集合 ------ 知识点详解
一、集合的概念与表示
1. 集合的定义
集合 （Set）是现代数学中最基本的概念之一，是一个不加定义的原始概念（如同"点""直线"一样），只能给予描述性说明。
把一些确定的、互不相同的 对象汇集在一起，作为一个整体来考虑，这个整体就称为一个集合 ，其中的每个对象称为该集合的元素（element）。
集合中元素的三大特性：
| 特性 | 含义 | 说明 |
|---|---|---|
| 确定性 | 给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合是明确的 | 例如"个子高的人"不能构成集合（标准不明确） |
| 互异性 | 集合中的元素互不相同 | {1,1,2}\{1, 1, 2\}{1,1,2} 应写为 {1,2}\{1, 2\}{1,2} |
| 无序性 | 集合中元素的排列顺序无关紧要 | {1,2,3}={3,1,2}\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}{1,2,3}={3,1,2} |
元素与集合的关系（属于/不属于）：
- 若 aaa 是集合 AAA 的元素，记作 a∈Aa \in Aa∈A（读作"aaa 属于 AAA"）
- 若 aaa 不是集合 AAA 的元素，记作 a∉Aa \notin Aa∈/A（读作"aaa 不属于 AAA"$
2. 集合的表示方法
集合有三种主要表示方法：
（1）列举法（穷举法）
将集合中的元素一一列举 出来，写在花括号 { }\{\ \}{ } 内。
A={a1,a2,a3,...,an}A = \{a_1, a_2, a_3, \dots, a_n\}A={a1,a2,a3,...,an}
示例：
- A={1,2,3,4,5}A = \{1, 2, 3, 4, 5\}A={1,2,3,4,5}
- B={a,b,c}B = \{a, b, c\}B={a,b,c}
注意事项：
- 元素之间用逗号隔开
- 元素不重复（互异性）
- 元素无顺序要求（无序性）
- 对于有明显规律的无穷集，可用省略号：N={0,1,2,3,... }\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\}N={0,1,2,3,...}
（2）描述法（特征性质法）
通过刻画集合中元素的**共同特征（公共属性）**来表示集合。
A={x∣P(x)}或A={x:P(x)}A = \{x \mid P(x)\} \quad \text{或} \quad A = \{x : P(x)\}A={x∣P(x)}或A={x:P(x)}
其中 P(x)P(x)P(x) 是关于 xxx 的一个条件（性质），竖线左边写元素的一般形式，右边写元素满足的条件。
示例：
- {x∣x2−1=0}={−1,1}\{x \mid x^2 - 1 = 0\} = \{-1, 1\}{x∣x2−1=0}={−1,1}（可转化为列举法）
- {x∣x 是正整数且 x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\{x \mid x \text{ 是正整数且 } x < 10\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}{x∣x 是正整数且 x<10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
- {(x,y)∣y=x2, x∈R}\{(x, y) \mid y = x^2, \ x \in \mathbb{R}\}{(x,y)∣y=x2, x∈R}（表示抛物线上的所有点）
注意事项：
- 书写格式为 {x∣P(x)}\{x \mid P(x)\}{x∣P(x)}，竖线不能省略
- 描述法适合表示元素有共同规律但不便一一列举的集合
- 注意区分 {x∣y=x2}\{x \mid y = x^2\}{x∣y=x2} 与 {y∣y=x2}\{y \mid y = x^2\}{y∣y=x2} 与 {(x,y)∣y=x2}\{(x,y) \mid y = x^2\}{(x,y)∣y=x2}，三者是不同的集合
（3）图示法（Venn 图）
用一条封闭曲线 （通常画成圆或矩形）围成的区域来表示集合，曲线内部的点表示元素。Venn 图主要用于直观表示集合之间的关系和运算。
二、集合之间的重要关系
1. 子集（Subset）
定义： 设 AAA、BBB 是两个集合，如果集合 AAA 中的每一个元素 都是集合 BBB 的元素，则称 AAA 是 BBB 的子集，记作：
A⊆B（读作"A 包含于 B"或"B 包含 A"）A \subseteq B \quad \text{（读作"A 包含于 B"或"B 包含 A"）}A⊆B（读作"A 包含于 B"或"B 包含 A"）
