数学星球:等价性(第1-4章)

第七造山带：等价关系与商构造------在概念的废墟上重建更宏伟的宫殿

引言：人类心智最被低估的天赋------有选择地遗忘

想象你走进一间巨大的图书馆。数以百万计的书籍排列在书架上，每一本书都有自己独特的内容、封面、作者、出版年份。你被这座知识的迷宫压得喘不过气来。

现在，图书馆馆长走过来，递给你一张纸条，上面只写了一句话："把用同一种语言写的书放在一起。"

突然之间，混乱被驯服了。你不再需要关心每一本书的个别特征------它讲的是什么故事、封面是什么颜色、作者是谁------这些都不重要了。你只需要知道它是什么语言。西班牙语书归西班牙语区，中文书归中文区，阿拉伯语书归阿拉伯语区。数百万本书被压缩为几十个类别。每一个类别内部的所有书，在"语言"这个标准下，被视为等价的。

你失去了一些信息------你现在无法分辨同一语言区内的两本书有什么不同。但你获得了一个全新的视角：你可以清晰地看到馆藏的语种分布，可以发现哪个语种的书架太空需要补充，可以按语种规划未来的采购预算。

这正是第七造山带------等价关系与商构造------的全部秘密。

如果说前六座山脉教我们如何拆解、翻转、锚定、分解、翻译和寻找归宿，那么这第七造山带传授的，是一门最冷酷、也最解放的艺术：有选择地遗忘。 它的核心直觉是：当你只关心事物的某个侧面时，你可以正式宣布，在某些标准下"差不多"的东西，从此就是"同一个东西"。 然后，你把每一个"差不多"的群体，打包成一个全新的、更干净的对象。这个动作，就是商构造 。而那个"差不多"的官方标准，就是等价关系。

这是数学从"描述世界"走向"重建世界"的关键一步。它不是被动地观察给定的对象，而是主动地"杀死"那些你不关心的区别，在概念的废墟上，建立起更宏伟的宫殿。它的信条简单到令人不安：如果你想看得更清楚，你就必须学会忘得更狠。 获得新知的途径，往往不是更仔细地看，而是更坚决地忽视。

1. 等价关系：宣布"差不多"的官方标准

1.1 从日常直觉到数学公理

人类大脑是一台无情的分类机器。我们自动地将路上不同的树木归入"树"这个类别，将不同的人脸识别为同一个人，将不同的声音理解为同一个词语。这种"忽略差异、识别同一"的能力，是我们得以在这个充满无限细节的宇宙中存活下来的认知基础。

数学将这种能力形式化，结果就是等价关系。

定义1.1（二元关系） 集合 X X X 上的一个二元关系 R R R 是笛卡尔积 X × X X \times X X×X 的一个子集。我们通常记 ( x , y ) ∈ R (x, y) \in R (x,y)∈R 为 x R y x R y xRy。

定义1.2（等价关系） 集合 X X X 上的一个二元关系 ∼ \sim ∼ 称为等价关系，如果它满足以下三条公理：

(E1) 自反性 ：对于任意 x ∈ X x \in X x∈X， x ∼ x x \sim x x∼x。

(E2) 对称性 ：对于任意 x , y ∈ X x, y \in X x,y∈X，若 x ∼ y x \sim y x∼y，则 y ∼ x y \sim x y∼x。

(E3) 传递性 ：对于任意 x , y , z ∈ X x, y, z \in X x,y,z∈X，若 x ∼ y x \sim y x∼y 且 y ∼ z y \sim z y∼z，则 x ∼ z x \sim z x∼z。

这三条公理的逻辑独立性：它们彼此不能相互推导。

• 考虑关系" ≤ \le ≤"在实数集上：自反、传递，但不对称（ 1 ≤ 2 1 \le 2 1≤2 但 2 ≰ 1 2 \not\le 1 2≤1）。这不是等价关系。

• 考虑关系"差的绝对值小于1"在实数集上：自反、对称，但不传递（ 0.5 ∼ 1.2 0.5 \sim 1.2 0.5∼1.2 因为 ∣ 1.2 − 0.5 ∣ = 0.7 < 1 |1.2-0.5|=0.7<1 ∣1.2−0.5∣=0.7<1， 1.2 ∼ 1.9 1.2 \sim 1.9 1.2∼1.9，但 0.5 ≁ 1.9 0.5 \not\sim 1.9 0.5∼1.9 因为 ∣ 1.9 − 0.5 ∣ = 1.4 > 1 |1.9-0.5|=1.4>1 ∣1.9−0.5∣=1.4>1）。这不是等价关系。

• 考虑空关系（没有任何两个元素相关）：对称、传递（空洞地），但不自反（除非 X = ∅ X=\varnothing X=∅）。这不是等价关系。

因此，三条公理缺一不可。只有同时满足三者的关系，才能正式被称为"等价"。

1.2 等价类与划分：硬币的两面

定义1.3（等价类） 设 ∼ \sim ∼ 是 X X X 上的等价关系。对于 x ∈ X x \in X x∈X， x x x 所在的等价类 x x x 是与 x x x 等价的所有元素的集合：

x ∼ = { y ∈ X : y ∼ x } . x_\sim = \{y \in X : y \sim x\}. x∼={y∈X:y∼x}.

当等价关系明确时，简记为 x x x。

定理1.4（等价类的基本性质） 设 ∼ \sim ∼ 是 X X X 上的等价关系。对于任意 x , y ∈ X x, y \in X x,y∈X：

1. x ∈ x x \in x x∈x（由自反性）。
2. x ∼ y    ⟺    x = y x \sim y \iff x = y x∼y⟺x=y。
3. x ≁ y    ⟺    x ∩ y = ∅ x \not\sim y \iff x \cap y = \varnothing x∼y⟺x∩y=∅。

证明：

性质1由自反性直接得到。

性质2（ ⇒ \Rightarrow ⇒ 方向）：假设 x ∼ y x \sim y x∼y。需证 x ⊆ y x \subseteq y x⊆y 且 y ⊆ x y \subseteq x y⊆x。取 z ∈ x z \in x z∈x，则 z ∼ x z \sim x z∼x。由传递性， z ∼ x z \sim x z∼x 且 x ∼ y x \sim y x∼y    ⟹    \implies ⟹ z ∼ y z \sim y z∼y，故 z ∈ y z \in y z∈y。因此 x ⊆ y x \subseteq y x⊆y。由对称性， y ∼ x y \sim x y∼x，同理可证 y ⊆ x y \subseteq x y⊆x。因此 x = y x = y x=y。

（ ⇐ \Leftarrow ⇐ 方向）：若 x = y x = y x=y，则由性质1， y ∈ y = x y \in y = x y∈y=x，故 y ∼ x y \sim x y∼x，由对称性 x ∼ y x \sim y x∼y。

