本题采用前缀与后缀乘积空间复用算法解决"除自身以外数组的乘积"问题。其核心本质是在禁用除法的前提下，利用输出数组直接存储前缀连续乘积，并引入单个滚动变量逆向累乘后缀，从而将传统多数组方案的额外空间复杂度由 O(n) 降低至 O(1)。该解法实现了时间与额外空间的双重理论极限，最终走向是通过两次完备的线性扫描直接锁定目标乘积序列。
一、 问题本质与数据模型
对于长度为 n 的整数数组 nums，设任意位置 i（其中 0 <= i < n）的目标乘积为 answeri。
根据题目定义，answeri 等于该位置左侧所有元素的乘积（前缀乘积）与右侧所有元素的乘积（后缀乘积）的乘积。物理模型可拆解为：
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Prefixi = nums0 * nums1 * ... * numsi-1 （约定 Prefix0 = 1）
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Suffixi = numsi+1 * numsi+2 * ... * numsn-1 （约定 Suffixn-1 = 1）
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answeri = Prefixi * Suffixi
传统方案需要分别开辟两个独立的空间为 O(n) 的辅助数组来存储 Prefix 和 Suffix。而本算法通过重用输出数组并配合动态变量，彻底消除了额外辅助数组的开销。
二、 算法演进对比
在处理区间全量乘积（去中心化）问题时，空间复用双向扫描法达成了资源配置的最优解：
| 解法名称 | 时间复杂度 | 空间复杂度 | 核心原理 | 物理瓶颈 / 缺陷 |
|---|---|---|---|---|
| 除法扫描法 | O(n) | O(1) | 先计算全局总乘积，遍历时除以当前元素得到结果 | 无法处理数组中包含元素 0 的特殊情况，且违反题目禁用除法的物理约束 |
| 暴力双重循环 | O(n^2) | O(1) | 每到一个位置，线性遍历其余 n-1 个元素并求乘积 | 存在大量重叠区间的重复计算，大数级样本下必然超时 |
| 双辅助数组法 | O(n) | O(n) | 开辟 PREFIX 和 SUFFIX 数组，分别向前和向后累乘后进行对应相乘 | 引入了两倍于输入规模的额外内存开销 |
| 空间复用扫描（当前解法） | O(n) | O(1) | 利用返回数组替代 PREFIX 数组，利用动态单变量滚动代替 SUFFIX 数组 | 需进行正反两次完备的线性扫描 |
三; 核心控制流逻辑推导
提供的源码通过解耦前缀和后缀的计算，分两步完成了对输出数组 ans 的构建：
1. 正向扫描：构建前缀乘积
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控制循环：
for (int i = 1; i < nums.length; i++) -
初始边界设定
ans[0] = 1。因为索引 0 左侧没有元素，前缀乘积默认为 1。 -
状态转移：
ans[i] = ans[i - 1] * nums[i - 1] -
逻辑证明 ：此时
ans[i]严格等于nums[0]到nums[i-1]的连续累乘。当这轮循环结束时，ans数组中已经保存了所有元素对应的完整前缀乘积。
2. 逆向扫描：融合后缀乘积
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控制循环：
for (int i = nums.length - 1; i >= 0; i--) -
引入滚动变量
r，初始值为 1，代表当前位置右侧所有元素的累乘和（即后缀乘积）。 -
复合更新：
ans[i] *= r -
此时
ans[i]的值变为：原有的前缀乘积 * 当前的后缀乘积 r，直接完成了answer[i]的最终物理赋值。 -
动态演进：
r *= nums[i] -
更新后，
r融入了当前的nums[i]，为左边下一个位置i-1的后缀乘积做好了数据准备。
四、 算法执行状态机步进示例
以输入数据 nums = [1, 2, 3, 4] 为例，算法内部各变量与 ans 数组的动态演进过程如下表所示：
| 阶段 / 步骤 | 当前指针 i | 当前元素 numsi | 滚动变量 r 的值 | ans 数组实时状态 | 物理意义说明 |
|---|---|---|---|---|---|
| 初始化 | - | - | - | [1, 0, 0, 0] |
设定首位前缀初始值 |
| 正向第 1 步 | 1 | 2 | - | [1, 1, 0, 0] |
ans1 = ans0 * nums0 = 1 * 1 |
| 正向第 2 步 | 2 | 3 | - | [1, 1, 2, 0] |
ans2 = ans1 * nums1 = 1 * 2 |
| 正向第 3 步 | 3 | 4 | - | [1, 1, 2, 6] |
ans3 = ans2 * nums2 = 2 * 3 (正向结束) |
| 逆向第 1 步 | 3 | 4 | 1 | [1, 1, 2, 6] |
ans3 *= 1 -> 6; r 更新为 1 * 4 = 4 |
| 逆向第 2 步 | 2 | 3 | 4 | [1, 1, 8, 6] |
ans2 *= 4 -> 8; r 更新为 4 * 3 = 12 |
| 逆向第 3 步 | 1 | 2 | 12 | [1, 12, 8, 6] |
ans1 *= 12 -> 12; r 更新为 12 * 2 = 24 |
| 逆向第 4 步 | 0 | 1 | 24 | [24, 12, 8, 6] |
ans0 *= 24 -> 24; r 更新为 24 * 1 = 24 |
五、源码实现
class Solution {
public int[] productExceptSelf(int[] nums) {
// 创建结果数组，根据空间复杂度分析原则，该数组不计入额外空间开销
int[] ans = new int[nums.length];
// 边界初始化：第一个元素左边没有元素，前缀乘积设定为 1
ans[0] = 1;
// 步骤 1：正向遍历，计算每个元素的所有前缀乘积
for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
ans[i] = ans[i - 1] * nums[i - 1];
}
// 动态滚动变量 r，用来实时维护当前元素右侧所有元素的连续乘积（后缀乘积）
int r = 1;
// 步骤 2：逆向遍历，将前缀乘积与动态生成的后缀乘积进行融合
for (int i = nums.length - 1; i >= 0; i--) {
// 当前位置的最终结果 = 已经存在数组中的前缀乘积 * 当前右侧的后缀乘积
ans[i] *= r;
// 滚动变量更新：将当前元素纳入后缀乘积，供左侧的下一个元素使用
r *= nums[i];
}
return ans;
}
}六、 复杂度极限分析
1. 时间复杂度：O(n)
-
分析 ：算法包含两个独立的、不嵌套的单层
for循环。第一个循环从前往后遍历长度为 n 的数组，执行次数为 n-1 次；第二个循环从后往前逆序遍历数组，执行次数为 n 次。两轮遍历中的基础操作均为单次的常数阶乘法运算（O(1)）。 -
结论：总体总基本操作次数与输入数据规模 n 呈线性正比关系，时间复杂度为稳定的 O(n)。
2. 空间复杂度：O(1)
-
分析 ：根据题目设定的空间复杂度分析原则，输出数组
ans作为返回值不被计入额外的物理空间开销。在算法执行期间，除返回值外，仅独立申请了一个基础类型的整型滚动变量r以及循环控制变量i。 -
结论：算法所额外分配的物理内存空间完全恒定，不随输入规模 n 的扩大而产生任何增长，空间复杂度达到了 O(1) 阶的极限原地状态。