等价表述：
A⊆B ⟺ ∀ x∈A, x∈BA \subseteq B \iff \forall\, x \in A,\ x \in BA⊆B⟺∀x∈A, x∈B
子集的性质：
- 自反性： 任何集合是自身的子集，即 A⊆AA \subseteq AA⊆A
- 传递性： 若 A⊆BA \subseteq BA⊆B 且 B⊆CB \subseteq CB⊆C，则 A⊆CA \subseteq CA⊆C
- 空集是任何集合的子集： ∅⊆A\varnothing \subseteq A∅⊆A（对任意集合 AAA 成立）
2. 真子集（Proper Subset）
定义： 如果 A⊆BA \subseteq BA⊆B 且 A≠BA \neq BA=B（即 BBB 中至少有一个元素不属于 AAA），则称 AAA 是 BBB 的真子集，记作：
A⊊B（或写作 A⊂B，但为避免与子集符号混淆，推荐 ⊊）A \subsetneq B \quad \text{（或写作 } A \subset B \text{，但为避免与子集符号混淆，推荐 } \subsetneq \text{）}A⊊B（或写作 A⊂B，但为避免与子集符号混淆，推荐 ⊊）
等价表述：
A⊊B ⟺ (A⊆B)∧(∃ x∈B, x∉A)A \subsetneq B \iff (A \subseteq B) \land (\exists\, x \in B, \ x \notin A)A⊊B⟺(A⊆B)∧(∃x∈B, x∈/A)
重要结论：
- 空集是任何非空 集合的真子集：若 A≠∅A \neq \varnothingA=∅，则 ∅⊊A\varnothing \subsetneq A∅⊊A
- 任何集合都不是空集的真子集（空集没有真子集）
3. 集合的相等
定义： 如果集合 AAA 与集合 BBB 的元素完全相同 ，则称 AAA 与 BBB 相等，记作 A=BA = BA=B。
A=B ⟺ (A⊆B)∧(B⊆A)A = B \iff (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)A=B⟺(A⊆B)∧(B⊆A)
这是证明两个集合相等的基本方法（双向包含法）。
示例：
- {x∣x2=4}={−2,2}\{x \mid x^2 = 4\} = \{-2, 2\}{x∣x2=4}={−2,2}
- {1,2,3}={3,1,2}\{1, 2, 3\} = \{3, 1, 2\}{1,2,3}={3,1,2}（无序性）
4. 子集个数公式
若集合 AAA 有 nnn 个元素（即 ∣A∣=n|A| = n∣A∣=n），则：
| 类型 | 个数 |
|---|---|
| AAA 的子集个数 | 2n2^n2n |
| AAA 的真子集个数 | 2n−12^n - 12n−1 |
| AAA 的非空子集个数 | 2n−12^n - 12n−1 |
| AAA 的非空真子集个数 | 2n−22^n - 22n−2 |
示例： A={a,b,c}A = \{a, b, c\}A={a,b,c}，∣A∣=3|A| = 3∣A∣=3，则子集个数 =23=8= 2^3 = 8=23=8 个，分别是：
∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}\varnothing,\ \{a\},\ \{b\},\ \{c\},\ \{a,b\},\ \{a,c\},\ \{b,c\},\ \{a,b,c\}∅, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}
三、特殊集合
1. 空集（Empty Set）
∅={}\varnothing = \{\}∅={}
性质：
- 不含任何元素的集合，是唯一的
- 是任何集合的子集：∅⊆A\varnothing \subseteq A∅⊆A（对任意 AAA）
- 是任何非空集合的真子集：若 A≠∅A \neq \varnothingA=∅，则 ∅⊊A\varnothing \subsetneq A∅⊊A
- ∅≠{0}\varnothing \neq \{0\}∅={0}，∅≠{∅}\varnothing \neq \{\varnothing\}∅={∅}（注意区分）
2. 数集（常用数集及其记号）
| 数集名称 | 记号 | 含义 |
|---|---|---|
| 自然数集 | N\mathbb{N}N | {0,1,2,3,... }\{0, 1, 2, 3, \dots\}{0,1,2,3,...} |
| 正整数集 | N∗\mathbb{N}^*N∗ 或 N+\mathbb{N}_+N+ | {1,2,3,... }\{1, 2, 3, \dots\}{1,2,3,...} |
