2D 波端口计算理论与流程
1. 2D 波端口的目的
2D 波端口计算本质上是对传输线横截面进行本征模分析。它用于寻找一个沿某个方向均匀延伸的结构中，能够自然传播的电磁场模式。
常见对象包括：
- 微带线；
- 带状线；
- 共面波导；
- 同轴线；
- 矩形波导；
- PCB 中嵌入介质层的走线。
假设传输线沿纵向方向传播，本文把这个方向记为 zzz 方向。波端口所在平面是横向截面，也就是 xxx-yyy 平面，记为区域 Ω\OmegaΩ。
2D 波端口主要回答下面几个问题：
- 这个截面上能传播什么样的电磁场分布？
- 传播常数是多少？
- 有效折射率是多少？
- 这个模式对应的电压、电流如何定义？
- 特征阻抗是多少？
对初学者来说，可以先记住一句话：
波端口不是在求一个外部激励下的响应，而是在求这个截面自身允许存在的自然传播模式。
2. 从频域 Maxwell 方程开始
假设场量采用时间谐波形式：
ejωte^{j\omega t}ejωt
无源区域中的频域 Maxwell 方程为：
∇×E=−jωB\nabla \times \mathbf{E} = -j\omega \mathbf{B}∇×E=−jωB
∇×H=jωD\nabla \times \mathbf{H} = j\omega \mathbf{D}∇×H=jωD
材料本构关系为：
D=ϵE\mathbf{D} = \epsilon \mathbf{E}D=ϵE
B=μH\mathbf{B} = \mu \mathbf{H}B=μH
对于线性材料：
ϵ=ϵ0ϵr\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_rϵ=ϵ0ϵr
μ=μ0μr\mu = \mu_0 \mu_rμ=μ0μr
在实际 PCB 或波导结构中，材料参数通常随位置变化，因此可以写成：
ϵ=ϵ(x,y)\epsilon = \epsilon(x,y)ϵ=ϵ(x,y)
μ=μ(x,y)\mu = \mu(x,y)μ=μ(x,y)
3. 电场波动方程
由 Faraday 定律可以得到：
H=−1jωμ−1∇×E\mathbf{H} = - \frac{1}{j\omega} \mu^{-1} \nabla \times \mathbf{E}H=−jω1μ−1∇×E
将其代入 Ampere 定律：
∇×H=jωϵE\nabla \times \mathbf{H} = j\omega \epsilon \mathbf{E}∇×H=jωϵE
可得电场的二阶波动方程：
∇×(μ−1∇×E)−ω2ϵE=0\nabla \times \left( \mu^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right) - \omega^2 \epsilon \mathbf{E} = 0∇×(μ−1∇×E)−ω2ϵE=0
这就是频域有限元电磁场计算中最核心的方程之一。
2D 波端口问题就是在这个波动方程的基础上，进一步假设场沿传播方向具有指数形式，从而把三维问题化为二维截面上的特征值问题。
4. 沿传播方向的模态假设
对于沿 zzz 方向传播的导波模式，可以写成：
E(x,y,z)=E(x,y)e−jknz\mathbf{E}(x,y,z) = \mathbf{E}(x,y) e^{-jk_n z}E(x,y,z)=E(x,y)e−jknz
其中 knk_nkn 是第 nnn 个模式的纵向传播波数。
电场可以分解为横向分量和纵向分量：
E=Et+z^Ez\mathbf{E} = \mathbf{E}_t + \hat{\mathbf{z}}E_zE=Et+z^Ez
其中：
- Et=Exx^+Eyy^\mathbf{E}_t = E_x\hat{\mathbf{x}} + E_y\hat{\mathbf{y}}Et=Exx^+Eyy^ 是横向电场；
- EzE_zEz 是纵向电场分量。
由于模态形式中包含 e−jknze^{-jk_n z}e−jknz，所以纵向微分可以替换为：
∂∂z→−jkn\frac{\partial}{\partial z} \rightarrow -jk_n∂z∂→−jkn
这样，三维微分算子可以拆分为横向算子和与 knk_nkn 有关的项。
定义横向梯度为：