性质3（ ⇒ \Rightarrow ⇒ 方向）：我们证明逆否命题。若 x ∩ y ≠ ∅ x \cap y \neq \varnothing x∩y=∅，则存在 z ∈ x ∩ y z \in x \cap y z∈x∩y。由定义， z ∼ x z \sim x z∼x 且 z ∼ y z \sim y z∼y。由对称性 x ∼ z x \sim z x∼z，再由传递性 x ∼ z x \sim z x∼z 且 z ∼ y z \sim y z∼y    ⟹    \implies ⟹ x ∼ y x \sim y x∼y。因此若 x ∩ y ≠ ∅ x \cap y \neq \varnothing x∩y=∅，则 x ∼ y x \sim y x∼y。逆否命题得证。

（ ⇐ \Leftarrow ⇐ 方向）：若 x ∩ y = ∅ x \cap y = \varnothing x∩y=∅，则不可能有 x ∼ y x \sim y x∼y，因为 x ∼ y x \sim y x∼y 将蕴涵 x ∈ x ∩ y x \in x \cap y x∈x∩y（由性质2）。 □ \square □

定理1.5（等价类构成划分） 设 ∼ \sim ∼ 是 X X X 上的等价关系。则所有等价类的集合 { x : x ∈ X } \{x : x \in X\} {x:x∈X} 构成 X X X 的一个划分。即：

1. 每个等价类非空（由自反性）。
2. 不同等价类互不相交（由定理1.4性质3）。
3. 所有等价类的并等于 X X X（每个 x ∈ X x \in X x∈X 属于 x x x）。

定义1.6（商集） X X X 关于等价关系 ∼ \sim ∼ 的商集 是所有等价类构成的集合，记作：

X /  ⁣ ⁣ ∼    = { x : x ∈ X } . X/\!\!\sim \; = \{x : x \in X\}. X/∼={x:x∈X}.

定理1.7（划分诱导等价关系） 反过来，设 P \mathcal{P} P 是 X X X 的一个划分（即 X = ⨆ P ∈ P P X = \bigsqcup_{P \in \mathcal{P}} P X=⨆P∈PP，每个 P P P 非空且两两不交）。定义关系 x ∼ P y    ⟺    ∃ P ∈ P , x , y ∈ P x \sim_{\mathcal{P}} y \iff \exists P \in \mathcal{P}, x, y \in P x∼Py⟺∃P∈P,x,y∈P（即 x x x 和 y y y 属于划分中的同一块）。则 ∼ P \sim_{\mathcal{P}} ∼P 是等价关系，且其等价类恰好是 P \mathcal{P} P 中的各块。

证明：验证三条公理。

• 自反性： x x x 总与自己属于同一块。
• 对称性：若 x x x 与 y y y 属于同一块，则 y y y 与 x x x 也属于同一块。
• 传递性：若 x x x 与 y y y 属于同一块 P P P， y y y 与 z z z 属于同一块 Q Q Q，则 y ∈ P ∩ Q y \in P \cap Q y∈P∩Q。由于划分的块互不相交， P = Q P = Q P=Q。故 x x x 与 z z z 属于同一块 P P P。

∼ P \sim_{\mathcal{P}} ∼P 的等价类：对于 x ∈ P x \in P x∈P， x = { y : y 与 x 属于同一块 } = P x = \{y : y \text{ 与 } x \text{ 属于同一块}\} = P x={y:y 与 x 属于同一块}=P。 □ \square □

推论1.8（等价关系与划分的对应） 在集合 X X X 上，等价关系与划分之间存在一一对应：

{ ∼ ⊆ X × X : ∼ 是等价关系 } ⟷ { P ⊆ P ( X ) : P 是 X 的划分 } . \{\sim \subseteq X \times X : \sim \text{ 是等价关系}\} \longleftrightarrow \{\mathcal{P} \subseteq \mathcal{P}(X) : \mathcal{P} \text{ 是 } X \text{ 的划分}\}. {∼⊆X×X:∼ 是等价关系}⟷{P⊆P(X):P 是 X 的划分}.

由 ∼ ↦ X /  ⁣ ⁣ ∼ \sim \mapsto X/\!\!\sim ∼↦X/∼（等价关系映为其划分）和 P ↦ ∼ P \mathcal{P} \mapsto \sim_{\mathcal{P}} P↦∼P（划分映为其等价关系）给出，且这两个映射互为逆映射。

1.3 等价关系的丰富实例

例1.9（恒等关系------最细的等价关系） 定义 x ∼ y    ⟺    x = y x \sim y \iff x = y x∼y⟺x=y。等价类为单元素集 x = { x } x = \{x\} x={x}。商集 X /  ⁣ ⁣ ∼ X/\!\!\sim X/∼ 与 X X X 等势。这个等价关系"什么都不遗忘"------每个元素只和自己等价。

例1.10（全关系------最粗的等价关系） 定义 x ∼ y x \sim y x∼y 恒成立（对所有 x , y ∈ X x, y \in X x,y∈X）。只有一个等价类，即 X X X 本身。商集 X /  ⁣ ⁣ ∼ = { X } X/\!\!\sim = \{X\} X/∼={X} 是单点集。这个等价关系"遗忘了一切"------所有元素都被视为相同的。

例1.11（模运算------时间的数学） 在整数集 Z \mathbb{Z} Z 上，固定正整数 n n n，定义：

a ≡ b ( m o d n )    ⟺    n ∣ ( a − b ) . a \equiv b \pmod{n} \iff n \mid (a - b). a≡b(modn)⟺n∣(a−b).

验证等价关系：

• 自反： n ∣ 0 n \mid 0 n∣0。
• 对称：若 n ∣ ( a − b ) n \mid (a-b) n∣(a−b)，则 n ∣ ( b − a ) n \mid (b-a) n∣(b−a)。
• 传递：若 n ∣ ( a − b ) n \mid (a-b) n∣(a−b) 且 n ∣ ( b − c ) n \mid (b-c) n∣(b−c)，则 n ∣ ( a − b ) + ( b − c ) = a − c n \mid (a-b)+(b-c) = a-c n∣(a−b)+(b−c)=a−c。

等价类： a = a + n Z = { ... , a − 2 n , a − n , a , a + n , a + 2 n , ...   } a = a + n\mathbb{Z} = \{\dots, a-2n, a-n, a, a+n, a+2n, \dots\} a=a+nZ={...,a−2n,a−n,a,a+n,a+2n,...}。恰有 n n n 个不同的等价类： 0 , 1 , ... , n − 1 0, 1, \dots, n-1 0,1,...,n−1。商集 Z / n Z \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} Z/nZ 有 n n n 个元素。

例1.12（方向的等价------射影空间的诞生） 在 R n + 1 ∖ { 0 } \mathbb{R}^{n+1} \setminus \{0\} Rn+1∖{0} 上定义：

x ∼ y    ⟺    ∃ λ ∈ R ∖ { 0 } ,    x = λ y . x \sim y \iff \exists \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, \; x = \lambda y. x∼y⟺∃λ∈R∖{0},x=λy.