| 整数集 | Z\mathbb{Z}Z | {...,−2,−1,0,1,2,... }\{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}{...,−2,−1,0,1,2,...} |
| 有理数集 | Q\mathbb{Q}Q | 可表示为分数 pq\frac{p}{q}qp（p∈Z,q∈N∗p \in \mathbb{Z}, q \in \mathbb{N}^*p∈Z,q∈N∗）的数 |
| 实数集 | R\mathbb{R}R | 有理数与无理数的全体 |
| 复数集 | C\mathbb{C}C | {a+bi∣a,b∈R, i2=−1}\{a + bi \mid a, b \in \mathbb{R},\ i^2 = -1\}{a+bi∣a,b∈R, i2=−1} |
包含关系链：
N⊊Z⊊Q⊊R⊊C\mathbb{N} \subsetneq \mathbb{Z} \subsetneq \mathbb{Q} \subsetneq \mathbb{R} \subsetneq \mathbb{C}N⊊Z⊊Q⊊R⊊C
3. 全集（Universal Set）
在研究特定问题时，所涉及的所有集合都是某个给定集合 的子集，这个给定的集合称为全集 ，通常记作 UUU（或 III、EEE 等）。
全集是相对的，根据研究问题的不同可以改变。例如：
- 研究实数范围内的方程解集时，U=RU = \mathbb{R}U=R
- 研究整数范围内的因数问题时，U=ZU = \mathbb{Z}U=Z
四、集合的运算
1. 交集（Intersection）
A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}A \cap B = \{x \mid x \in A \ \text{且}\ x \in B\}A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}
即由既属于 AAA 又属于 BBB 的所有元素组成的集合。
性质：
- A∩B=B∩AA \cap B = B \cap AA∩B=B∩A（交换律）
- A∩A=AA \cap A = AA∩A=A（幂等律）
- A∩∅=∅A \cap \varnothing = \varnothingA∩∅=∅
- A∩B⊆AA \cap B \subseteq AA∩B⊆A，A∩B⊆BA \cap B \subseteq BA∩B⊆B
- 若 A⊆BA \subseteq BA⊆B，则 A∩B=AA \cap B = AA∩B=A
- (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C)（结合律）
2. 并集（Union）
A∪B={x∣x∈A 或 x∈B}A \cup B = \{x \mid x \in A \ \text{或}\ x \in B\}A∪B={x∣x∈A 或 x∈B}
即由属于 AAA 或 属于 BBB（或同时属于）的所有元素组成的集合。
性质：
- A∪B=B∪AA \cup B = B \cup AA∪B=B∪A（交换律）
- A∪A=AA \cup A = AA∪A=A（幂等律）
- A∪∅=AA \cup \varnothing = AA∪∅=A
- A⊆A∪BA \subseteq A \cup BA⊆A∪B，B⊆A∪BB \subseteq A \cup BB⊆A∪B
- 若 A⊆BA \subseteq BA⊆B，则 A∪B=BA \cup B = BA∪B=B
- (A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)（结合律）
3. 补集（Complement）
设 UUU 为全集，A⊆UA \subseteq UA⊆U，则 AAA 在 UUU 中的补集为：
∁UA={x∣x∈U 且 x∉A}\complement_U A = \{x \mid x \in U \ \text{且}\ x \notin A\}∁UA={x∣x∈U 且 x∈/A}
即由全集 UUU 中不属于 AAA 的所有元素组成的集合。
性质：
- A∪∁UA=UA \cup \complement_U A = UA∪∁UA=U
- A∩∁UA=∅A \cap \complement_U A = \varnothingA∩∁UA=∅
- ∁U(∁UA)=A\complement_U(\complement_U A) = A∁U(∁UA)=A（补集的补集等于原集合）
- ∁UU=∅\complement_U U = \varnothing∁UU=∅
- ∁U∅=U\complement_U \varnothing = U∁U∅=U
4. 差集（Relative Complement / Set Difference）
