSE}{AoA} &=\frac{1}{qE}\sum{e=1}^{E}\sum_{k=1}^{q} \left(\hat{\theta}_{k}^{tar}(e)-\theta_k(e)\right)^2. \end{aligned} \tag{28} MSEAoA=qE1e=1∑Ek=1∑q(θ^ktar(e)−θk(e))2.(28)

AoD 的 MSE 使用 { ϕ ^ k t a r ( e ) } k , e \{\hat{\phi}{k}^{tar}(e)\}{k,e} {ϕ^ktar(e)}k,e 通过相同公式计算。在训练过程中，最小化估计值与真实目标之间的 MSE。该最小化过程允许根据目标函数梯度调节网络权重。为了保证模型收敛，计算误差前会对所有角度 θ i , ϕ i , ∀ i \theta_i,\phi_i,\forall i θi,ϕi,∀i 排序，因为目标角度需要遵循确定性的顺序。

V. 参数化二维算法

A. 算法描述

根据第 III 节，直接实现最大似然估计并不可行。因此，本节提出一种利用第 II 节系统模型知识的参数化方法，并将其作为第 IV 节 ML 方法的基准。

令 M t ≤ N t M_t\leq N_t Mt≤Nt 和 M r ≤ N r M_r\leq N_r Mr≤Nr 表示子阵尺寸。利用 ULA 阵列结构，本文执行一种数据变换。为此，构造 H ^ \hat{\mathbf{H}} H^ 如下：

H ^ = H \^ 1 H \^ 2 ⋯ H \^ K t H \^ 2 H \^ 3 ⋯ H \^ K t + 1 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ H \^ M t H \^ M t + 1 ⋯ H \^ N t . (29) \hat{\mathbf{H}} = \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{H}}1 & \hat{\mathbf{H}}2 & \cdots & \hat{\mathbf{H}}{K_t}\\ \hat{\mathbf{H}}2 & \hat{\mathbf{H}}3 & \cdots & \hat{\mathbf{H}}{K_t+1}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \hat{\mathbf{H}}{M_t} & \hat{\mathbf{H}}{M_t+1} & \cdots & \hat{\mathbf{H}}_{N_t} \end{bmatrix}. \tag{29} H^= H^1H^2⋮H^MtH^2H^3⋮H^Mt+1⋯⋯⋱⋯H^KtH^Kt+1⋮H^Nt .(29)

其中 K t ≜ N t − M t + 1 K_t\triangleq N_t-M_t+1 Kt≜Nt−Mt+1 是由发射阵列形成的子阵数量。每个 Hankel 矩阵 H ^ i ∈ C M r × K r \hat{\mathbf{H}}_i\in\mathbb{C}^{M_r\times K_r} H^i∈CMr×Kr 构造为

H \^ i m , n = H ^ i , m + n − 1 , (30) \\hat{\\mathbf{H}}_i{m,n}=\hat{\mathbf{H}}{i,m+n-1}, \tag{30} H\^im,n=H^i,m+n−1,(30)

其中 i = 1 , ... , N t i=1,\ldots,N_t i=1,...,Nt， K r = N r − M r + 1 K_r=N_r-M_r+1 Kr=Nr−Mr+1 表示由接收阵列形成的子阵数量。通过这一操作，可将 (19) 重写为

H ^ = A M r , M t ( Θ , Φ ) G A K r , K t T ( Θ , Φ ) + W , (31) \begin{aligned} \hat{\mathbf{H}} &=\mathbf{A}{M_r,M_t}(\boldsymbol{\Theta},\boldsymbol{\Phi}) \mathbf{G} \mathbf{A}{K_r,K_t}^{T}(\boldsymbol{\Theta},\boldsymbol{\Phi})\\ &\quad+\boldsymbol{\mathcal{W}}, \end{aligned} \tag{31} H^=AMr,Mt(Θ,Φ)GAKr,KtT(Θ,Φ)+W,(31)