两个非零向量等价当且仅当它们在同一条过原点的直线上。等价类正是方向 （一维子空间去除原点）。商集是 n n n 维实射影空间 R P n \mathbb{RP}^n RPn。当 n = 2 n=2 n=2 时， R P 2 \mathbb{RP}^2 RP2 是射影平面，不能嵌入 R 3 \mathbb{R}^3 R3 中------这是商构造"创造"新几何对象的典型例子。

例1.13（同构------结构的等价） 在所有向量空间的集合上（或者更精确地，在给定域上的向量空间范畴中），定义 V ∼ W    ⟺    V ≅ W V \sim W \iff V \cong W V∼W⟺V≅W（存在线性同构）。等价类就是同构类。在有限维情形，每个同构类由一个自然数（维数）标记。这是"忘记具体构造、只保留结构"的等价关系。

例1.14（"几乎必然"------概率论的遗忘术） 在概率空间 ( Ω , F , P ) (\Omega, \mathcal{F}, P) (Ω,F,P) 上的随机变量集合中，定义：

X ∼ Y    ⟺    P ( { ω ∈ Ω : X ( ω ) ≠ Y ( ω ) } ) = 0. X \sim Y \iff P(\{\omega \in \Omega : X(\omega) \neq Y(\omega)\}) = 0. X∼Y⟺P({ω∈Ω:X(ω)=Y(ω)})=0.

即 X X X 和 Y Y Y 几乎必然相等（almost surely equal）。验证传递性需要一点技巧：

• 若 P ( X ≠ Y ) = 0 P(X \neq Y) = 0 P(X=Y)=0 且 P ( Y ≠ Z ) = 0 P(Y \neq Z) = 0 P(Y=Z)=0，则 { X ≠ Z } ⊆ { X ≠ Y } ∪ { Y ≠ Z } \{X \neq Z\} \subseteq \{X \neq Y\} \cup \{Y \neq Z\} {X=Z}⊆{X=Y}∪{Y=Z}。故 P ( X ≠ Z ) ≤ P ( X ≠ Y ) + P ( Y ≠ Z ) = 0 + 0 = 0 P(X \neq Z) \le P(X \neq Y) + P(Y \neq Z) = 0 + 0 = 0 P(X=Z)≤P(X=Y)+P(Y=Z)=0+0=0。传递性成立。

这个等价关系让我们敢于忽略零测集上的病态行为，将注意力集中在真正的统计规律上。 L p L^p Lp 空间的元素正是这个等价关系下的等价类，而非函数本身。

例1.15（同伦------橡皮泥拓扑的灵魂） 在从拓扑空间 X X X 到 Y Y Y 的连续映射集合 C ( X , Y ) C(X, Y) C(X,Y) 中，定义：

f ∼ g    ⟺    f 同伦于 g . f \sim g \iff f \text{ 同伦于 } g. f∼g⟺f 同伦于 g.

即存在连续映射 H : X × 0 , 1 → Y H: X \times 0,1 \to Y H:X×0,1→Y 使得 H ( x , 0 ) = f ( x ) H(x, 0) = f(x) H(x,0)=f(x)， H ( x , 1 ) = g ( x ) H(x, 1) = g(x) H(x,1)=g(x) 对所有 x ∈ X x \in X x∈X 成立。

验证等价关系：

• 自反： H ( x , t ) = f ( x ) H(x,t) = f(x) H(x,t)=f(x)（常同伦）。
• 对称：若 H H H 是 f f f 到 g g g 的同伦，则 H ‾ ( x , t ) = H ( x , 1 − t ) \overline{H}(x,t) = H(x, 1-t) H(x,t)=H(x,1−t) 是 g g g 到 f f f 的同伦。
• 传递：若 H 1 H_1 H1 是 f f f 到 g g g 的同伦， H 2 H_2 H2 是 g g g 到 h h h 的同伦，则拼接同伦 H ( x , t ) = H 1 ( x , 2 t ) H(x,t) = H_1(x, 2t) H(x,t)=H1(x,2t)（ t ∈ 0 , 1 / 2 t \in 0, 1/2 t∈0,1/2）， H ( x , t ) = H 2 ( x , 2 t − 1 ) H(x,t) = H_2(x, 2t-1) H(x,t)=H2(x,2t−1)（ t ∈ 1 / 2 , 1 t \in 1/2, 1 t∈1/2,1）是 f f f 到 h h h 的同伦。

同伦类是代数拓扑的砖石。基本群 π 1 ( X , x 0 ) \pi_1(X, x_0) π1(X,x0) 正是基点保持的环路在基点保持同伦下的商集。

1.4 等价关系与其他二元关系的系统对比

关系类型	自反	对称	传递	典型例子
等价关系	✓	✓	✓	模 n n n 同余、同构、几乎必然相等、同伦
偏序	✓	✗	✓	≤ \le ≤、 ⊆ \subseteq ⊆、整除
严格偏序	✗	✗	✓（且反自反）	< < <、 ⊊ \subsetneq ⊊
全序	✓	✗	✓（且完全）	≤ \le ≤ 在 R \mathbb{R} R 上
预序	✓	✗	✓	"至少和......一样好"
等价关系+偏序	✓	✓	✓	只能是平凡等价关系（所有元素两两等价）或恒等关系

关键观察 ：预序是"快要成为偏序但还不够"的关系------可能有 x ⪯ y x \preceq y x⪯y 且 y ⪯ x y \preceq x y⪯x 但 x ≠ y x \neq y x=y（不满足反对称性）。如果我们在预序上定义：

x ∼ y    ⟺    x ⪯ y 且 y ⪯ x , x \sim y \iff x \preceq y \text{ 且 } y \preceq x, x∼y⟺x⪯y 且 y⪯x,

则 ∼ \sim ∼ 自动成为等价关系。在商集 X /  ⁣ ⁣ ∼ X/\!\!\sim X/∼ 上， ⪯ \preceq ⪯ 诱导一个偏序。这是从预序走向偏序的标准策略：先等价化"无法区分的元素"，再在商集上建立偏序。

2. 商构造：从废墟中升起的新世界

2.1 典范投影与商集的泛性质

定义2.1（典范投影） 设 ∼ \sim ∼ 是 X X X 上的等价关系。典范投影 是映射：

π : X → X /  ⁣ ⁣ ∼ , π ( x ) = x . \pi: X \to X/\!\!\sim, \quad \pi(x) = x. π:X→X/∼,π(x)=x.

