[LC优选算法#8] 二分 | 山脉数组的峰顶索引 | 寻找峰值 | 搜索旋转排序数组中的最⼩值

二分算法可以适用于非有序数组，只要找到二段性，也可以用二分算法优化。

1. 山脉数组的峰顶索引

山脉数组的峰顶索引

解题思路：

暴力枚举 O(N)：逐个枚举数组中的元素，直至找到峰值。
二分查找 O(logN)：虽然数组中的元素不是有序的，但根据数组中具有峰值的特点，我们可以把数组分为两段：前半段元素递增，后半段元素递减。因此可以使用二分算法优化暴力算法，分类讨论如下：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr)
    {
        int left = 0;
        int right = arr.size() - 1;

        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left + 1) / 2;
            if(arr[mid] > arr[mid - 1])
            {
                left = mid;
            }
            else
            {
                right = mid - 1;
            }
        }

        return left;
    }
};

2. 寻找峰值

寻找峰值

解题思路：

暴力枚举 O(N)：逐个枚举数组中的元素，直至找到峰值所在位置。
二分查找 O(logN)：如果把数组一分为二，那么mid处元素的情况可以分为两种：比后一个元素大 / 比后一个元素小。由于题目要求返回任意一个峰值，那么我们就可以根据这个限制条件逐渐缩减区间，因为峰值总会落在较大元素的一侧 ：

这样数组就具有了二段性，可以使用二分查找的方式优化暴力算法：

cpp 复制代码

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums)
    {
        int n = nums.size();
        int left = 0;
        int right = n - 1;
        
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] >= nums[mid + 1])
            {
                right = mid;
            }
            else
            {
                left = mid + 1;
            }
        }

        return left;
    }
};

3. 搜索旋转排序数组中的最⼩值

搜索旋转排序数组中的最⼩值

解题思路：

暴力枚举 O(N)：逐个枚举数组中的元素，直至找到最小值。
二分查找 O(NlogN)：本题中，根据数组本身形成的二段性 特点，我们可以选取首 / 尾参元素作为参照值key，用于比较大小 / 缩短区间，这里我们选取数组最后一个元素 作为key，则可以分为以下两种情况：

Q：为什么不选取首元素作为key？
A：因为选取key后，left和right区间范围中就不包含key了，对于以上非递增区间，选取首 / 尾元素没有影响；但对于递增区间这种特殊情况，如果选取首元素就会跳过数组最小值：

因此解决方法是，如果需要选取首元素作为key，需要额外讨论递增这种特殊情况，否则就会漏解。

cpp 复制代码

//选取末尾元素作为target
class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums)
    {
        int n = nums.size();
        int left = 0;
        int right = n - 1;
        int target = nums[n - 1];
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] > target)
            {
                left = mid + 1;
            }
            else
            {
                right = mid;
            }
        }

        return nums[left];
    }
};

cpp 复制代码

//选取首元素作为target
class Solution {
public:
    int findMin(vector<int>& nums)
    {
        int n = nums.size();
        if(nums[0] < nums[n - 1]) return nums[0]; //递增

        int left = 0;
        int right = n - 1;
        int target = nums[0];
        while(left < right)
        {
            int mid = left + (right - left) / 2;
            if(nums[mid] < target)
            {
                right = mid;
            }
            else
            {
                left = mid + 1;
            }
        }

        return nums[left];
    }
};

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