其中

A n , m ( Θ , Φ ) = A r ( Θ ) \[ 1 : n , : A r ( Θ ) 1 : n , : D ϕ ( Φ ) ⋮ A r ( Θ ) 1 : n , : D ϕ m − 1 ( Φ ) ] . (32) \mathbf{A}{n,m}(\boldsymbol{\Theta},\boldsymbol{\Phi}) = \begin{bmatrix} \mathbf{A}r(\boldsymbol{\Theta}){1:n,:}\\ \mathbf{A}r(\boldsymbol{\Theta}){1:n,:}\mathbf{D}{\phi}(\boldsymbol{\Phi})\\ \vdots\\ \mathbf{A}r(\boldsymbol{\Theta}){1:n,:}\mathbf{D}_{\phi}^{m-1}(\boldsymbol{\Phi}) \end{bmatrix}. \tag{32} An,m(Θ,Φ)= Ar(Θ)1:n,:Ar(Θ)1:n,:Dϕ(Φ)⋮Ar(Θ)1:n,:Dϕm−1(Φ) .(32)

这里 D ϕ ( Φ ) = diag ⁡ ( a 1 ( ϕ 1 ) ⋯ a 1 ( ϕ q ) ) \mathbf{D}_{\phi}(\boldsymbol{\Phi})=\operatorname{diag}(a_1(\\phi_1)\\ \\cdots\\ a_1(\\phi_q)) Dϕ(Φ)=diag(a1(ϕ1) ⋯ a1(ϕq))， W \boldsymbol{\mathcal{W}} W 包含 W ~ \tilde{\mathbf{W}} W~ 的条目。与 (19) 中的模型不同，式 (31) 由于发射端和接收端子阵引入的维度扩展，在左、右子空间中包含 AoA 和 AoD 之间的相互作用。给定 (31)，可以从 H ^ \hat{\mathbf{H}} H^ 中抽取两个重叠矩阵：

H ^ ( 1 ) ≜ H ^ : , 1 : K r ( K t − 1 ) = A M r , M t ( Θ , Φ ) G Π T + W ~ ( 1 ) , (33) \begin{aligned} \hat{\mathbf{H}}^{(1)} &\triangleq \hat{\mathbf{H}}{:,1:K_r(K_t-1)}\\ &=\mathbf{A}{M_r,M_t}(\boldsymbol{\Theta},\boldsymbol{\Phi}) \mathbf{G}\boldsymbol{\Pi}^{T}+\tilde{\mathbf{W}}^{(1)}, \end{aligned} \tag{33} H^(1)≜H^:,1:Kr(Kt−1)=AMr,Mt(Θ,Φ)GΠT+W~(1),(33)

H ^ ( 2 ) ≜ H ^ : , K r + 1 : K r K t = A M r , M t ( Θ , Φ ) G D ϕ ( Φ ) Π T + W ~ ( 2 ) . (34) \begin{aligned} \hat{\mathbf{H}}^{(2)} &\triangleq \hat{\mathbf{H}}{:,K_r+1:K_rK_t}\\ &=\mathbf{A}{M_r,M_t}(\boldsymbol{\Theta},\boldsymbol{\Phi}) \mathbf{G}\mathbf{D}_{\phi}(\boldsymbol{\Phi})\boldsymbol{\Pi}^{T}+\tilde{\mathbf{W}}^{(2)}. \end{aligned} \tag{34} H^(2)≜H^:,Kr+1:KrKt=AMr,Mt(Θ,Φ)GDϕ(Φ)ΠT+W~(2).(34)

有趣的是，这两个矩阵都可用于计算 ϕ 1 , ... , ϕ q \phi_1,\ldots,\phi_q ϕ1,...,ϕq。注意，对于特定矩阵 H ^ γ ≜ H ^ ( 2 ) − γ H ^ ( 1 ) \hat{\mathbf{H}}_{\gamma}\triangleq \hat{\mathbf{H}}^{(2)}-\gamma\hat{\mathbf{H}}^{(1)} H^γ≜H^(2)−γH^(1)，有

H ^ γ = A M r , M t ( Θ , Φ ) G ( D ϕ ( Φ ) − γ I ) Π T + W ~ γ , (35) \begin{aligned} \hat{\mathbf{H}}{\gamma} &= \mathbf{A}{M_r,M_t}(\boldsymbol{\Theta},\boldsymbol{\Phi}) \mathbf{G}\left(\mathbf{D}{\phi}(\boldsymbol{\Phi})-\gamma\mathbf{I}\right) \boldsymbol{\Pi}^{T}\\ &\quad+\tilde{\mathbf{W}}{\gamma}, \end{aligned} \tag{35} H^γ=AMr,Mt(Θ,Φ)G(Dϕ(Φ)−γI)ΠT+W~γ,(35)

