递归函数Recursive Function

递归函数（Recursive Function）是在函数内部直接或间接调用自身的函数，其核心思想是将问题分解为更小的子问题，直到达到终止条件（基例）。递归的本质是数学归纳法的编程实现。

递归的三要素

1.基例（base Case）

递归的终止条件，避免无限递归；

通常是问题的最简形式（如n == 0）。

2.递归步骤（Recursive Step）

将问题分解为更小的子问题；

调用自身处理子问题。

3.参数传递

通过参数将问题规模逐步缩小

经典递归示例

1.阶乘函数（Factorial）

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def factorial(n):
    # 基例：0的阶乘是1
    if n == 0:
        return 1
    # 递归步骤：n! = n × (n-1)!
    return n * factorial(n-1)

print(factorial(5))  # 输出：120（5×4×3×2×1）

2.斐波那契数列（Fibonacci）

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def fibonacci(n):
    # 基例：F(0)=0, F(1)=1
    if n <= 1:
        return n
    # 递归步骤：F(n) = F(n-1) + F(n-2)
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

print(fibonacci(6))  # 输出：8（0,1,1,2,3,5,8）

3.字符串反转

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def reverse_string(s):
    # 基例：空字符串直接返回
    if len(s) == 0:
        return s
    # 递归步骤：取最后一个字符 + 反转剩余部分
    return s[-1] + reverse_string(s[:-1])

print(reverse_string("hello"))  # 输出：olleh

递归与迭代的对比

可读性	直观（问题天然递归结构）	需循环逻辑设计

递归的常见应用场景

1.树结构遍历：

前序/中序/后序遍历二叉树

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class TreeNode:
    def __init__(self, val, left=None, right=None):
        self.val = val
        self.left = left
        self.right = right

def inorder_traversal(root):
    if root:
        inorder_traversal(root.left)
        print(root.val)
        inorder_traversal(root.right)

2.分治算法：

快速排序，归并排序的递归实现

3.数学问题：

幂运算（如pow（x，n）= x * pow（x，n-1））

4.动态规划：

记忆化递归优化（用缓存存储中间结果）

递归的注意事项

1.基例必须存在：

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def infinite_recursion():
    infinite_recursion()  # 错误：无基例，导致栈溢出

2.参数必须趋近基例：

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def bad_factorial(n):
    if n == 0:
        return 1
    return bad_factorial(n+1)  # 错误：参数不趋近基例

3.栈溢出风险：

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def deep_recursion(n):
    if n == 0:
        return
    deep_recursion(n+1)  # 递归深度无限增长

4.重复计算问题：

斐波那契递归实现中，fib（5）会重复计算fib（3），fib（2）等；

解决方案：使用记忆化递归（Memoization）。

记忆化递归优化：通过缓存中间结果，避免重复计算

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from functools import lru_cache

@lru_cache(maxsize=None)
def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

print(fibonacci(30))  # 输出：832040（计算速度大幅提升）