基于手机 IMU 的 PDR 算法学习：四阶巴特沃斯低通滤波到底在做什么？

一、前言

在手机 IMU 的 PDR 算法中，步伐检测并不是直接拿原始加速度数据来判断的。

手机加速度计采集到的数据通常非常"脏"，里面既有真实走路带来的周期性波动，也有手部抖动、传感器噪声、手机姿态变化、瞬时冲击等干扰。

如果直接用原始加速度去做波峰、波谷检测，很容易出现误计步。

所以，在当前 PDR 算法中，会先对加速度信号做一层预处理，其中非常关键的一步就是：

四阶巴特沃斯低通滤波

它的作用不是直接算步长，也不是直接算位置，而是把原始加速度曲线变得更加平滑，让后面的峰谷检测更稳定。

本文就围绕这个问题展开：

当前 PDR 算法里的四阶巴特沃斯低通滤波到底是怎么做的？

它为什么要放在峰谷检测之前？

它在整个 PDR 流程中到底起什么作用？

二、 PDR 算法中滤波的位置

在PDR 算法中，加速度处理的大致流程是：

复制代码

手机 IMU 原始数据
ax, ay, az
        ↓
计算三轴加速度模长
sqrt(ax² + ay² + az²)
        ↓
减去重力 g
acc_norm = sqrt(ax² + ay² + az²) - g
        ↓
四阶巴特沃斯低通滤波
fil_Acc
        ↓
峰谷检测
peak / valley
        ↓
步伐质量门控
StepEvent
        ↓
步长估计
step.length
        ↓
结合航向 yaw_nav
        ↓
输出 PDR 位移增量 dx / dy

可以看到，四阶巴特沃斯低通滤波处在：

复制代码

加速度模长减重力之后
峰谷检测之前

也就是说，它处理的不是三轴原始加速度，而是已经变成一维的加速度波动信号：

滤波之后得到：

后续算法真正用来找波峰、波谷的，就是这个滤波后的：

三、为什么不能直接用原始加速度做步伐检测？

手机加速度计输出的是三个方向的数据：

但是用户拿手机的姿态不固定。

比如：

手机可能竖着拿
可能横着拿
可能斜着拿
也可能边走边转手机

如果直接看某一个轴，比如只看 aza_zaz，那么手机姿态一变，数据就会明显变化。

所以当前算法先计算三轴模长：

这样不管手机横着、竖着、斜着，三轴合成后的总强度相对更稳定。

但是手机静止时，加速度模长也不是 0，而是接近重力加速度：

所以还要减去重力：

这样静止时信号会接近 0，走路时信号会围绕 0 上下波动。

四、减去重力后，为什么还要滤波？

减去重力之后，得到的是一条加速度波动曲线。

理想情况下，用户走路时，这条曲线应该是比较规律的波浪形：

复制代码

上升 → 到达波峰 → 下降 → 到达波谷 → 再次上升

但是实际手机采集的数据不会这么干净。

它可能包含：

干扰来源	表现
传感器噪声	小幅随机抖动
手部轻微晃动	额外的小波峰、小波谷
手机瞬间甩动	突然出现尖峰
姿态变化	整体曲线发生偏移
采样误差	相邻点之间不够平滑

如果不滤波，曲线可能会变成这样：

复制代码

上升、下降、上升、下降、上升、下降......