其中 W ~ γ = W ~ ( 2 ) − γ W ~ ( 1 ) \tilde{\mathbf{W}}{\gamma}=\tilde{\mathbf{W}}^{(2)}-\gamma\tilde{\mathbf{W}}^{(1)} W~γ=W~(2)−γW~(1)。在无噪声且 Π \boldsymbol{\Pi} Π 和 A M r , M t ( Θ , Φ ) \mathbf{A}{M_r,M_t}(\boldsymbol{\Theta},\boldsymbol{\Phi}) AMr,Mt(Θ,Φ) 均满列秩的情况下，当 γ = a 1 ( ϕ i ) \gamma=a_1(\phi_i) γ=a1(ϕi)、 ∀ i = 1 , ... , q \forall i=1,\ldots,q ∀i=1,...,q 时， H ^ γ \hat{\mathbf{H}}{\gamma} H^γ 的秩从 q q q 降为 q − 1 q-1 q−1。基于这一点，一种方法是对 ϕ \phi ϕ 做穷举搜索，令 γ = a 1 ( ϕ ) \gamma=a_1(\phi) γ=a1(ϕ)，随后评估 H ^ γ \hat{\mathbf{H}}{\gamma} H^γ 的第 q q q 大奇异值。所得谱中的 q q q 个极小值即给出 AoD 估计。然而，这种方法计算量很大，因为每个 ϕ \phi ϕ 网格点都需要一次奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。

因此，本文只执行一次 SVD。首先令 H ^ ( 1 ) = U Σ V H \hat{\mathbf{H}}^{(1)}=\mathbf{U}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{V}^H H^(1)=UΣVH，其中 U \mathbf{U} U、 V \mathbf{V} V 是 H ^ ( 1 ) \hat{\mathbf{H}}^{(1)} H^(1) 的左/右奇异向量， Σ \boldsymbol{\Sigma} Σ 包含按降序排列的奇异值。然后截断 SVD：取 Σ \boldsymbol{\Sigma} Σ 的左上 q × q q\times q q×q 子矩阵作为 Σ ˉ ∈ C q × q \bar{\boldsymbol{\Sigma}}\in\mathbb{C}^{q\times q} Σˉ∈Cq×q；类似地， U ˉ \bar{\mathbf{U}} Uˉ、 V ˉ \bar{\mathbf{V}} Vˉ 是与 Σ ˉ ∈ C q × q \bar{\boldsymbol{\Sigma}}\in\mathbb{C}^{q\times q} Σˉ∈Cq×q 对应的、与 q q q 个最大奇异值相关的奇异向量。接着计算矩阵

T = Σ ˉ − 1 U ˉ H H ^ ( 2 ) V ˉ , (36) \mathbf{T}=\bar{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1} \bar{\mathbf{U}}^H \hat{\mathbf{H}}^{(2)} \bar{\mathbf{V}}, \tag{36} T=Σˉ−1UˉHH^(2)Vˉ,(36)

其特征值记为 γ 1 , ... , γ q \gamma_1,\ldots,\gamma_q γ1,...,γq。这些特征值是 a 1 ( ϕ ^ i ) a_1(\hat{\phi}_i) a1(ϕ^i) 的估计。因此，可提取 ϕ ^ i , ∀ i \hat{\phi}_i,\forall i ϕ^i,∀i：

ϕ ^ i = − sin ⁡ − 1 ( λ arg ⁡ ( γ i ) 2 π d t ) , ∀ i = 1 , ... , q . (37) \hat{\phi}_i=-\sin^{-1} \left( \frac{\lambda\arg(\gamma_i)}{2\pi d_t} \right),\quad \forall i=1,\ldots,q. \tag{37} ϕ^i=−sin−1(2πdtλarg(γi)),∀i=1,...,q.(37)

得到 AoD 估计后，转向 AoA 估计。本文提出两阶段 LS 拟合。第一阶段通过以下 LS 准则获得 AoA 流形的非参数化估计：

X ^ = arg ⁡ min ⁡ X ∥ H ^ − X A t T ( Φ ^ ) ∥ 2 = H ^ A t ∗ ( Φ ^ ) ( A t T ( Φ ^ ) A t ∗ ( Φ ^ ) ) − 1 . (38) \begin{aligned} \hat{\mathbf{X}} &= \arg\min_{\mathbf{X}} \left\| \hat{\mathbf{H}}-\mathbf{X}\mathbf{A}_{t}^{T}(\hat{\boldsymbol{\Phi}}) \right\|^2\\ &= \hat{\mathbf{H}}\mathbf{A}_t^*(\hat{\boldsymbol{\Phi}}) \left( \mathbf{A}_t^T(\hat{\boldsymbol{\Phi}}) \mathbf{A}_t^*(\hat{\boldsymbol{\Phi}}) \right)^{-1}. \end{aligned} \tag{38} X^=argXmin H^−XAtT(Φ^) 2=H^At∗(Φ^)(AtT(Φ^)At∗(Φ^))−1.(38)