典范投影是一个满射------每个等价类都由其代表元（或多个代表元）映到。

定理2.2（商集的泛性质） 设 ∼ \sim ∼ 是 X X X 上的等价关系， π : X → X /  ⁣ ⁣ ∼ \pi: X \to X/\!\!\sim π:X→X/∼ 是典范投影。对于任意映射 f : X → Y f: X \to Y f:X→Y，以下条件等价：

1. f f f 在等价类上为常数： x ∼ x ′    ⟹    f ( x ) = f ( x ′ ) x \sim x' \implies f(x) = f(x') x∼x′⟹f(x)=f(x′)。
2. 存在唯一 的映射 f ~ : X /  ⁣ ⁣ ∼ → Y \tilde{f}: X/\!\!\sim \to Y f~:X/∼→Y，使得下图交换：
   X → f Y π ↓ ∥ X /  ⁣ ⁣ ∼ → f ~ Y \begin{CD} X @>{f}>> Y \\ @V{\pi}VV @| \\ X/\!\!\sim @>{\tilde{f}}>> Y \end{CD} Xπ↓ ⏐X/∼f f~ Y Y
   即 f = f ~ ∘ π f = \tilde{f} \circ \pi f=f~∘π。

证明：

( 2 ⇒ 1 ) (2 \Rightarrow 1) (2⇒1)：若 f ~ \tilde{f} f~ 存在，且 x ∼ x ′ x \sim x' x∼x′，则 π ( x ) = π ( x ′ ) = x \pi(x) = \pi(x') = x π(x)=π(x′)=x，故 f ( x ) = f ~ ( π ( x ) ) = f ~ ( π ( x ′ ) ) = f ( x ′ ) f(x) = \tilde{f}(\pi(x)) = \tilde{f}(\pi(x')) = f(x') f(x)=f~(π(x))=f~(π(x′))=f(x′)。因此 f f f 在等价类上为常数。

( 1 ⇒ 2 ) (1 \Rightarrow 2) (1⇒2)：假设 f f f 在等价类上为常数。定义 f ~ ( x ) = f ( x ) \tilde{f}(x) = f(x) f~(x)=f(x)。需证 f ~ \tilde{f} f~ 是良定义的 ：若 x = y x = y x=y，则 x ∼ y x \sim y x∼y，由条件1得 f ( x ) = f ( y ) f(x) = f(y) f(x)=f(y)，故 f ~ ( x ) = f ~ ( y ) \tilde{f}(x) = \tilde{f}(y) f~(x)=f~(y)。因此 f ~ \tilde{f} f~ 的定义不依赖于等价类代表元的选取。此时 f ~ ( π ( x ) ) = f ~ ( x ) = f ( x ) \tilde{f}(\pi(x)) = \tilde{f}(x) = f(x) f~(π(x))=f~(x)=f(x)，故 f = f ~ ∘ π f = \tilde{f} \circ \pi f=f~∘π。

唯一性 ：若 f ~ 1 \tilde{f}_1 f~1 和 f ~ 2 \tilde{f}_2 f~2 都满足条件，则对于任意 x ∈ X /  ⁣ ⁣ ∼ x \in X/\!\!\sim x∈X/∼， f ~ 1 ( x ) = f ~ 1 ( π ( x ) ) = f ( x ) = f ~ 2 ( π ( x ) ) = f ~ 2 ( x ) \tilde{f}_1(x) = \tilde{f}_1(\pi(x)) = f(x) = \tilde{f}_2(\pi(x)) = \tilde{f}_2(x) f~1(x)=f~1(π(x))=f(x)=f~2(π(x))=f~2(x)。故 f ~ 1 = f ~ 2 \tilde{f}_1 = \tilde{f}_2 f~1=f~2。 □ \square □

泛性质的意义 ：这一定理提供了一种不显式构造商集而使用商集 的方法。如果你需要定义一个从 X /  ⁣ ⁣ ∼ X/\!\!\sim X/∼ 出发的映射，你只需要在 X X X 上定义一个在等价类上为常数的映射，泛性质自动帮你将它"下降"到商集上，且保证唯一性。这是整个现代数学中处理商构造的基本技巧。

例2.3（泛性质应用于模算术） 定义加法 + ~ : Z / n Z × Z / n Z → Z / n Z \tilde{+}: \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} +~:Z/nZ×Z/nZ→Z/nZ。首先定义映射 f : Z × Z → Z / n Z f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} f:Z×Z→Z/nZ 为 f ( a , b ) = a + b f(a, b) = a+b f(a,b)=a+b。需验证 f f f 在等价类上为常数：若 ( a , b ) ∼ ( a ′ , b ′ ) (a, b) \sim (a', b') (a,b)∼(a′,b′)（即 a ≡ a ′ ( m o d n ) a \equiv a' \pmod{n} a≡a′(modn) 且 b ≡ b ′ ( m o d n ) b \equiv b' \pmod{n} b≡b′(modn)），则 a ′ = a + k n a' = a + kn a′=a+kn， b ′ = b + l n b' = b + ln b′=b+ln，故 a ′ + b ′ = a + b + ( k + l ) n ≡ a + b ( m o d n ) a' + b' = a + b + (k+l)n \equiv a + b \pmod{n} a′+b′=a+b+(k+l)n≡a+b(modn)，即 a ′ + b ′ = a + b a'+b' = a+b a′+b′=a+b。由泛性质，存在唯一的 + ~ \tilde{+} +~ 使得 + ~ ( a , b ) = a + b \tilde{+}(a, b) = a+b +~(a,b)=a+b。

2.2 同余关系：与代数结构兼容的等价关系

当我们在一个带有代数结构的集合（群、环、向量空间、拓扑空间等）上定义等价关系时，我们希望商集不仅仅是集合，还能继承原来的代数结构。这要求等价关系与运算"兼容"。

定义2.4（运算兼容的等价关系） 设 X X X 配备有一个 n n n 元运算 μ : X n → X \mu: X^n \to X μ:Xn→X。等价关系 ∼ \sim ∼ 称为与 μ \mu μ 兼容的 ，如果对于任意 x 1 , ... , x n , y 1 , ... , y n ∈ X x_1, \dots, x_n, y_1, \dots, y_n \in X x1,...,xn,y1,...,yn∈X：

x 1 ∼ y 1 , ... , x n ∼ y n    ⟹    μ ( x 1 , ... , x n ) ∼ μ ( y 1 , ... , y n ) . x_1 \sim y_1, \dots, x_n \sim y_n \implies \mu(x_1, \dots, x_n) \sim \mu(y_1, \dots, y_n). x1∼y1,...,xn∼yn⟹μ(x1,...,xn)∼μ(y1,...,yn).

定义2.5（同余关系） 在一个代数结构（如群、环、模、向量空间等）上，与所有运算都兼容的等价关系称为该结构上的同余关系。

当 ∼ \sim ∼ 是同余关系时，商集 X /  ⁣ ⁣ ∼ X/\!\!\sim X/∼ 自然地继承 X X X 的代数结构。例如，定义商集上的运算为：

μ ~ ( x 1 , ... , x n ) = μ ( x 1 , ... , x n ) . \tilde{\mu}(x_1, \dots, x_n) = \\mu(x_1, \\dots, x_n). μ~(x1,...,xn)=μ(x1,...,xn).