A∖B=A−B={x∣x∈A 且 x∉B}A \setminus B = A - B = \{x \mid x \in A \ \text{且}\ x \notin B\}A∖B=A−B={x∣x∈A 且 x∈/B}
即属于 AAA 但不属于 BBB 的所有元素组成的集合。
与补集的关系：
A∖B=A∩∁UB（在全集 U 下）A \setminus B = A \cap \complement_U B \quad \text{（在全集 } U \text{ 下）}A∖B=A∩∁UB（在全集 U 下）
5. 对称差（Symmetric Difference）（拓展）
A△B=(A∖B)∪(B∖A)=(A∪B)∖(A∩B)A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) = (A \cup B) \setminus (A \cap B)A△B=(A∖B)∪(B∖A)=(A∪B)∖(A∩B)
即属于 AAA 或属于 BBB 但不同时属于两者的元素组成的集合。
6. De Morgan 定律（德摩根律）
这是集合运算中最重要的恒等式之一：
∁U(A∩B)=∁UA∪∁UB\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B∁U(A∩B)=∁UA∪∁UB
∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B∁U(A∪B)=∁UA∩∁UB
推广到 nnn 个集合：
∁U (⋂i=1nAi)=⋃i=1n∁UAi\complement_U\!\left(\bigcap_{i=1}^{n} A_i\right) = \bigcup_{i=1}^{n} \complement_U A_i∁U(i=1⋂nAi)=i=1⋃n∁UAi
∁U (⋃i=1nAi)=⋂i=1n∁UAi\complement_U\!\left(\bigcup_{i=1}^{n} A_i\right) = \bigcap_{i=1}^{n} \complement_U A_i∁U(i=1⋃nAi)=i=1⋂n∁UAi
口诀： "交的补等于补的并，并的补等于补的交"。
7. 分配律
A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
8. 运算律汇总
| 运算律 | 交集 ∩\cap∩ | 并集 ∪\cup∪ |
|---|---|---|
| 交换律 | A∩B=B∩AA \cap B = B \cap AA∩B=B∩A | A∪B=B∪AA \cup B = B \cup AA∪B=B∪A |
| 结合律 | (A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)(A∩B)∩C=A∩(B∩C) | (A∪B)∪C=A∪(B∪C)(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C) |
| 分配律 | A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A \cap (B \cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C)A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) | A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A \cup (B \cap C) = (A\cup B) \cap (A\cup C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) |
| 幂等律 | A∩A=AA \cap A = AA∩A=A | A∪A=AA \cup A = AA∪A=A |
| 同一律 | A∩U=AA \cap U = AA∩U=A | A∪∅=AA \cup \varnothing = AA∪∅=A |
| 零一律 | A∩∅=∅A \cap \varnothing = \varnothingA∩∅=∅ | A∪U=UA \cup U = UA∪U=U |
| 互补律 | A∩∁UA=∅A \cap \complement_U A = \varnothingA∩∁UA=∅ | A∪∁UA=UA \cup \complement_U A = UA∪∁UA=U |
五、集合关系的证明方法
1. 证明 A⊆BA \subseteq BA⊆B（AAA 是 BBB 的子集）
方法（元素法 / 推演法）：
任取 x∈Ax \in Ax∈A，通过推理证明 x∈Bx \in Bx∈B，从而得出 A⊆BA \subseteq BA⊆B。
标准格式：