第二阶段利用 X ^ \hat{\mathbf{X}} X^，在对 A r \mathbf{A}_r Ar 施加逐列范数约束的情况下，获得 A ~ r \tilde{\mathbf{A}}_r A~r 的非参数化版本的非参数化估计。基于此，可写为

( A ~ r , α ˘ ^ ) = { arg ⁡ min ⁡ A r , α ˘ ∥ X ^ − A r G ∥ 2 , s u b j e c t t o ∥ A r : , i ∥ = 1 , G = diag ⁡ ( α ˘ ) . (39) (\tilde{\mathbf{A}}r,\hat{\breve{\boldsymbol{\alpha}}}) = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \arg\min{\mathbf{A}_r,\breve{\boldsymbol{\alpha}}} \left\|\hat{\mathbf{X}}-\mathbf{A}r\mathbf{G}\right\|^2,\\ \mathrm{subject\ to}\ \|\mathbf{A}{r:,i}\|=1,\quad \mathbf{G}=\operatorname{diag}(\breve{\boldsymbol{\alpha}}). \end{array} \right. \tag{39} (A~r,α˘^)=⎩ ⎨ ⎧argAr,α˘min X^−ArG 2,subject to ∥Ar:,i∥=1,G=diag(α˘).(39)

由于 G \mathbf{G} G 为对角矩阵，该计算可解耦，因此 A ~ r \tilde{\mathbf{A}}_r A~r 可以逐列计算为

A ~ r : , i = { arg ⁡ min ⁡ a i ∥ X ^ : , i − α ˘ i a i ∥ 2 , s u b j e c t t o ∥ a i ∥ = 1. (40) \tilde{\mathbf{A}}{r:,i} = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \arg\min{\mathbf{a}i} \left\| \hat{\mathbf{X}}{:,i}-\breve{\alpha}_i\mathbf{a}_i \right\|^2,\\ \mathrm{subject\ to}\ \|\mathbf{a}_i\|=1. \end{array} \right. \tag{40} A~r:,i=⎩ ⎨ ⎧argaimin X^:,i−α˘iai 2,subject to ∥ai∥=1.(40)

其解可表示为 a ^ i = X ^ : , i / ∥ X ^ : , i ∥ \hat{\mathbf{a}}i=\hat{\mathbf{X}}{:,i}/\|\hat{\mathbf{X}}_{:,i}\| a^i=X^:,i/∥X^:,i∥，并且 ∣ α ˘ ^ i ∣ = ∥ X ^ : , i ∥ / N r |\hat{\breve{\alpha}}i|=\|\hat{\mathbf{X}}{:,i}\|/\sqrt{N_r} ∣α˘^i∣=∥X^:,i∥/Nr 。值得注意的是，不需要配对/匹配方法，因为 a ^ i \hat{\mathbf{a}}_i a^i 与 A t ( Φ ^ ) \mathbf{A}t(\hat{\boldsymbol{\Phi}}) At(Φ^) 的第 i i i 列，即 a N t ( ϕ i ) \mathbf{a}{N_t}(\phi_i) aNt(ϕi)，相关联。最后，在给定非参数化导向矢量后，对 a i \mathbf{a}_i ai 的相位执行简单线性回归，以获得 AoA。为此，有

( θ ^ i , δ ^ i ) = arg ⁡ min ⁡ θ i , δ i ∥ arg ⁡ ( a ^ i ) − Ξ θ i δ i ∥ 2 = Ξ † arg ⁡ ( a ^ i ) , ∀ i = 1 , ... , q . (41) \begin{aligned} (\hat{\theta}_i,\hat{\delta}i) &= \arg\min{\theta_i,\delta_i} \left\| \arg(\hat{\mathbf{a}}_i)-\boldsymbol{\Xi} \begin{bmatrix} \theta_i\\ \delta_i \end{bmatrix} \right\|^2\\ &= \boldsymbol{\Xi}^{\dagger}\arg(\hat{\mathbf{a}}_i), \quad \forall i=1,\ldots,q. \end{aligned} \tag{41} (θ^i,δ^i)=argθi,δimin arg(a^i)−Ξθiδi 2=Ξ†arg(a^i),∀i=1,...,q.(41)