兼容性恰好保证了这个定义是良定义的（不依赖于代表元的选取）。

2.3 群论中的同余关系：正规子群

定理2.6（群的同余关系与正规子群的一一对应） 设 G G G 是群， ∼ \sim ∼ 是 G G G 上的同余关系（与群乘法兼容的等价关系）。则等价类 N = e N = e N=e（单位元所在的等价类）是 G G G 的正规子群 。反过来，每个正规子群 N ⊴ G N \trianglelefteq G N⊴G 诱导一个同余关系：

a ∼ N b    ⟺    a b − 1 ∈ N ( 或等价地 a − 1 b ∈ N ) . a \sim_N b \iff a b^{-1} \in N \quad (\text{或等价地 } a^{-1}b \in N). a∼Nb⟺ab−1∈N(或等价地 a−1b∈N).

且这两种构造互为逆映射。

证明：

第一部分：同余关系 ∼ \sim ∼ 产生正规子群。

令 N = e N = e N=e。首先证 N N N 是子群。

• 封闭性：若 a , b ∈ N a, b \in N a,b∈N，则 a ∼ e a \sim e a∼e， b ∼ e b \sim e b∼e。由同余性（与乘法兼容）， a b ∼ e e = e ab \sim ee = e ab∼ee=e，故 a b ∈ N ab \in N ab∈N。
• 逆元：若 a ∈ N a \in N a∈N，则 a ∼ e a \sim e a∼e。需证 a − 1 ∈ N a^{-1} \in N a−1∈N。注意 a ∼ e a \sim e a∼e 且 a − 1 ∼ a − 1 a^{-1} \sim a^{-1} a−1∼a−1（自反），由同余性 a a − 1 ∼ e a − 1 a a^{-1} \sim e a^{-1} aa−1∼ea−1，即 e ∼ a − 1 e \sim a^{-1} e∼a−1。由对称性 a − 1 ∼ e a^{-1} \sim e a−1∼e，故 a − 1 ∈ N a^{-1} \in N a−1∈N。
• 单位元：由自反性 e ∈ N e \in N e∈N。

其次证 N N N 正规。对于任意 g ∈ G g \in G g∈G 和 n ∈ N n \in N n∈N，需证 g n g − 1 ∈ N g n g^{-1} \in N gng−1∈N。由 n ∼ e n \sim e n∼e 和 g ∼ g g \sim g g∼g， g − 1 ∼ g − 1 g^{-1} \sim g^{-1} g−1∼g−1，由同余性（乘法兼容，可多次应用）， g n g − 1 ∼ g e g − 1 = e g n g^{-1} \sim g e g^{-1} = e gng−1∼geg−1=e。故 g n g − 1 ∈ N g n g^{-1} \in N gng−1∈N。 N ⊴ G N \trianglelefteq G N⊴G。

还需验证原等价关系可由 N N N 恢复： a ∼ b    ⟺    a b − 1 ∈ N a \sim b \iff a b^{-1} \in N a∼b⟺ab−1∈N。

• 若 a ∼ b a \sim b a∼b，则 a ∼ b a \sim b a∼b 且 b − 1 ∼ b − 1 b^{-1} \sim b^{-1} b−1∼b−1，故 a b − 1 ∼ b b − 1 = e a b^{-1} \sim b b^{-1} = e ab−1∼bb−1=e，即 a b − 1 ∈ N ab^{-1} \in N ab−1∈N。
• 若 a b − 1 ∈ N a b^{-1} \in N ab−1∈N，则 a b − 1 ∼ e a b^{-1} \sim e ab−1∼e。乘以 b b b（ b ∼ b b \sim b b∼b），得 a ∼ b a \sim b a∼b。

第二部分：正规子群 N N N 产生同余关系。

定义 a ∼ N b    ⟺    a b − 1 ∈ N a \sim_N b \iff a b^{-1} \in N a∼Nb⟺ab−1∈N。验证这是等价关系：

• 自反： a a − 1 = e ∈ N a a^{-1} = e \in N aa−1=e∈N（因为 N N N 是子群）。
• 对称：若 a b − 1 ∈ N a b^{-1} \in N ab−1∈N，则 ( a b − 1 ) − 1 = b a − 1 ∈ N (a b^{-1})^{-1} = b a^{-1} \in N (ab−1)−1=ba−1∈N（因为 N N N 是子群，对逆封闭）。
• 传递：若 a b − 1 ∈ N a b^{-1} \in N ab−1∈N 且 b c − 1 ∈ N b c^{-1} \in N bc−1∈N，则 ( a b − 1 ) ( b c − 1 ) = a c − 1 ∈ N (a b^{-1})(b c^{-1}) = a c^{-1} \in N (ab−1)(bc−1)=ac−1∈N（因为 N N N 对乘法封闭）。

验证与乘法兼容：若 a ∼ N b a \sim_N b a∼Nb（ a b − 1 ∈ N a b^{-1} \in N ab−1∈N）且 c ∼ N d c \sim_N d c∼Nd（ c d − 1 ∈ N c d^{-1} \in N cd−1∈N），需证 a c ∼ N b d ac \sim_N bd ac∼Nbd，即 ( a c ) ( b d ) − 1 = a c d − 1 b − 1 ∈ N (ac)(bd)^{-1} = a c d^{-1} b^{-1} \in N (ac)(bd)−1=acd−1b−1∈N。

注意 ( a c ) ( b d ) − 1 = a c d − 1 b − 1 = ( a b − 1 ) ⋅ b ( c d − 1 ) b − 1 (ac)(bd)^{-1} = a c d^{-1} b^{-1} = (a b^{-1}) \cdot b (c d^{-1}) b^{-1} (ac)(bd)−1=acd−1b−1=(ab−1)⋅b(cd−1)b−1。由于 c d − 1 ∈ N c d^{-1} \in N cd−1∈N 且 N N N 正规， b ( c d − 1 ) b − 1 ∈ N b (c d^{-1}) b^{-1} \in N b(cd−1)b−1∈N。又 a b − 1 ∈ N a b^{-1} \in N ab−1∈N， N N N 对乘法封闭，故乘积属于 N N N。

第三部分：两种构造互为逆映射。若从 ∼ \sim ∼ 出发得 N = e N = e N=e，再由 N N N 构造 ∼ N \sim_N ∼N，前已证 ∼ = ∼ N \sim = \sim_N ∼=∼N。若从 N N N 出发构造 ∼ N \sim_N ∼N，其单位元等价类为 { a : a ∼ N e } = { a : a e − 1 ∈ N } = { a : a ∈ N } = N \{a : a \sim_N e\} = \{a : a e^{-1} \in N\} = \{a : a \in N\} = N {a:a∼Ne}={a:ae−1∈N}={a:a∈N}=N。一一对应得证。 □ \square □

商群 ：当 N ⊴ G N \trianglelefteq G N⊴G 时，商集 G /  ⁣ ⁣ ∼ N G/\!\!\sim_N G/∼N 记作 G / N G/N G/N，称为 G G G 模 N N N 的商群 。群乘法为 a b = a b ab = ab ab=ab。单位元为 e = N e = N e=N。 a − 1 = a − 1 a^{-1} = a\^{-1} a−1=a−1。