∇t=x^∂∂x+y^∂∂y\nabla_t = \hat{\mathbf{x}} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{\mathbf{y}} \frac{\partial}{\partial y}∇t=x^∂x∂+y^∂y∂
对于二维向量场 ut=(ux,uy)\mathbf{u}_t=(u_x,u_y)ut=(ux,uy)，其横向旋度为：
∇t×ut=∂uy∂x−∂ux∂y\nabla_t \times \mathbf{u}_t = \frac{\partial u_y}{\partial x} - \frac{\partial u_x}{\partial y}∇t×ut=∂x∂uy−∂y∂ux
这是旋度的 zzz 分量。
5. 为什么需要特殊变量替换
如果直接用 Et\mathbf{E}_tEt 和 EzE_zEz 建立特征值问题，传播常数 knk_nkn 会以多种方式出现在方程中，容易形成二次甚至非线性的特征值问题。
此外，横向电场和纵向电场在有限元中适合使用不同的函数空间：
- 横向电场需要切向连续；
- 纵向电场是标量场。
实际求解中通常使用如下未知量：
et=Et\mathbf{e}_t = \mathbf{E}_tet=Et
以及变换后的纵向未知量：
e~n=iknEz\tilde{e}_n = i k_n E_ze~n=iknEz
这种处理可以理解为一种 Vardapetyan-Demkowicz 类型的变量替换。它的作用是把原本较复杂的模态方程整理成线性的广义特征值问题。
求解完成后，再由：
Ez=e~niknE_z = \frac{\tilde{e}_n}{i k_n}Ez=ikne~n
恢复真实的纵向电场。
因此需要注意：
特征向量中存储的第二块未知量不是物理的 EzE_zEz，而是 e~n=iknEz\tilde{e}_n=i k_n E_ze~n=iknEz。
6. 有限元函数空间
横向电场 Et\mathbf{E}_tEt 属于 H(curl)H(\mathrm{curl})H(curl) 空间：
Et∈H(curl;Ω)\mathbf{E}_t \in H(\mathrm{curl};\Omega)Et∈H(curl;Ω)
有限元中通常使用 Nedelec 元来离散这个空间。
这样做的物理原因是：电场的切向连续性是介质界面上的自然连续条件，而 Nedelec 元正好适合描述这种切向连续。
纵向标量场 EzE_zEz 或变换后的 e~n\tilde{e}_ne~n 属于 H1H^1H1 空间：
Ez∈H1(Ω)E_z \in H^1(\Omega)Ez∈H1(Ω)
因此离散后的未知向量具有两个块：
x=ete\~n\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_t \\ \tilde{\mathbf{e}}_n \end{bmatrix}x=ete\~n
其中：
- et\mathbf{e}_tet 是 Nedelec 空间中的自由度；
- e~n\tilde{\mathbf{e}}_ne~n 是 H1H^1H1 标量空间中的自由度。
7. 边界条件
7.1 理想电导体边界
理想电导体 PEC 上满足：
n×E=0\mathbf{n} \times \mathbf{E} = 0n×E=0
这表示导体表面切向电场为零。
在有限元系统中，这会约束：
- Nedelec 空间中的横向电场自由度；
- H1H^1H1 空间中的纵向电场相关自由度。
这些自由度会作为本质边界条件处理。
7.2 外部边界
对于开放结构，真实空间是无限大的，但数值计算必须截断计算区域。因此通常会在结构外加空气盒子。
外边界可以采用自然边界条件、PMC 类边界、吸收边界，或其他近似处理方式。
对于低频准 TEM 的 PCB 结构，空气盒子必须足够大，否则外边界会影响走线附近的边缘场，从而改变阻抗。
7.3 介质界面
介质界面上的 Maxwell 连续条件包括：
n×(E1−E2)=0\mathbf{n} \times \left( \mathbf{E}_1 - \mathbf{E}_2 \right) = 0n×(E1−E2)=0
如果界面没有自由面电荷，则：
n⋅(D1−D2)=0\mathbf{n} \cdot \left( \mathbf{D}_1 - \mathbf{D}_2 \right) = 0n⋅(D1−D2)=0