其中 Ξ ∈ R N r × 2 \boldsymbol{\Xi}\in\mathbb{R}^{N_r\times 2} Ξ∈RNr×2，第一列包含从 1 1 1 到 N r N_r Nr 的全部整数，第二列全为 1。需要强调的是，第 i i i 个目标对应的相位偏移 δ i \delta_i δi 不仅包含信道系数 α i \alpha_i αi 的未知相位（其中包括路径损耗和雷达散射截面系数），还包含来自 BS 的发射天线辐射方向图未知相位，以及来自雷达处接收天线辐射方向图的未知相位。因此，其估计值 δ ^ i \hat{\delta}_i δ^i 可表示为

δ ^ i = arg ⁡ ( α i ) + arg ⁡ ( g t ( ϕ i ) ) + arg ⁡ ( g r ( θ i ) ) . (42) \hat{\delta}_i = \arg(\alpha_i)+\arg(g_t(\phi_i))+\arg(g_r(\theta_i)). \tag{42} δ^i=arg(αi)+arg(gt(ϕi))+arg(gr(θi)).(42)

注意， arg ⁡ ( a i ) \arg(\mathbf{a}_i) arg(ai) 的相位应进行展开，以提供平滑的相位线性估计。还需说明，在 (41) 中，由于使用的是 a i \mathbf{a}i ai 的相位，也可考虑用 X ^ : , i \hat{\mathbf{X}}{:,i} X^:,i 代替 a i \mathbf{a}_i ai。算法汇总见 Algorithm 1。

Algorithm 1. 通过粗 ToA 估计进行 AoA/AoD 感知。

B. 所需估计开销与复杂度

各模块所需的估计开销和计算复杂度如下。

信道估计： 式 (13) 中的信道估计步骤需要一系列矩阵乘法和一次求逆来获得 H ^ n \hat{\mathbf{H}}_n H^n。执行信道估计模块总共需要

N t 2 N P K P + N t 3 + N P K P N t 2 + N r N P K P N t N_t^2N_PK_P+N_t^3+N_PK_PN_t^2+N_rN_PK_PN_t Nt2NPKP+Nt3+NPKPNt2+NrNPKPNt

次乘法，以及

N t ( N P K P − 1 ) N t + N t 3 − 2 N t 2 + N t + N P K P ( N t − 1 ) N t + N r ( N P K P − 1 ) N t N_t(N_PK_P-1)N_t+N_t^3-2N_t^2+N_t+N_PK_P(N_t-1)N_t+N_r(N_PK_P-1)N_t Nt(NPKP−1)Nt+Nt3−2Nt2+Nt+NPKP(Nt−1)Nt+Nr(NPKP−1)Nt

次加法。

粗定时估计： 该模块主要执行 N t N r N_tN_r NtNr 次 IFFT，每次 IFFT 包含 N P 2 N_P^2 NP2 次乘法和 N P ( N P − 1 ) N_P(N_P-1) NP(NP−1) 次加法，因此总共有 N P 2 N t N r N_P^2N_tN_r NP2NtNr 次乘法和 N P ( N P − 1 ) N t N r N_P(N_P-1)N_tN_r NP(NP−1)NtNr 次加法。

感知估计： Algorithm 1 中感知估计模块的 Step 0、Step 1 和 Step 2 仅重新排列子矩阵，因此不需要浮点操作。Step 3 执行 SVD，可用 Golub-Reinsch 算法实现，复杂度为 4 ( M r M t ) 2 K r ( K t − 1 ) + 8 M r M t ( K r ( K t − 1 ) ) 2 + 9 ( K r ( K t − 1 ) ) 3 4(M_rM_t)^2K_r(K_t-1)+8M_rM_t(K_r(K_t-1))^2+9(K_r(K_t-1))^3 4(MrMt)2Kr(Kt−1)+8MrMt(Kr(Kt−1))2+9(Kr(Kt−1))3 次乘法，以及相同数量的加法 34, 35。