推论2.7（拉格朗日定理） 若 G G G 是有限群， N ⊴ G N \trianglelefteq G N⊴G，则 ∣ G / N ∣ = ∣ G ∣ / ∣ N ∣ |G/N| = |G|/|N| ∣G/N∣=∣G∣/∣N∣。

证明 ：每个陪集 a N aN aN 恰好是等价类 a a a。所有陪集的并是 G G G，两两不交，且每个陪集的大小等于 ∣ N ∣ |N| ∣N∣（因为映射 N → a N N \to aN N→aN， n ↦ a n n \mapsto an n↦an 是双射）。因此陪集的个数为 ∣ G ∣ / ∣ N ∣ |G|/|N| ∣G∣/∣N∣。 □ \square □

2.4 环论中的同余关系：理想

定义2.8（理想） 环 R R R 的子集 I I I 称为理想，如果：

1. I I I 是加法子群（ 0 ∈ I 0 \in I 0∈I， a , b ∈ I    ⟹    a − b ∈ I a, b \in I \implies a-b \in I a,b∈I⟹a−b∈I）。
2. 对于任意 r ∈ R r \in R r∈R 和 a ∈ I a \in I a∈I， r a ∈ I ra \in I ra∈I 且 a r ∈ I ar \in I ar∈I（吸收性）。

定理2.9（环的同余关系与理想的对应） 环 R R R 上的同余关系 ∼ \sim ∼（与加法和乘法都兼容）一一对应于 R R R 的理想 I I I。对应方式为 I = 0 I = 0 I=0（加法零元所在的等价类）。且 a ∼ b    ⟺    a − b ∈ I a \sim b \iff a - b \in I a∼b⟺a−b∈I。

证明（概要）：

• 由于 ( R , + ) (R, +) (R,+) 是阿贝尔群，任何子群都是正规的。与加法兼容的等价关系对应于加法子群 I = 0 I = 0 I=0。
• 与乘法的兼容性等价于 I I I 的吸收性：若 a ∈ I a \in I a∈I（ a ∼ 0 a \sim 0 a∼0），则对于任意 r ∈ R r \in R r∈R， r ∼ r r \sim r r∼r 且 a ∼ 0 a \sim 0 a∼0，故 r a ∼ r ⋅ 0 = 0 ra \sim r \cdot 0 = 0 ra∼r⋅0=0，即 r a ∈ I ra \in I ra∈I。同理 a r ∈ I ar \in I ar∈I。 □ \square □

商环 ： R / I R/I R/I 配备加法 a + b = a + b a+b = a+b a+b=a+b 和乘法 a b = a b ab = ab ab=ab 成为环。

例2.10（多项式求值） 考虑求值同态 ev ⁡ a : R x → R \operatorname{ev}_a: \mathbb{R}x \to \mathbb{R} eva:Rx→R， f ↦ f ( a ) f \mapsto f(a) f↦f(a)。其核 ker ⁡ ( ev ⁡ a ) = { f : f ( a ) = 0 } = ( x − a ) \ker(\operatorname{ev}_a) = \{f : f(a) = 0\} = (x-a) ker(eva)={f:f(a)=0}=(x−a)（由 x − a x-a x−a 生成的主理想）。商环 R x / ( x − a ) \mathbb{R}x/(x-a) Rx/(x−a) 的元素是多项式模 ( x − a ) (x-a) (x−a) 的等价类。

2.5 向量空间中的同余关系：子空间

定理2.11（向量空间的同余关系与子空间的对应） 向量空间 V V V 上的同余关系（与加法和数乘都兼容）一一对应于子空间 W ⊆ V W \subseteq V W⊆V。对应方式为 W = 0 W = 0 W=0。且 v 1 ∼ v 2    ⟺    v 1 − v 2 ∈ W v_1 \sim v_2 \iff v_1 - v_2 \in W v1∼v2⟺v1−v2∈W。

商空间 ： V / W V/W V/W 配备 v 1 + v 2 = v 1 + v 2 v_1 + v_2 = v_1 + v_2 v1+v2=v1+v2 和 α v = α v \alphav = \\alpha v αv=αv 成为向量空间。典范投影 π : V → V / W \pi: V \to V/W π:V→V/W 是线性映射，且 ker ⁡ π = W \ker \pi = W kerπ=W。

定理2.12（商空间的维数公式） 若 dim ⁡ V < ∞ \dim V < \infty dimV<∞，则 dim ⁡ ( V / W ) = dim ⁡ V − dim ⁡ W \dim(V/W) = \dim V - \dim W dim(V/W)=dimV−dimW。

证明 ：设 dim ⁡ V = n \dim V = n dimV=n， dim ⁡ W = k \dim W = k dimW=k。取 W W W 的基 { v 1 , ... , v k } \{v_1, \dots, v_k\} {v1,...,vk}，扩充为 V V V 的基 { v 1 , ... , v k , v k + 1 , ... , v n } \{v_1, \dots, v_k, v_{k+1}, \dots, v_n\} {v1,...,vk,vk+1,...,vn}。我们断言 { v k + 1 , ... , v n } \{v_{k+1}, \dots, v_n\} {vk+1,...,vn} 是 V / W V/W V/W 的基。

线性无关：若 ∑ i = k + 1 n α i v i = 0 \sum_{i=k+1}^n \alpha_i v_i = 0 ∑i=k+1nαivi=0，则 ∑ α i v i = 0    ⟹    ∑ α i v i ∈ W \\sum \\alpha_i v_i = 0 \implies \sum \alpha_i v_i \in W ∑αivi=0⟹∑αivi∈W。由于 v k + 1 , ... , v n v_{k+1}, \dots, v_n vk+1,...,vn 与 W W W 线性无关，所有 α i = 0 \alpha_i = 0 αi=0。

张成：任意 v ∈ V / W v \in V/W v∈V/W，将 v = ∑ i = 1 n β i v i v = \sum_{i=1}^n \beta_i v_i v=∑i=1nβivi。则 v = ∑ i = 1 n β i v i = ∑ i = k + 1 n β i v i v = \sum_{i=1}^n \beta_i v_i = \sum_{i=k+1}^n \beta_i v_i v=∑i=1nβivi=∑i=k+1nβivi（因为 v i = 0 v_i = 0 vi=0 当 i ≤ k i \le k i≤k 时， v i ∈ W v_i \in W vi∈W）。 □ \square □

3. 第一同构定理：商构造与同态的共生之舞

3.1 群的第一同构定理

定理3.1（群的第一同构定理） 设 φ : G → H \varphi: G \to H φ:G→H 是群同态。则：

G / ker ⁡ φ ≅ im ⁡ φ . G / \ker \varphi \cong \operatorname{im} \varphi. G/kerφ≅imφ.