∀ x∈A ⟹ x∈B ⟹ A⊆B\forall\, x \in A \implies x \in B \implies A \subseteq B∀x∈A⟹x∈B⟹A⊆B
示例： 证明 {x∣x=2k,k∈Z}⊆{x∣x=2k,k∈Q}\{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}\} \subseteq \{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Q}\}{x∣x=2k,k∈Z}⊆{x∣x=2k,k∈Q}
证： 任取 x∈{x∣x=2k,k∈Z}x \in \{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}\}x∈{x∣x=2k,k∈Z}，则存在 k0∈Zk_0 \in \mathbb{Z}k0∈Z 使得 x=2k0x = 2k_0x=2k0。由于 Z⊆Q\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q}Z⊆Q，故 k0∈Qk_0 \in \mathbb{Q}k0∈Q，因此 x∈{x∣x=2k,k∈Q}x \in \{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Q}\}x∈{x∣x=2k,k∈Q}。故 {x∣x=2k,k∈Z}⊆{x∣x=2k,k∈Q}\{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}\} \subseteq \{x \mid x = 2k, k \in \mathbb{Q}\}{x∣x=2k,k∈Z}⊆{x∣x=2k,k∈Q}。
2. 证明 A=BA = BA=B（两集合相等）
方法一：双向包含法（最常用、最严谨）
分别证明 A⊆BA \subseteq BA⊆B 和 B⊆AB \subseteq AB⊆A，从而得出 A=BA = BA=B。
即：
A=B ⟺ (A⊆B)∧(B⊆A)A = B \iff (A \subseteq B) \land (B \subseteq A)A=B⟺(A⊆B)∧(B⊆A)
方法二：等价转化法
将集合 AAA、BBB 中的条件进行等价变换，若能化为同一形式，则 A=BA = BA=B。
示例： 证明 {x∣x2−3x+2=0}={1,2}\{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} = \{1, 2\}{x∣x2−3x+2=0}={1,2}
证： x2−3x+2=0 ⟺ (x−1)(x−2)=0 ⟺ x=1 或 x=2x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x-1)(x-2) = 0 \iff x = 1 \text{ 或 } x = 2x2−3x+2=0⟺(x−1)(x−2)=0⟺x=1 或 x=2
故 {x∣x2−3x+2=0}={1,2}\{x \mid x^2 - 3x + 2 = 0\} = \{1, 2\}{x∣x2−3x+2=0}={1,2}。
3. 证明 A⊊BA \subsetneq BA⊊B（AAA 是 BBB 的真子集）
先证 A⊆BA \subseteq BA⊆B，再找到一个元素 x0∈Bx_0 \in Bx0∈B 但 x0∉Ax_0 \notin Ax0∈/A。
4. 证明两集合无公共元素
证明 A∩B=∅A \cap B = \varnothingA∩B=∅，常用反证法 ：假设存在 x∈A∩Bx \in A \cap Bx∈A∩B，推出矛盾。
六、笛卡儿积（Cartesian Product）
1. 定义
设 AAA、BBB 是两个集合，由 AAA 中的元素作为第一分量 、BBB 中的元素作为第二分量 所构成的所有有序对 组成的集合，称为 AAA 与 BBB 的笛卡儿积（也称直积），记作：
A×B={(a,b)∣a∈A, b∈B}A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\ b \in B\}A×B={(a,b)∣a∈A, b∈B}
其中 (a,b)(a, b)(a,b) 是有序对 ，(a,b)≠(b,a)(a, b) \neq (b, a)(a,b)=(b,a)（除非 a=ba = ba=b）。
2. 笛卡儿积的基本性质
| 性质 | 表达式 |
|---|---|
| 基数公式 | ∣A×B∣=∣A∣⋅∣B∣|A \times B| = |A| \cdot |B|∣A×B∣=∣A∣⋅∣B∣ |
| 非交换性 | 一般情况下 A×B≠B×AA \times B \neq B \times AA×B=B×A |