Step 4 需要按 (36) 计算 T \mathbf{T} T。首先，将 H ^ ( 2 ) ∈ C M r M t × K r ( K t − 1 ) \hat{\mathbf{H}}^{(2)}\in\mathbb{C}^{M_rM_t\times K_r(K_t-1)} H^(2)∈CMrMt×Kr(Kt−1) 与 V ˉ ∈ C K r ( K t − 1 ) × q \bar{\mathbf{V}}\in\mathbb{C}^{K_r(K_t-1)\times q} Vˉ∈CKr(Kt−1)×q 相乘，代价为 M r M t K r ( K t − 1 ) q M_rM_tK_r(K_t-1)q MrMtKr(Kt−1)q 次乘法和 M r M t ( K r ( K t − 1 ) − 1 ) q M_rM_t(K_r(K_t-1)-1)q MrMt(Kr(Kt−1)−1)q 次加法。随后，将 U ˉ H ∈ C q × M r M t \bar{\mathbf{U}}^H\in\mathbb{C}^{q\times M_rM_t} UˉH∈Cq×MrMt 与 H ^ ( 2 ) V ˉ ∈ C M r M t × q \hat{\mathbf{H}}^{(2)}\bar{\mathbf{V}}\in\mathbb{C}^{M_rM_t\times q} H^(2)Vˉ∈CMrMt×q 相乘，代价为 M r M t q 2 M_rM_tq^2 MrMtq2 次乘法和 ( M r M t − 1 ) q 2 (M_rM_t-1)q^2 (MrMt−1)q2 次加法。最后，将 Σ ˉ − 1 ∈ C q × q \bar{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1}\in\mathbb{C}^{q\times q} Σˉ−1∈Cq×q 与 U ˉ H H ^ ( 2 ) V ˉ ∈ C q × q \bar{\mathbf{U}}^H\hat{\mathbf{H}}^{(2)}\bar{\mathbf{V}}\in\mathbb{C}^{q\times q} UˉHH^(2)Vˉ∈Cq×q 相乘。由于 Σ ˉ − 1 \bar{\boldsymbol{\Sigma}}^{-1} Σˉ−1 是对角矩阵，只需要 q 2 q^2 q2 次乘法。因此，计算 T \mathbf{T} T 需要 M r M t K r ( K t − 1 ) q + M r M t q 2 + q 2 M_rM_tK_r(K_t-1)q+M_rM_tq^2+q^2 MrMtKr(Kt−1)q+MrMtq2+q2 次乘法，以及 M r M t ( K r ( K t − 1 ) − 1 ) q + ( M r M t − 1 ) q 2 M_rM_t(K_r(K_t-1)-1)q+(M_rM_t-1)q^2 MrMt(Kr(Kt−1)−1)q+(MrMt−1)q2 次加法。

Step 5 计算 T \mathbf{T} T 的 q q q 个复特征值。由于 T \mathbf{T} T 不具有特定结构，可使用 QZ 分解（广义 Schur 分解）生成特征值，其代价为 6 q 2 ( q − 1 ) 6q^2(q-1) 6q2(q−1) 次乘法、 6 q 2 ( q − 1 ) 6q^2(q-1) 6q2(q−1) 次加法和 2 q ( q − 1 ) 2q(q-1) 2q(q−1) 次平方根 36。若每个平方根通过坐标旋转数字计算机（Coordinate Rotation Digital Computer, CORDIC）37 实现，则一次平方根操作需要 2 N c o r d 2N_{cord} 2Ncord 次加法和 1 次乘法，其中 N c o r d N_{cord} Ncord 是 CORDIC 算法的迭代次数，通常取决于输出位宽。忽略移位操作，所有平方根总共需要 4 q ( q − 1 ) N c o r d 4q(q-1)N_{cord} 4q(q−1)Ncord 次加法和 2 q ( q − 1 ) 2q(q-1) 2q(q−1) 次乘法。

Step 6 通过 (37) 估计 AoD。需要注意的是，每个特征值需要两次 CORDIC 操作：一次用于相位提取，另一次用于反正弦运算。若两个 CORDIC 算法采用与平方根计算相同的迭代次数，即 N c o r d N_{cord} Ncord，则 AoD 估计总共需要 4 N c o r d q 4N_{cord}q 4Ncordq 次加法和 3 q 3q 3q 次乘法。这里还包括来自 λ / ( 2 π d t ) \lambda/(2\pi d_t) λ/(2πdt) 项的每个 AoD 一次额外乘法。