算法会误以为出现了很多波峰和波谷。

而 PDR 的步伐检测正是依赖波峰波谷的。

所以必须先滤波，让曲线更像真实走路波形，而不是一堆杂乱的小抖动。

五、什么是低通滤波？

低通滤波可以简单理解为：

低频信号通过，高频信号被削弱。

在人走路这个场景里，正常步态变化通常是比较慢的、有节奏的。

比如正常人走路，大概每秒 1 到 2 步左右，对应的信号频率通常集中在较低频率范围内。

而传感器噪声、手抖、小毛刺，往往变化很快，属于高频成分。

所以低通滤波的目的就是：

复制代码

保留：正常走路带来的低频周期波动
削弱：高频噪声、手部小抖动、瞬时尖峰

可以把低通滤波理解成一个筛子：

信号类型	是否保留
正常走路的周期性波动	尽量保留
高频小抖动	削弱
瞬时尖峰	削弱
传感器毛刺	削弱

六、为什么截止频率设置为 2 Hz？

当前算法中，采样频率大约是：

也就是说，手机每秒采集大约 100 个 IMU 数据点。

低通滤波的截止频率大约是：

这个参数的意思是：

2 Hz 以下的信号更可能是正常走路节奏，需要保留；

2 Hz 以上的快速变化，更可能是噪声或者抖动，需要压制。

人正常走路不会像机器震动一样一秒高频抖几十次。

所以对于步伐检测来说，2 Hz 左右的截止频率是一个偏稳的设置。

数字滤波器中还会用到归一化截止频率：

其中 s/2 是奈奎斯特频率。

代入当前参数：

也就是说，在数字滤波器设计中，当前低通截止点大约是：

0.04

这个数值比较低，说明算法主要想保留慢速步态变化，把快速抖动压掉。

七、什么是巴特沃斯滤波器？

巴特沃斯滤波器是一种经典滤波器。

它最重要的特点是：

通带内非常平滑。

所谓通带，就是允许通过的频率范围。

对于当前 PDR 来说，低频步态信号就是希望保留下来的部分。

巴特沃斯滤波器不会在通带内产生明显波纹，也就是说，它不会一会儿把某些低频放大，一会儿又把另一些低频压低。

它的风格是：

复制代码

平滑、稳定、不过分改变低频信号形状

这对于步伐检测很重要。

因为我们希望滤波之后，走路波形仍然保持比较自然的峰谷结构，而不是被滤波器扭曲得太厉害。

八、为什么不用简单平均滤波？

有人可能会问：

直接用滑动平均不行吗？为什么要用巴特沃斯？

滑动平均当然也能让曲线变平滑，但它比较粗糙。

比如滑动平均可能带来：

峰值被明显压低
波峰位置发生延迟
对不同频率的抑制不够精细
窗口大小不好选

而巴特沃斯低通滤波器是从频率角度设计的。

它可以更明确地表达：

哪些频率要保留，哪些频率要削弱。

所以在 PDR 步态检测中，巴特沃斯低通比简单平均更适合做稳定的信号预处理。

九、四阶是什么意思？

"四阶"可以理解为滤波器的强度等级。

阶数越高，对高频信号的压制越强。

简单理解：

阶数	滤波特点
一阶	比较温和
二阶	滤波效果明显
四阶	对高频噪声压制更强
八阶	更强，但可能带来更大延迟和稳定性问题

当前算法使用的是四阶巴特沃斯低通滤波，说明它不是轻轻平滑一下，而是比较认真地压制高频噪声。

对于 PDR 来说，这是合理的。

因为步伐检测对波峰波谷比较敏感，如果高频抖动太多，很容易误判。

十、四阶滤波器通常怎么实现？

工程上，四阶巴特沃斯低通滤波器通常有两种实现方式。

一种是直接使用四阶差分公式。

另一种更常见、更稳定的方式是：

两个二阶滤波器串联。

也可以理解成：

复制代码

acc_norm
   ↓
二阶巴特沃斯滤波器 1
   ↓
中间输出 stage1
   ↓
二阶巴特沃斯滤波器 2
   ↓
最终输出 fil_Acc

写成公式就是：

两个二阶滤波器串起来，就形成了四阶滤波效果。

也就是说：

复制代码

二阶滤一遍，曲线已经变平滑；
再经过第二个二阶滤波器，噪声进一步被压制；
最终得到四阶低通滤波后的步态信号。

十一、二阶滤波器内部到底怎么算？

一个典型的二阶 IIR 滤波器公式是：

这个公式看起来复杂，但它的意思很简单：

当前输出不只由当前输入决定，还要参考之前的输入和之前的输出。

其中：

符号	含义
x $n$	当前输入
x $n-1$	上一次输入
x $n-2$	上上次输入
y $n$	当前输出
y $n-1$	上一次滤波输出
y $n-2$	上上次滤波输出
a1,a2,b0,b1,b2a_1,a_2,b_0,b_1,b_2a1,a2,b0,b1,b2	滤波器系数