这些条件通常由弱形式和有限元空间自然保证。
8. 横向 curl-curl 方程的弱形式
从电场波动方程出发：
∇×(μ−1∇×E)−ω2ϵE=0\nabla \times \left( \mu^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right) - \omega^2 \epsilon \mathbf{E} = 0∇×(μ−1∇×E)−ω2ϵE=0
代入模态假设并进行横向/纵向分解后，可以得到关于 Et\mathbf{E}_tEt 和 EzE_zEz 的耦合方程。
横向方程中包含：
- 横向 curl-curl 项；
- 介电质量项；
- 与传播常数 knk_nkn 有关的横向质量项；
- 与纵向未知量耦合的梯度项。
令 vt\mathbf{v}_tvt 为 Nedelec 测试函数，则横向方程的弱形式可理解为：
(μ−1∇t×et,∇t×vt)Ω−ω2(ϵet,vt)Ω−kn2(μ−1et,vt)Ω−(μ−1∇te~n,vt)Ω=0\left( \mu^{-1} \nabla_t \times \mathbf{e}_t, \nabla_t \times \mathbf{v}t \right)\Omega - \omega^2 \left( \epsilon \mathbf{e}_t, \mathbf{v}t \right)\Omega - k_n^2 \left( \mu^{-1}\mathbf{e}_t, \mathbf{v}t \right)\Omega - \left( \mu^{-1}\nabla_t \tilde{e}_n, \mathbf{v}t \right)\Omega = 0(μ−1∇t×et,∇t×vt)Ω−ω2(ϵet,vt)Ω−kn2(μ−1et,vt)Ω−(μ−1∇te~n,vt)Ω=0
其中内积定义为：
(a,b)Ω=∫Ωa⋅b∗dA(a,b)\Omega = \int\Omega a \cdot b^* dA(a,b)Ω=∫Ωa⋅b∗dA
这里的 ∗^*∗ 表示复共轭。
需要注意：不同软件或文献由于相量约定和变量定义不同，符号可能略有差异。但结构是一样的，即由刚度项、质量项、传播常数项和耦合项组成。
9. 纵向方程的弱形式
令 qqq 为 H1H^1H1 标量测试函数。纵向方程的弱形式可写成类似结构：
−(μ−1∇te~n,∇tq)Ω+ω2(ϵe~n,q)Ω+kn2(μ−1et,∇tq)Ω=0- \left( \mu^{-1} \nabla_t \tilde{e}n, \nabla_t q \right)\Omega + \omega^2 \left( \epsilon \tilde{e}n, q \right)\Omega + k_n^2 \left( \mu^{-1}\mathbf{e}t, \nabla_t q \right)\Omega = 0−(μ−1∇te~n,∇tq)Ω+ω2(ϵe~n,q)Ω+kn2(μ−1et,∇tq)Ω=0
这个方程包含：
- H1H^1H1 标量扩散项；
- H1H^1H1 标量质量项；
- 横向场对纵向方程的耦合项。
这就是最终矩阵中同时出现 Nedelec 块和 H1H^1H1 块的原因。
10. 双线性形式
为了构造有限元矩阵，可以把弱形式整理为几个核心双线性形式。
10.1 横向块 AttA_{tt}Att
对于 Nedelec 试探函数 u\mathbf{u}u 和测试函数 v\mathbf{v}v：
Att(u,v)=(μ−1∇t×u,∇t×v)Ω−ω2(ϵu,v)Ω−σ(μ−1u,v)Ω+BCt(u,v)A_{tt} (\mathbf{u},\mathbf{v}) = \left( \mu^{-1} \nabla_t \times \mathbf{u}, \nabla_t \times \mathbf{v} \right)\Omega - \omega^2 \left( \epsilon \mathbf{u}, \mathbf{v} \right)\Omega - \sigma \left( \mu^{-1} \mathbf{u}, \mathbf{v} \right)_\Omega + \mathrm{BC}_t(\mathbf{u},\mathbf{v})Att(u,v)=(μ−1∇t×u,∇t×v)Ω−ω2(ϵu,v)Ω−σ(μ−1u,v)Ω+BCt(u,v)
