SG函数：让博弈“化整为零”

引言

在算法竞赛中，博弈论题目常常让人望而生畏：两个绝顶聪明的人轮流操作，问谁赢谁输。最简单的取石子游戏（Nim 游戏）有一个漂亮的结论------异或和为 0 则先手必败，否则先手必胜。但题目稍微一变，比如"可以把一堆石子分成两堆"，这个结论就不够用了。

SG 函数（Sprague-Grundy Function） 正是为了统一解决这类公平组合游戏而生的。它将复杂的博弈局面映射为一个非负整数（SG 值），然后通过 SG 定理 将多个子游戏的组合转化为 Nim 和（异或和）。掌握 SG 函数，你就掌握了解决大部分公平组合游戏的通法。

如果说 Nim 游戏是一把"钥匙"，那么 SG 函数就是 "万能钥匙胚"------任何公平组合游戏，只要算出每个局面的 SG 值，就能用 Nim 和的思路判断胜负。

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前置知识

在学习 SG 函数之前，你需要掌握以下基础：

1. 公平组合游戏（ICG） 的定义：

   • 两名玩家轮流行动。

   • 任何状态下，两名玩家的合法操作集合完全相同。

   • 不能行动者输。

   • 游戏一定在有限步内结束。

2. 必胜态与必败态：

   • 没有后继状态的状态是必败态（P-position） 。

   • 存在至少一个后继状态为必败态的状态是必胜态（W-position） 。

   • 所有后继状态都是必胜态的状态是必败态。

3. mex 运算 ：mex(S) 表示不属于集合 S 的最小非负整数。例如 mex({0, 2, 4}) = 1。

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第一章：SG函数的定义与计算

1.1 SG 函数的定义

对于公平组合游戏中的状态 xx，其 SG 函数值定义为：

SG(x)=mex({SG(y)∣y 是 x 的后继状态})SG(x)=mex({SG(y)∣y 是 x 的后继状态})

也就是说，一个状态的 SG 值等于其所有后继状态的 SG 值集合中未出现的最小非负整数。

理解 SG 函数的一个关键视角：SG(x) = k 意味着从状态 x 可以转移到 SG 值为 0, 1, ..., k-1 的所有状态。这使得 SG 值与 Nim 游戏中的一堆石子形成了完美的对应关系。

1.2 计算 SG 函数的步骤

第一步：确定状态的表示

明确每个博弈状态如何表示。例如 Nim 游戏中，状态就是"各堆石子的数量"。

第二步：画出博弈图（有向无环图）

从终止状态开始，递推计算每个状态的 SG 值。

第三步：应用 mex 运算

对于每个状态，收集所有后继状态的 SG 值，取 mex。

第四步：利用 SG 定理组合

如果游戏由多个独立子游戏组成，总 SG 值为各子游戏 SG 值的异或和。

1.3 手算示例：简单的取石子游戏

游戏规则：一堆石子，每次可以取 1 颗或 3 颗，取到最后一颗的人赢。

计算 SG 值：

• SG(0)=0（没有石子可取，必败）

• SG(1)=mex({SG(0)})=mex({0})=1

• SG(2)=mex({SG(1)})=mex({1})=0

• SG(3)=mex({SG(2),SG(0)})=mex({0,0})=mex({0})=1

• SG(4)=mex({SG(3),SG(1)})=mex({1,1})=0

规律：SG(x)=0SG(x)=0 当且仅当 xx 是偶数。

这个例子说明：SG 值为 0 的状态对应必败态 ，SG 值不为 0 的状态对应必胜态。

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第二章：SG定理与Nim游戏

2.1 SG 定理

SG 定理（Sprague-Grundy Theorem）是公平组合游戏理论的基石：

一个组合游戏（由若干子游戏组成）的 SG 值，等于各子游戏 SG 值的异或和（Nim 和）。

换句话说，如果游戏 GG 可以分解为若干互不影响的子游戏 G1,G2,...,GnG1​,G2​,...,Gn​，那么：

SG(G)=SG(G1)⊕SG(G2)⊕⋯⊕SG(Gn)

胜负判定：

• 若 SG(G)=0，则先手必败。

• 若 SG(G)≠0，则先手必胜。

这正是 Nim 游戏结论的推广：Nim 游戏中每堆石子就是一个子游戏，SG(一堆石子)=石子数SG(一堆石子)=石子数，所以总 SG 值就是所有堆石子数的异或和。

2.2 SG 定理的直观理解

为什么 SG 值可以异或？因为 SG 值 k 意味着该状态可以转移到 SG 值为 0, 1, ..., k-1 的任意状态。这和 Nim 游戏中一堆 k 颗石子的性质完全一样------你可以把它变成 0, 1, ..., k-1 颗。

因此，整个游戏等价于一个 Nim 游戏，其中第 ii 堆石子的数量就是第 ii 个子游戏的 SG 值。

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第三章：性质与复杂度

性质	说明
SG = 0 必败	SG 值为 0 的状态是必败态
SG ≠ 0 必胜	SG 值不为 0 的状态是必胜态
SG 定理	总 SG = 各子游戏 SG 的异或和
计算方式	从终止状态开始递推，或 DFS + 记忆化
适用场景	所有公平组合游戏
复杂度	O(状态数×转移数)O(状态数×转移数)