Step 7 中的 LS 拟合步骤 (38) 包括多个计算阶段。首先，计算 A t T ( Φ ^ ) A t ∗ ( Φ ^ ) \mathbf{A}_t^T(\hat{\boldsymbol{\Phi}})\mathbf{A}_t^*(\hat{\boldsymbol{\Phi}}) AtT(Φ^)At∗(Φ^) 需要 q 2 N t q^2N_t q2Nt 次乘法和 q 2 ( N t − 1 ) q^2(N_t-1) q2(Nt−1) 次加法。随后，该矩阵求逆需要 q 3 q^3 q3 次乘法和 q 3 − 2 q 2 + q q^3-2q^2+q q3−2q2+q 次加法。接着，计算 A t ∗ ( Φ ^ ) ( A t T ( Φ ^ ) A t ∗ ( Φ ^ ) ) − 1 \mathbf{A}_t^*(\hat{\boldsymbol{\Phi}})(\mathbf{A}_t^T(\hat{\boldsymbol{\Phi}})\mathbf{A}_t^*(\hat{\boldsymbol{\Phi}}))^{-1} At∗(Φ^)(AtT(Φ^)At∗(Φ^))−1 需要 q 2 N t q^2N_t q2Nt 次乘法和 N t ( q − 1 ) q N_t(q-1)q Nt(q−1)q 次加法。最后，计算 X ^ \hat{\mathbf{X}} X^ 时，将 H ^ ∈ C N r × N t \hat{\mathbf{H}}\in\mathbb{C}^{N_r\times N_t} H^∈CNr×Nt 与 A t ∗ ( Φ ^ ) ( A t T ( Φ ^ ) A t ∗ ( Φ ^ ) ) − 1 ∈ C N t × q \mathbf{A}_t^*(\hat{\boldsymbol{\Phi}})(\mathbf{A}_t^T(\hat{\boldsymbol{\Phi}})\mathbf{A}_t^*(\hat{\boldsymbol{\Phi}}))^{-1}\in\mathbb{C}^{N_t\times q} At∗(Φ^)(AtT(Φ^)At∗(Φ^))−1∈CNt×q 相乘，产生 q N r N t qN_rN_t qNrNt 次乘法和 N r ( N t − 1 ) q N_r(N_t-1)q Nr(Nt−1)q 次加法。因此，总的 LS 拟合操作包括 q 2 N t + q 3 + q 2 N t + q N r N t q^2N_t+q^3+q^2N_t+qN_rN_t q2Nt+q3+q2Nt+qNrNt 次乘法，以及 q 2 ( N t − 1 ) + q 3 − 2 q 2 + q + N t ( q − 1 ) q + N r ( N t − 1 ) q q^2(N_t-1)+q^3-2q^2+q+N_t(q-1)q+N_r(N_t-1)q q2(Nt−1)+q3−2q2+q+Nt(q−1)q+Nr(Nt−1)q 次加法。

Step 9 涉及 AoA 计算。利用 Ξ \boldsymbol{\Xi} Ξ 的结构，总代价为 q ( N r + 2 ) q(N_r+2) q(Nr+2) 次乘法和 q ( 2 N r − 1 ) q(2N_r-1) q(2Nr−1) 次加法。

表 I 和表 II 汇总了计算复杂度。Algorithm 1 在不包含信道估计的情况下，其总加法和乘法复杂度通过对上述子模块的全部加法和乘法求和得到：

T a d d = 4 ( M r M t ) 2 K r ( K t − 1 ) + 8 M r M t ( K r ( K t − 1 ) ) 2 + 9 ( K r ( K t − 1 ) ) 3 + M r M t ( K r ( K t − 1 ) − 1 ) q + ( M r M t − 1 ) q 2 + 6 q 2 ( q − 1 ) + 4 q ( q − 1 ) N c o r d + 4 N c o r d q + q 2 ( N t − 1 ) + q 3 − 2 q 2 + q + N t ( q − 1 ) q + N r ( N t − 1 ) q + q ( 2 N r − 1 ) , \begin{aligned} T_{add} &=4(M_rM_t)^2K_r(K_t-1)+8M_rM_t(K_r(K_t-1))^2\\ &\quad+9(K_r(K_t-1))^3+M_rM_t(K_r(K_t-1)-1)q\\ &\quad+(M_rM_t-1)q^2+6q^2(q-1)+4q(q-1)N_{cord}\\ &\quad+4N_{cord}q+q^2(N_t-1)+q^3-2q^2+q+N_t(q-1)q\\ &\quad+N_r(N_t-1)q+q(2N_r-1), \end{aligned} Tadd=4(MrMt)2Kr(Kt−1)+8MrMt(Kr(Kt−1))2+9(Kr(Kt−1))3+MrMt(Kr(Kt−1)−1)q+(MrMt−1)q2+6q2(q−1)+4q(q−1)Ncord+4Ncordq+q2(Nt−1)+q3−2q2+q+Nt(q−1)q+Nr(Nt−1)q+q(2Nr−1),