其中 σ\sigmaσ 是 shift-and-invert 特征值变换中引入的位移参数：
σ=−kn,target2\sigma = - k_{n,\mathrm{target}}^2σ=−kn,target2
10.2 横向-纵向耦合块 AtnA_{tn}Atn
对于标量试探函数 uuu 和 Nedelec 测试函数 v\mathbf{v}v：
Atn(u,v)=−(μ−1∇tu,v)ΩA_{tn} (u,\mathbf{v}) = - \left( \mu^{-1} \nabla_t u, \mathbf{v} \right)_\OmegaAtn(u,v)=−(μ−1∇tu,v)Ω
这个矩阵描述纵向未知量对横向方程的耦合。
10.3 纵向块 AnnA_{nn}Ann
对于标量试探函数 uuu 和测试函数 qqq：
Ann(u,q)=−(μ−1∇tu,∇tq)Ω+ω2(ϵu,q)Ω+BCn(u,q)A_{nn} (u,q) = - \left( \mu^{-1} \nabla_t u, \nabla_t q \right)\Omega + \omega^2 \left( \epsilon u, q \right)\Omega + \mathrm{BC}_n(u,q)Ann(u,q)=−(μ−1∇tu,∇tq)Ω+ω2(ϵu,q)Ω+BCn(u,q)
10.4 横向质量块 BttB_{tt}Btt
对于 Nedelec 函数：
Btt(u,v)=(μ−1u,v)ΩB_{tt} (\mathbf{u},\mathbf{v}) = \left( \mu^{-1} \mathbf{u}, \mathbf{v} \right)_\OmegaBtt(u,v)=(μ−1u,v)Ω
这个矩阵不仅出现在特征值方程中，也会在后处理的功率归一化中使用。
10.5 耦合转置块 BtnB_{tn}Btn
第二个耦合块可以理解为 AtnA_{tn}Atn 的负转置：
Btn=−AtnTB_{tn} = - A_{tn}^TBtn=−AtnT
在弱形式中，它对应：
(μ−1u,∇tq)Ω\left( \mu^{-1} \mathbf{u}, \nabla_t q \right)_\Omega(μ−1u,∇tq)Ω
这个项来自纵向方程中的耦合部分。
11. 广义特征值方程
离散后的未知向量为：
x=ete\~n\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_t \\ \tilde{\mathbf{e}}_n \end{bmatrix}x=ete\~n
最终广义特征值方程具有如下块矩阵形式：
AttAtn0Ann\]\[ete\~n\]=λ\[Btt0Btn0\]\[ete\~n\]\\begin{bmatrix} A_{tt} \& A_{tn} \\\\ 0 \& A_{nn} \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathbf{e}_t \\\\ \\tilde{\\mathbf{e}}_n \\end{bmatrix} = \\lambda \\begin{bmatrix} B_{tt} \& 0 \\\\ B_{tn} \& 0 \\end{bmatrix} \\begin{bmatrix} \\mathbf{e}_t \\\\ \\tilde{\\mathbf{e}}_n \\end{bmatrix}\[Att0AtnAnn\]\[ete\~n\]=λ\[BttBtn00\]\[ete\~n
也就是：
Ax=λBxA\mathbf{x} = \lambda B\mathbf{x}Ax=λBx
这里需要特别注意：
特征值求解器得到的是 λ\lambdaλ，它不是传播常数 knk_nkn。
通过 shift-and-invert 变换，物理传播常数由下式恢复：
kn=−σ−1λk_n = \sqrt{ -\sigma - \frac{1}{\lambda} }kn=−σ−λ1
因此后处理中必须先从 λ\lambdaλ 计算 knk_nkn，再计算有效折射率、速度和阻抗等物理量。
12. 位移目标的选择
位移参数由目标传播常数给出：
σ=−kn,target2\sigma = - k_{n,\mathrm{target}}^2σ=−kn,target2