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第四章：例题与详细解析

例题1：Nim游戏 ------ 洛谷 P2197

题目描述

地上有 nn 堆石子，每堆石子数量为 aiai​。两人轮流操作，每次可以从任意一堆 中取出任意数量的石子（至少取 1 颗，可以取完）。不能操作者输。判断先手是否必胜。

输入示例

1
3
1 2 3

输出示例

Yes

解题思路

这是 Nim 游戏的模板题。每堆石子是一个独立的子游戏，SG(一堆 x 颗石子)=xSG(一堆 x 颗石子)=x。根据 SG 定理，总 SG 值为所有堆石子数的异或和。

详细解析

第一步：认识 Nim 游戏的结论

Nim 游戏有一个著名的定理：先手必胜当且仅当所有堆石子数的异或和不为 0。

证明思路（简要）：

• 若异或和为 0，无论先手如何操作，异或和都会变为非 0，后手总能把异或和重新变为 0。

• 若异或和非 0，先手总能找到一堆石子，从中取出若干颗，使异或和变为 0。

• 最终所有堆石子数为 0 时，异或和为 0，轮到谁谁输。

第二步：代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int n;
        cin >> n;
        int xorsum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int a;
            cin >> a;
            xorsum ^= a;
        }
        cout << (xorsum ? "Yes" : "No") << '\n';
    }
    return 0;
}

第三步：复杂度分析

时间复杂度 O(n)O(n)，空间复杂度 O(1)O(1)。

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例题2：高手过招 ------ 洛谷 P2575

题目描述

有一个 n×20n×20 的棋盘，每个格子有棋子（1）或没有棋子（0）。每次操作：选择一个棋子，将它向右移动到第一个空格处。如果某个棋子右边没有空格，则不能移动该棋子。当所有棋子都不能移动时，游戏结束，不能操作者输。判断先手是否必胜。

输入示例

2
3
1 2 3
2 4 5

输出示例

YES

解题思路

这道题不能直接套用 Nim 游戏的结论，需要先将其转化为阶梯 Nim（Staircase Nim） 问题。

详细解析

第一步：观察游戏性质

每一行是独立的子游戏，总 SG 值为各行 SG 值的异或和。

对于一行 20 个格子，从右往左看，连续的棋子构成"一段"。将相邻的有棋子的格子合并为一个"阶梯"，阶梯上的棋子数等于该段连续棋子的长度。

第二步：转化为阶梯 Nim

阶梯 Nim 的结论是：只看奇数层阶梯上的石子数，异或和不为 0 则先手必胜。

为什么？因为移动一个棋子到右边的空格，等价于把石子从当前阶梯移到更低的阶梯。这和阶梯 Nim 的规则完全一致。

第三步：代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int n;
        cin >> n;
        int ans = 0;
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int x;
            cin >> x;
            vector<int> pos(20, 0);
            for (int j = 0; j < x; j++) {
                int p;
                cin >> p;
                pos[p-1] = 1;  // 标记有棋子的位置
            }
            
            // 从右往左处理，转化为阶梯 Nim
            int cnt = 0, step = 0;
            for (int j = 19; j >= 0; j--) {
                if (pos[j] == 0) {
                    step++;  // 空格增加，进入下一级阶梯
                } else {
                    if (step % 2 == 1) cnt++;  // 奇数层阶梯上的棋子数
                }
            }
            ans ^= cnt;  // 每行的 SG 值异或起来[reference:76]
        }
        
        cout << (ans ? "YES" : "NO") << '\n';
    }
    return 0;
}

第四步：复杂度分析

每行 20 个格子，nn 行，时间复杂度 O(20n)O(20n)，空间复杂度 O(1)O(1)。

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第五章：常见变体与应用场景

变体	核心思路	典型例题
Nim 游戏	所有堆异或和	P2197
阶梯 Nim	只统计奇数层阶梯	P2575
Anti-Nim	取到最后一颗石子的人输	需特殊判断
拆分 Nim	可将一堆分成两堆，SG 打表找规律	HDU 3032
树上博弈	转化为阶梯 Nim 或 SG 函数	各类树上删边游戏
SG 打表找规律	小范围计算 SG，观察周期规律	HDU 5795

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总结

SG 函数是解决公平组合游戏问题的统一框架。它的核心流程是：

1. 确定状态：明确每个局面如何表示。

2. 计算 SG 值 ：从终止状态开始，利用 mex 运算递推。

3. 应用 SG 定理：将总游戏的 SG 值分解为各子游戏 SG 值的异或和。

4. 判断胜负：SG 值为 0 则必败，否则必胜。

从 P2197（Nim 游戏模板）的"直接异或"到 P2575（高手过招）的"转化为阶梯 Nim"，SG 函数的价值在于化繁为简------无论游戏规则多么复杂，只要能分解为若干独立的子游戏，就能用 SG 定理统一求解