典范同构 φ ~ : G / ker ⁡ φ → im ⁡ φ \tilde{\varphi}: G/\ker\varphi \to \operatorname{im}\varphi φ~:G/kerφ→imφ 由 φ ~ ( g ) = φ ( g ) \tilde{\varphi}(g) = \varphi(g) φ~(g)=φ(g) 给出。

完整证明：

第一步： ker ⁡ φ \ker\varphi kerφ 是正规子群。

ker ⁡ φ = { g ∈ G : φ ( g ) = e H } \ker\varphi = \{g \in G : \varphi(g) = e_H\} kerφ={g∈G:φ(g)=eH}。对于任意 g ∈ G g \in G g∈G 和 k ∈ ker ⁡ φ k \in \ker\varphi k∈kerφ：

φ ( g k g − 1 ) = φ ( g ) φ ( k ) φ ( g − 1 ) = φ ( g ) ⋅ e H ⋅ φ ( g ) − 1 = e H . \varphi(g k g^{-1}) = \varphi(g) \varphi(k) \varphi(g^{-1}) = \varphi(g) \cdot e_H \cdot \varphi(g)^{-1} = e_H. φ(gkg−1)=φ(g)φ(k)φ(g−1)=φ(g)⋅eH⋅φ(g)−1=eH.

故 g k g − 1 ∈ ker ⁡ φ gkg^{-1} \in \ker\varphi gkg−1∈kerφ。 ker ⁡ φ ⊴ G \ker\varphi \trianglelefteq G kerφ⊴G。

第二步：构造 φ ~ \tilde{\varphi} φ~ 并证明良定义。

定义 φ ~ ( g ) = φ ( g ) \tilde{\varphi}(g) = \varphi(g) φ~(g)=φ(g)。需验证良定义：若 g = g ′ g = g' g=g′，则 g ′ g − 1 ∈ ker ⁡ φ g' g^{-1} \in \ker\varphi g′g−1∈kerφ。故 φ ( g ′ g − 1 ) = e H \varphi(g' g^{-1}) = e_H φ(g′g−1)=eH，即 φ ( g ′ ) φ ( g ) − 1 = e H \varphi(g') \varphi(g)^{-1} = e_H φ(g′)φ(g)−1=eH，从而 φ ( g ′ ) = φ ( g ) \varphi(g') = \varphi(g) φ(g′)=φ(g)。因此 φ ~ ( g ) \tilde{\varphi}(g) φ~(g) 不依赖代表元的选取。

第三步： φ ~ \tilde{\varphi} φ~ 是同态。

φ ~ ( g h ) = φ ~ ( g h ) = φ ( g h ) = φ ( g ) φ ( h ) = φ ~ ( g ) φ ~ ( h ) . \tilde{\varphi}(gh) = \tilde{\varphi}(gh) = \varphi(gh) = \varphi(g)\varphi(h) = \tilde{\varphi}(g)\tilde{\varphi}(h). φ~(gh)=φ~(gh)=φ(gh)=φ(g)φ(h)=φ~(g)φ~(h).

第四步： φ ~ \tilde{\varphi} φ~ 是单射。

若 φ ~ ( g ) = e H \tilde{\varphi}(g) = e_H φ~(g)=eH，则 φ ( g ) = e H \varphi(g) = e_H φ(g)=eH，即 g ∈ ker ⁡ φ g \in \ker\varphi g∈kerφ。故 g = e g = e g=e 是 G / ker ⁡ φ G/\ker\varphi G/kerφ 的单位元。 ker ⁡ φ ~ = { e } \ker \tilde{\varphi} = \{e\} kerφ~={e}，单射。

第五步： φ ~ \tilde{\varphi} φ~ 是满射（到 im ⁡ φ \operatorname{im}\varphi imφ）。

对于任意 h ∈ im ⁡ φ h \in \operatorname{im}\varphi h∈imφ，存在 g ∈ G g \in G g∈G 使得 φ ( g ) = h \varphi(g) = h φ(g)=h。则 φ ~ ( g ) = h \tilde{\varphi}(g) = h φ~(g)=h。 □ \square □

定理3.1的图解 ：

G → π G / ker ⁡ φ → ≅ φ ~ im ⁡ φ ↪ H G \xrightarrow{\pi} G/\ker\varphi \xrightarrow\\cong{\tilde{\varphi}} \operatorname{im}\varphi \hookrightarrow H Gπ G/kerφφ~ ≅imφ↪H

每个同态 φ \varphi φ 被分解为三个步骤：

1. 遗忘 （ π \pi π）：商掉核，将 ker ⁡ φ \ker\varphi kerφ 中的一切坍缩为单位元。
2. 同构 （ φ ~ \tilde{\varphi} φ~）：剩下的部分与像同构------无损的信息传递。
3. 嵌入：像作为子群嵌入陪域。

3.2 向量空间的秩-零化度定理

定理3.2（秩-零化度定理，同构形式） 设 T : V → W T: V \to W T:V→W 是线性映射。则：

V / ker ⁡ T ≅ im ⁡ T . V / \ker T \cong \operatorname{im} T. V/kerT≅imT.

取维数得 dim ⁡ V = dim ⁡ ker ⁡ T + dim ⁡ im ⁡ T \dim V = \dim \ker T + \dim \operatorname{im} T dimV=dimkerT+dimimT。

证明 ：直接应用群的第一同构定理于向量空间的加法群，注意到 ker ⁡ T \ker T kerT 是子空间，且 T ~ ( v ) = T ( v ) \tilde{T}(v) = T(v) T~(v)=T(v) 不仅是加法群同构，还保持标量乘法（因为 T ~ ( α v ) = T ~ ( α v ) = T ( α v ) = α T ( v ) = α T ~ ( v ) \tilde{T}(\alphav) = \tilde{T}(\\alpha v) = T(\alpha v) = \alpha T(v) = \alpha \tilde{T}(v) T~(αv)=T~(αv)=T(αv)=αT(v)=αT~(v)）。故 T ~ \tilde{T} T~ 是向量空间同构。 □ \square □

3.3 环的第一同构定理

定理3.3（环的第一同构定理） 设 φ : R → S \varphi: R \to S φ:R→S 是环同态。则：

R / ker ⁡ φ ≅ im ⁡ φ . R / \ker \varphi \cong \operatorname{im} \varphi. R/kerφ≅imφ.

典范同构 φ ~ ( r ) = φ ( r ) \tilde{\varphi}(r) = \varphi(r) φ~(r)=φ(r) 是环同构。

证明 ： ker ⁡ φ \ker\varphi kerφ 是理想（前已证）。 φ ~ \tilde{\varphi} φ~ 已是加法群同构，只需验证保持乘法：

φ ~ ( r s ) = φ ~ ( r s ) = φ ( r s ) = φ ( r ) φ ( s ) = φ ~ ( r ) φ ~ ( s ) . \tilde{\varphi}(rs) = \tilde{\varphi}(rs) = \varphi(rs) = \varphi(r)\varphi(s) = \tilde{\varphi}(r)\tilde{\varphi}(s). φ~(rs)=φ~(rs)=φ(rs)=φ(r)φ(s)=φ~(r)φ~(s).