如果用户指定目标有效折射率，则可写为：
kn,target=neff,targetωk_{n,\mathrm{target}} = n_{\mathrm{eff,target}} \omegakn,target=neff,targetω
这里使用的是求解器内部一致的无量纲单位。
如果没有指定目标，可以根据材料中的最小光速估计合理的最大传播常数：
kn,target≈ωcmink_{n,\mathrm{target}} \approx \frac{\omega}{c_{\min}}kn,target≈cminω
通常还会加一个小的安全系数，使搜索目标落在合理的传播模式范围附近。
13. 特征值方程如何求解
有限元离散后的矩阵通常非常大且稀疏，因此不会把矩阵转成稠密矩阵直接求特征值。
实际求解采用迭代特征值算法，并结合 shift-and-invert 谱变换。
概念上，原始问题是：
Ax=λBxA\mathbf{x} = \lambda B\mathbf{x}Ax=λBx
为了寻找目标附近的特征值，迭代过程中需要反复施加类似下面的算子：
A−1BA^{-1}BA−1B
这意味着每次特征值迭代都需要求解一个以 AAA 为系数矩阵的线性方程组。
这个线性方程通常使用 Krylov 迭代方法，例如 GMRES。为了让 GMRES 收敛更快，还需要预条件器。
常见预条件策略包括：
- 使用块系统实部构造稀疏直接预条件；
- 使用块预条件，把 Nedelec 横向块和 H1H^1H1 纵向块分别处理；
- 对不同阶数的有限元空间使用多重网格预条件。
由于未知向量本身就是分块的：
x=ete\~n\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_t \\ \tilde{\mathbf{e}}_n \end{bmatrix}x=ete\~n
所以分块预条件非常自然。
求解收敛后，模式通常按它们与目标传播常数的距离排序：
∣Re(kn)−kn,target∣\left| \mathrm{Re}(k_n) - k_{n,\mathrm{target}} \right|∣Re(kn)−kn,target∣
这样不同后端求解器给出的模式顺序会更稳定。
14. 物理场恢复
求得的特征向量为：
x=ete\~n\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{e}_t \\ \tilde{\mathbf{e}}_n \end{bmatrix}x=ete\~n
横向电场直接为：
Et=et\mathbf{E}_t = \mathbf{e}_tEt=et
纵向电场需要通过下式恢复：
Ez=e~niknE_z = \frac{\tilde{e}_n}{i k_n}Ez=ikne~n
磁通密度由 Faraday 定律恢复：
B=1iω∇×E\mathbf{B} = \frac{1}{i\omega} \nabla \times \mathbf{E}B=iω1∇×E
二维模式中的标量出平面磁通密度为：
Bz=1iω∇t×EtB_z = \frac{1}{i\omega} \nabla_t \times \mathbf{E}_tBz=iω1∇t×Et
平面内磁通密度可以写成：
Bt=−knω(z^×Et)+1iω(∇tEz×z^)\mathbf{B}_t = - \frac{k_n}{\omega} \left( \hat{\mathbf{z}} \times \mathbf{E}_t \right) + \frac{1}{i\omega} \left( \nabla_t E_z \times \hat{\mathbf{z}} \right)Bt=−ωkn(z^×Et)+iω1(∇tEz×z^)
磁场为：
H=μ−1B\mathbf{H} = \mu^{-1} \mathbf{B}H=μ−1B
这些恢复出来的场用于后续可视化、功率、电压、电流和阻抗计算。
15. 有效折射率和相速度
有效折射率定义为：
neff=knk0n_\mathrm{eff} = \frac{k_n}{k_0}neff=k0kn
其中自由空间波数为：
k0=ωc0k_0 = \frac{\omega}{c_0}k0=c0ω
在某些无量纲单位系统中，内部计算可能把 k0k_0k0 表示为归一化后的 ω\omegaω。但物理含义仍然是：