T m u l = 4 ( M r M t ) 2 K r ( K t − 1 ) + 8 M r M t ( K r ( K t − 1 ) ) 2 + 9 ( K r ( K t − 1 ) ) 3 + M r M t K r ( K t − 1 ) q + M r M t q 2 + q 2 + q 2 ( q − 1 ) + 2 q ( q − 1 ) + 3 q + q 2 N t + q 3 + q 2 N t + q N r N t + q ( N r + 2 ) . \begin{aligned} T_{mul} &=4(M_rM_t)^2K_r(K_t-1)+8M_rM_t(K_r(K_t-1))^2\\ &\quad+9(K_r(K_t-1))^3+M_rM_tK_r(K_t-1)q+M_rM_tq^2\\ &\quad+q^2+q^2(q-1)+2q(q-1)+3q+q^2N_t+q^3\\ &\quad+q^2N_t+qN_rN_t+q(N_r+2). \end{aligned} Tmul=4(MrMt)2Kr(Kt−1)+8MrMt(Kr(Kt−1))2+9(Kr(Kt−1))3+MrMtKr(Kt−1)q+MrMtq2+q2+q2(q−1)+2q(q−1)+3q+q2Nt+q3+q2Nt+qNrNt+q(Nr+2).

其中 T a d d T_{add} Tadd 和 T m u l T_{mul} Tmul 分别是总加法次数和总乘法次数。

TABLE I. 感知 AoA/AoD 所需估计开销：乘法。

TABLE II. 感知 AoA/AoD 所需估计开销：加法。

将二维参数化算法与 MLE 的复杂度进行比较时，首先将复杂度表示为 O ( N r 3 N t 3 q + N r N t q 2 + q 3 ) O(N_r^3N_t^3q+N_rN_tq^2+q^3) O(Nr3Nt3q+NrNtq2+q3)，其中用 N r N_r Nr 上界 M r , K r M_r,K_r Mr,Kr，用 N t N_t Nt 上界 M t , K t M_t,K_t Mt,Kt。定义参数化方法相对于 MLE 的复杂度增益为 S S S，则

S = O ( G τ q G θ q G ϕ q G α 2 q ⋅ ( N r N P q 2 N P 3 N t + N r N P 2 N P K P ) ) T a d d + T m u l . (43) S= \frac{ O\left(G_{\tau}^{q}G_{\theta}^{q}G_{\phi}^{q}G_{\alpha}^{2q}\cdot (N_rN_Pq^2N_P^3N_t+N_rN_P^2N_PK_P)\right) }{ T_{add}+T_{mul} }. \tag{43} S=Tadd+TmulO(GτqGθqGϕqGα2q⋅(NrNPq2NP3Nt+NrNP2NPKP)).(43)

为了研究相对于 MLE 的复杂度增益，本文针对不同目标数量 q q q 在 Fig. 3 中绘制 S S S。由于数值很大，采用半对数坐标。为公平评估，设置 G α = G τ = 1 G_{\alpha}=G_{\tau}=1 Gα=Gτ=1，这可反映 α \alpha α 和 τ \tau τ 对 MLE 已知的情形。此外，设置合理值 G ϕ = G θ = 180 G_{\phi}=G_{\theta}=180 Gϕ=Gθ=180，对应在 AoA 和 AoD 搜索范围均为 − 90 ∘ -90^{\circ} −90∘ 到 90 ∘ 90^{\circ} 90∘ 时，步长约为 1 ∘ 1^{\circ} 1∘ 的网格。Fig. 3 清楚显示了不同 N t N_t Nt 下数值的指数增长。具体来说，单目标时数量级为 10 10 10^{10} 1010，当 q = 2 q=2 q=2 个目标时数量级为 10 15 10^{15} 1015。

Fig. 3. 不同 N t N_t Nt 和 q q q 下式 (43) 中 S S S 的变化。设置 G τ = G α = 1 G_{\tau}=G_{\alpha}=1 Gτ=Gα=1 且 G θ = G ϕ = 180 G_{\theta}=G_{\phi}=180 Gθ=Gϕ=180。