| 空集性质 | A×∅=∅A \times \varnothing = \varnothingA×∅=∅，∅×B=∅\varnothing \times B = \varnothing∅×B=∅ |
| 与子集的关系 | 若 A⊆CA \subseteq CA⊆C 且 B⊆DB \subseteq DB⊆D，则 A×B⊆C×DA \times B \subseteq C \times DA×B⊆C×D |
3. 有限集的笛卡儿积示例
设 A={1,2}A = \{1, 2\}A={1,2}，B={a,b,c}B = \{a, b, c\}B={a,b,c}，则：
A×B={(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}A \times B = \{(1,a),\ (1,b),\ (1,c),\ (2,a),\ (2,b),\ (2,c)\}A×B={(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
∣A×B∣=2×3=6|A \times B| = 2 \times 3 = 6∣A×B∣=2×3=6
B×A={(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}B \times A = \{(a,1),\ (a,2),\ (b,1),\ (b,2),\ (c,1),\ (c,2)\}B×A={(a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
显然 A×B≠B×AA \times B \neq B \times AA×B=B×A。
4. 笛卡儿积的特殊情况
- A×AA \times AA×A 也记作 A2A^2A2，称为 AAA 的笛卡儿平方
- 几何意义： 若 AAA、BBB 是数集，则 A×BA \times BA×B 可以看作平面上的一个点集
- 例：0,1×0,10,1 \times 0,10,1×0,1 是平面上以原点为左下角、边长为 1 的正方形区域
- R×R=R2\mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2R×R=R2 表示整个二维平面
5. 多个集合的笛卡儿积
A1×A2×⋯×An={(a1,a2,...,an)∣ai∈Ai, i=1,2,...,n}A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n = \{(a_1, a_2, \dots, a_n) \mid a_i \in A_i,\ i = 1, 2, \dots, n\}A1×A2×⋯×An={(a1,a2,...,an)∣ai∈Ai, i=1,2,...,n}
∣A1×A2×⋯×An∣=∣A1∣⋅∣A2∣⋯∣An∣|A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n| = |A_1| \cdot |A_2| \cdots |A_n|∣A1×A2×⋯×An∣=∣A1∣⋅∣A2∣⋯∣An∣
6. 笛卡儿积的运算律
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C)
A×(B∖C)=(A×B)∖(A×C)A \times (B \setminus C) = (A \times B) \setminus (A \times C)A×(B∖C)=(A×B)∖(A×C)
附：核心概念速记表
| 概念 | 记号 | 核心要点 |
|---|---|---|
| 子集 | A⊆BA \subseteq BA⊆B | ∀x∈A⇒x∈B\forall x \in A \Rightarrow x \in B∀x∈A⇒x∈B |
| 真子集 | A⊊BA \subsetneq BA⊊B | A⊆BA \subseteq BA⊆B 且 A≠BA \neq BA=B |
| 集合相等 | A=BA = BA=B | A⊆BA \subseteq BA⊆B 且 B⊆AB \subseteq AB⊆A |
| 交集 | A∩BA \cap BA∩B | 属于 AAA 且 属于 BBB |
| 并集 | A∪BA \cup BA∪B | 属于 AAA 或 属于 BBB |
| 补集 | ∁UA\complement_U A∁UA | 属于 UUU 但不属于 AAA |
| 差集 | A∖BA \setminus BA∖B | 属于 AAA 但不属于 BBB |
| 笛卡儿积 | A×BA \times BA×B | 有序对 (a,b)(a,b)(a,b) 的全体 |
| 子集个数 | --- | nnn 元集合有 2n2^n2n 个子集 |
| 德摩根律 | --- | 交的补 === 补的并；并的补 === 补的交 |