neff=导波传播常数自由空间传播常数n_\mathrm{eff} = \frac{\text{导波传播常数}} {\text{自由空间传播常数}}neff=自由空间传播常数导波传播常数
低损耗传播模式的相速度为：
vp=ωRe(kn)v_p = \frac{\omega} {\mathrm{Re}(k_n)}vp=Re(kn)ω
也可以写成：
vp=c0Re(neff)v_p = \frac{c_0} {\mathrm{Re}(n_\mathrm{eff})}vp=Re(neff)c0
对于准 TEM 的 PCB 传输线：
Re(neff)≈ϵeff\mathrm{Re}(n_\mathrm{eff}) \approx \sqrt{\epsilon_\mathrm{eff}}Re(neff)≈ϵeff
16. 功率归一化
特征向量的幅值本身没有物理意义。因为如果 x\mathbf{x}x 是特征向量，那么 axa\mathbf{x}ax 也是特征向量，其中 aaa 是任意非零复数。
因此，求解器输出的原始场幅值必须经过归一化，才能用于电压、电流和阻抗计算。
模态功率由时间平均 Poynting 矢量给出：
S=12E×H∗\mathbf{S} = \frac{1}{2} \mathbf{E} \times \mathbf{H}^*S=21E×H∗
沿传播方向通过端口截面的功率为：
P=∫ΩRe{12(E×H∗)⋅z^}dAP = \int_\Omega \mathrm{Re} \left\{ \frac{1}{2} \left( \mathbf{E} \times \mathbf{H}^* \right) \cdot \hat{\mathbf{z}} \right\} dAP=∫ΩRe{21(E×H∗)⋅z^}dA
在矩阵形式中，横向主贡献可以写为：
Pt=12kn∗ωetHBttetP_t = \frac{1}{2} \frac{k_n^*}{\omega} \mathbf{e}t^H B{tt} \mathbf{e}_tPt=21ωkn∗etHBttet
同时还需要考虑横向和纵向场的交叉项：
Pc=12Re{−iω(etHAtnen)∗}P_c = \frac{1}{2} \mathrm{Re} \left\{ - \frac{i}{\omega} \left( \mathbf{e}t^H A{tn} \mathbf{e}_n \right)^* \right\}Pc=21Re{−ωi(etHAtnen)∗}
总功率为：
P=Pt+PcP = P_t + P_cP=Pt+Pc
然后将特征向量按功率进行缩放。只有完成这一步之后，电压、电流和阻抗才具有可比的物理意义。
17. 电压后处理
对传输线来说，电压通常定义为从信号导体到参考导体的一条路径上的电场线积分：
V=∫ΓE⋅dlV = \int_\Gamma \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}V=∫ΓE⋅dl
其中 Γ\GammaΓ 是电压积分路径。
对于理想 TEM 模式，电压与路径无关。对于实际 PCB 中常见的准 TEM 模式，只要路径选择合理，路径依赖通常较小。
但对于强非 TEM 模式，电压并不是唯一的电磁物理量，而是一种工程定义。因此在比较不同软件或不同模型时，必须保证电压路径一致。
18. 电流后处理
电流可以通过包围信号导体的磁场环路线积分得到：
I=∮∂SH⋅dlI = \oint_{\partial S} \mathbf{H} \cdot d\mathbf{l}I=∮∂SH⋅dl
如果同时得到了电压和电流，则可定义电压-电流阻抗：
ZVI=∣V∣∣I∣Z_{VI} = \frac{|V|} {|I|}ZVI=∣I∣∣V∣
这种定义直观，但对电流积分路径、模式类型和局部场分布比较敏感。
19. 功率-电压阻抗
更常用也更稳健的一种波端口阻抗是功率-电压阻抗：
ZPV=∣V∣22PZ_{PV} = \frac{|V|^2} {2P}ZPV=2P∣V∣2
其中：
- VVV 是由电压路径得到的模态电压；
- PPP 是时间平均模态功率。
分母中的 2 与峰值相量约定有关。如果其他工具使用 RMS 相量，公式形式可能不同，但经过约定换算后物理阻抗应一致。
由 ZPVZ_{PV}ZPV 和有效折射率，还可以得到等效单位长度电感和电容：