这说明它是一个带记忆的滤波器。

它不是只看当前这一个采样点，而是结合历史数据一起计算。

这也是它能把曲线变平滑的原因。

十二、滤波器为什么需要历史状态？

假设当前输入突然出现一个尖峰。

如果只看当前点，算法可能会认为这就是一个真实波峰。

但是滤波器会结合前面的输入和输出：

如果前面一直很平稳，当前突然跳很高，滤波器不会完全相信这个尖峰。

它会把这个尖峰压低一些，让输出变化更平滑。

所以滤波器本质上是在做一件事：

不要被某一个瞬间采样点带偏，要结合历史趋势判断当前输出。

这对于手机 IMU 特别重要，因为手机数据经常会突然抖一下。

十三、用伪代码理解当前滤波流程

当前算法的整体处理流程可以写成伪代码：

复制代码

# 1. 输入手机 IMU 三轴加速度
ax = imu.ax
ay = imu.ay
az = imu.az

# 2. 计算三轴加速度模长
acc_mag = sqrt(ax * ax + ay * ay + az * az)

# 3. 减去重力，得到加速度波动信号
acc_norm = acc_mag - gravity

# 4. 输入四阶巴特沃斯低通滤波器
fil_Acc = butterworth_filter.update(acc_norm)

# 5. 使用滤波后的加速度进行峰谷检测
detect_peak_valley(fil_Acc)

如果四阶滤波器用两个二阶滤波器串联，可以写成：

复制代码

# 计算加速度模长并减重力
acc_norm = sqrt(ax * ax + ay * ay + az * az) - gravity

# 第一级二阶滤波
stage1 = biquad1.update(acc_norm)

# 第二级二阶滤波
fil_Acc = biquad2.update(stage1)

每个二阶滤波器内部大概是：

复制代码

y = b0 * x + b1 * x1 + b2 * x2 - a1 * y1 - a2 * y2

# 更新历史输入
x2 = x1
x1 = x

# 更新历史输出
y2 = y1
y1 = y

return y

其中：

复制代码

x  ：当前输入
x1 ：上一次输入
x2 ：上上次输入
y  ：当前输出
y1 ：上一次输出
y2 ：上上次输出

这就是所谓的实时滤波。

每来一个新的 IMU 采样点，滤波器就更新一次。

十四、滤波前后数据有什么区别？

假设减去重力后的加速度数据是：

复制代码

0.02, 0.15, 0.70, 0.30, 1.80, -0.20, -0.65, -0.10, 0.35

其中 1.80 可能是手机突然晃动产生的尖峰。

如果直接拿这条曲线做峰谷检测，算法很可能把 1.80 当成一个强波峰。

经过低通滤波后，曲线可能变成类似：

复制代码

0.01, 0.08, 0.25, 0.36, 0.42, 0.18, -0.10, -0.28, -0.12

可以看到，尖峰没有完全消失，但被明显压平了。

这样后面的峰谷检测就不会被瞬时毛刺轻易欺骗。

十五、滤波对峰谷检测有什么帮助？

当前 PDR 的步伐检测主要依赖波峰和波谷。

大致判断逻辑是：

复制代码

曲线从上升变下降 → 可能是波峰
曲线从下降变上升 → 可能是波谷
波峰超过正阈值 → 记录波峰
波谷低于负阈值 → 记录波谷
波峰波谷配对 → 形成候选步
候选步通过质量门控 → 变成有效步

如果没有滤波，曲线可能因为高频抖动出现大量局部峰谷。

这会导致：

误检测波峰
误检测波谷
候选步过多
静止时误计步
轻微晃手机时轨迹漂移

滤波之后，曲线变得更加接近真实步态波形：

复制代码

缓慢上升 → 明显波峰 → 缓慢下降 → 明显波谷 → 再次上升

这样峰谷检测才更稳定。

十六、滤波不是最终判断

需要注意的是，滤波只是信号预处理，不是最终的步伐判断。

也就是说：

经过滤波之后，不代表每个波峰波谷都一定是真实一步。

滤波之后还要经过：

峰值阈值判断
谷值阈值判断
峰谷时间间隔检查
峰谷幅值差检查
相邻步最小间隔检查
连续步步长突变检查

所以当前算法不是简单地：

复制代码

有波峰 = 有一步

而是：

复制代码

滤波后的曲线出现明显峰谷
        ↓
峰谷满足阈值要求
        ↓
峰谷时间合理
        ↓
峰谷幅值差合理
        ↓
相邻步间隔合理
        ↓
步长没有异常突变
        ↓
最终确认有效步

四阶巴特沃斯低通滤波只是把第一步做好，让后面的判断更可靠。

十七、为什么滤波不能太强？

滤波不是越强越好。

如果滤波太弱，高频噪声压不住，容易误计步。

如果滤波太强，真实步态也会被压掉，容易漏计步。

滤波太强可能带来几个问题：

问题	说明
峰值变低	原本明显的步态波峰被压小
波形延迟	滤波器输出比真实动作慢一点
快速步态被削弱	用户走得快时，部分步态信息可能被压掉
起步响应慢	刚开始走时，滤波器状态需要时间跟上

所以当前算法使用四阶巴特沃斯低通，是一种折中。

它的目标是：

复制代码

尽量压制高频噪声
但不要破坏正常走路的主要波形

十八、为什么四阶滤波会带来延迟？

因为滤波器使用了历史输入和历史输出。

当前输出： y $n$ 不仅和当前输入： x $n$ 有关，还和之前的输入输出有关：

x $n-1$ ,x $n-2$ ,y $n-1$ ,y $n-2$

这会让滤波结果更加平滑，但也会让信号变化稍微滞后。

在 PDR 中，这种延迟一般是可以接受的。

因为步伐检测本身不要求毫秒级瞬时反应，更重要的是不要误计步。

十九、四阶巴特沃斯滤波在当前算法中的核心价值

在当前 PDR 中，四阶巴特沃斯低通滤波的价值可以总结为四点。

第一，减少传感器噪声。

手机 IMU 数据天然存在小幅随机波动，滤波可以让曲线更稳定。

第二，压制手部小抖动。

用户拿手机时，手部轻微晃动会产生很多小波峰、小波谷，滤波可以削弱它们。

第三，降低瞬时冲击影响。

手机突然甩一下、碰一下，可能产生尖峰。低通滤波可以把这种尖峰压平。

第四，提高峰谷检测稳定性。

滤波后的曲线更接近真实走路波形，后面的峰谷检测、步伐门控和步长估计都会更可靠。

二十、它和步长估计有什么关系？

当前算法的步长估计依赖峰谷差。

也就是：

再使用 Weinberg 类模型估计步长：

如果滤波前曲线噪声很大，峰值和谷值可能不稳定。

这样会导致：

峰谷差偏大
步长估计偏大
轨迹出现跳点

或者：

峰谷差被噪声扰乱
步长忽大忽小
轨迹不平滑

所以滤波不仅影响"有没有检测到一步"，还会间接影响"这一步估计多长"。