LPV=ZPVRe(neff)c0L_{PV} = \frac{ Z_{PV} \mathrm{Re}(n_\mathrm{eff}) } {c_0}LPV=c0ZPVRe(neff)
CPV=Re(neff)ZPVc0C_{PV} = \frac{ \mathrm{Re}(n_\mathrm{eff}) } { Z_{PV}c_0 }CPV=ZPVc0Re(neff)
这些量便于和准静态传输线模型对比。
20. 输出结果的含义
2D 波端口计算通常会输出以下几类结果。
20.1 传播常数与有效折射率
包括：
Re(kn),Im(kn),Re(neff),Im(neff)\mathrm{Re}(k_n), \quad \mathrm{Im}(k_n), \quad \mathrm{Re}(n_\mathrm{eff}), \quad \mathrm{Im}(n_\mathrm{eff})Re(kn),Im(kn),Re(neff),Im(neff)
Re(kn)\mathrm{Re}(k_n)Re(kn) 控制相位传播，Im(kn)\mathrm{Im}(k_n)Im(kn) 与衰减或数值泄漏有关，具体符号取决于软件约定。
20.2 阻抗结果
常见输出包括：
ZPV,LPV,CPVZ_{PV}, \quad L_{PV}, \quad C_{PV}ZPV,LPV,CPV
如果设置了电流后处理，也可能输出：
ZVI,LVI,CVIZ_{VI}, \quad L_{VI}, \quad C_{VI}ZVI,LVI,CVI
对于良好的准 TEM 传输线，如果电压路径和电流路径合理，ZPVZ_{PV}ZPV 与 ZVIZ_{VI}ZVI 应该比较接近。
20.3 电压结果
电压通常以复数形式输出：
V=Vr+jViV = V_r + jV_iV=Vr+jVi
由于特征向量本身相位任意，电压相位也具有一定任意性。经过功率归一化后，电压幅值才具有明确意义。
21. 与准静态电容法的关系
在低频下，许多 PCB 传输线可以看作准 TEM 模式。这时波端口阻抗应该接近准静态电容法得到的阻抗。
准静态方法需要计算：
- CCC：真实介质下的单位长度电容；
- C0C_0C0：同一几何结构在真空中的单位长度电容。
有效介电常数为：
ϵeff=CC0\epsilon_\mathrm{eff} = \frac{C} {C_0}ϵeff=C0C
等效电感为：
L=1c02C0L = \frac{1} {c_0^2 C_0}L=c02C01
特征阻抗为：
Z0=1c0CC0Z_0 = \frac{1} {c_0\sqrt{CC_0}}Z0=c0CC0 1
对于很低频的波端口计算，应满足：
ZPV≈Z0Z_{PV} \approx Z_0ZPV≈Z0
并且：
Re(neff)≈CC0\mathrm{Re}(n_\mathrm{eff}) \approx \sqrt{ \frac{C}{C_0} }Re(neff)≈C0C
因此，准静态计算是检查 2D 波端口设置是否正确的一个非常有用的方法。
22. 实际计算流程
完整的 2D 波端口计算流程可以概括为：
- 建立传输线横截面几何。
- 指定材料区域，例如介质、空气、导体边界和可能的损耗表面。
- 生成二维网格，并在导体边缘、介质界面和窄缝附近加密。
- 建立有限元空间：
- 用 Nedelec 空间离散 Et\mathbf{E}_tEt；
- 用 H1H^1H1 空间离散 e~n\tilde{e}_ne~n。
- 收集 PEC 边界对应的本质边界条件自由度。
- 组装频率无关矩阵，例如 AtnA_{tn}Atn、BtnB_{tn}Btn、BttB_{tt}Btt。
- 在指定频率下组装频率相关矩阵，例如 AttA_{tt}Att 和 AnnA_{nn}Ann。
- 选择目标传播常数 kn,targetk_{n,\mathrm{target}}kn,target，并设置 σ=−kn,target2\sigma=-k_{n,\mathrm{target}}^2σ=−kn,target2。
- 求解广义特征值问题。
- 将特征值 λ\lambdaλ 转换为传播常数 knk_nkn。
- 从变换变量恢复物理纵向电场 EzE_zEz。
- 由 Faraday 定律恢复磁场。
- 对模态进行功率归一化。
- 计算电压、电流、阻抗、有效折射率以及等效 LLL 和 CCC。
- 输出场分布和表格化后处理结果。