φ ~ ( 1 R ) = φ ( 1 R ) = 1 S \tilde{\varphi}(1_R) = \varphi(1_R) = 1_S φ~(1R)=φ(1R)=1S（如果环有单位元且同态保持单位元）。 □ \square □

例3.4（多项式求值同态） ev ⁡ a : R x → R \operatorname{ev}_a: \mathbb{R}x \to \mathbb{R} eva:Rx→R， f ↦ f ( a ) f \mapsto f(a) f↦f(a)。 ker ⁡ ( ev ⁡ a ) = ( x − a ) \ker(\operatorname{ev}_a) = (x-a) ker(eva)=(x−a)。由第一同构定理：

R x / ( x − a ) ≅ R . \mathbb{R}x / (x-a) \cong \mathbb{R}. Rx/(x−a)≅R.

商掉由 x − a x-a x−a 生成的主理想后，无穷维的多项式空间坍缩为一维。商空间中的元素 f f f 由 f ( a ) f(a) f(a) 完全决定------等价类中所有多项式在 a a a 处的值相同。

3.4 第二与第三同构定理（简述）

定理3.5（群的第一同构定理） 已在3.1中详细证明。

定理3.6（群的第二同构定理------钻石同构定理） 设 H ≤ G H \le G H≤G， N ⊴ G N \trianglelefteq G N⊴G。则 H N ≤ G HN \le G HN≤G， H ∩ N ⊴ H H \cap N \trianglelefteq H H∩N⊴H，且：

H H ∩ N ≅ H N N . \frac{H}{H \cap N} \cong \frac{HN}{N}. H∩NH≅NHN.

证明（概要） ： H N = { h n : h ∈ H , n ∈ N } HN = \{hn : h \in H, n \in N\} HN={hn:h∈H,n∈N} 是 G G G 的子群（因为 N N N 正规保证了乘积的封闭性）。定义 φ : H → H N / N \varphi: H \to HN/N φ:H→HN/N 为 φ ( h ) = h N \varphi(h) = h_N φ(h)=hN（ h h h 在商群 H N / N HN/N HN/N 中的像）。 φ \varphi φ 是满射（因为 H N / N HN/N HN/N 的任意元素可写为 h n = h hn = h hn=h 对某个 h ∈ H h \in H h∈H）。 ker ⁡ φ = { h ∈ H : h ∈ N } = H ∩ N \ker\varphi = \{h \in H : h \in N\} = H \cap N kerφ={h∈H:h∈N}=H∩N。由第一同构定理得结论。 □ \square □

定理3.7（群的第三同构定理） 设 N ⊴ G N \trianglelefteq G N⊴G， M ⊴ G M \trianglelefteq G M⊴G，且 M ⊆ N M \subseteq N M⊆N。则 N / M ⊴ G / M N/M \trianglelefteq G/M N/M⊴G/M，且：

G / M N / M ≅ G / N . \frac{G/M}{N/M} \cong G/N. N/MG/M≅G/N.

证明（概要） ：定义 φ : G / M → G / N \varphi: G/M \to G/N φ:G/M→G/N 为 φ ( g M ) = g N \varphi(g_M) = g_N φ(gM)=gN。良定义由 M ⊆ N M \subseteq N M⊆N 保证（若 g 1 g 2 − 1 ∈ M ⊆ N g_1 g_2^{-1} \in M \subseteq N g1g2−1∈M⊆N，则 g 1 N = g 2 N g_1_N = g_2_N g1N=g2N）。 φ \varphi φ 是满射， ker ⁡ φ = { g M : g ∈ N } = N / M \ker\varphi = \{g_M : g \in N\} = N/M kerφ={gM:g∈N}=N/M。由第一同构定理得结论。 □ \square □

这三个同构定理构成了群论（以及更一般的泛代数）中商构造的核心体系。第二同构定理处理"子群与正规子群的交互"，第三同构定理处理"商群的商"。

4. 泛代数中的商构造：生成元与关系

4.1 自由对象与商构造的普适模式

现代代数中最重要的构造模式之一，是用生成元与关系来定义代数对象。这本质上就是先取一个自由对象，然后商掉某些关系生成的同余关系。

定义4.1（群的表现） 设 S S S 是一个集合， R ⊆ F ( S ) R \subseteq F(S) R⊆F(S) 是自由群 F ( S ) F(S) F(S) 的一个子集。群 G G G 的一个表现 ⟨ S ∣ R ⟩ \langle S \mid R \rangle ⟨S∣R⟩ 定义为：

G ≅ F ( S ) / ⟨ ⟨ R ⟩ ⟩ , G \cong F(S) / \langle\langle R \rangle\rangle, G≅F(S)/⟨⟨R⟩⟩,

其中 ⟨ ⟨ R ⟩ ⟩ \langle\langle R \rangle\rangle ⟨⟨R⟩⟩ 是 R R R 在 F ( S ) F(S) F(S) 中生成的正规闭包 ------即包含 R R R 的最小正规子群。具体地：

⟨ ⟨ R ⟩ ⟩ = { g 1 r 1 ε 1 g 1 − 1 ⋯ g k r k ε k g k − 1 : k ≥ 0 , g i ∈ F ( S ) , r i ∈ R , ε i = ± 1 } . \langle\langle R \rangle\rangle = \{g_1 r_1^{\varepsilon_1} g_1^{-1} \cdots g_k r_k^{\varepsilon_k} g_k^{-1} : k \ge 0, g_i \in F(S), r_i \in R, \varepsilon_i = \pm 1\}. ⟨⟨R⟩⟩={g1r1ε1g1−1⋯gkrkεkgk−1:k≥0,gi∈F(S),ri∈R,εi=±1}.

直观上， ⟨ S ∣ R ⟩ \langle S \mid R \rangle ⟨S∣R⟩ 是由 S S S 生成的"最一般的群"，其中 R R R 中的所有关系（设为等于单位元）都被强制成立。

定理4.2（表现的存在性） 每个群都有一个表现。

证明 ：取 S = G S = G S=G 作为生成元集。令 F ( G ) F(G) F(G) 是以 G G G 的元素为生成元的自由群。定义满同态 φ : F ( G ) ↠ G \varphi: F(G) \twoheadrightarrow G φ:F(G)↠G 为将每个生成元映为其在 G G G 中对应的元素（自由群的泛性质）。取 R = ker ⁡ φ R = \ker\varphi R=kerφ。则 G ≅ F ( G ) / R G \cong F(G)/R G≅F(G)/R。但 R R R 作为自由群的子群本身也是自由群（尼尔森-施赖埃尔定理），故 R R R 由某个子集生成。 □ \square □

例4.3（二面体群的表现） D n = ⟨ r , s ∣ r n = 1 , s 2 = 1 , s r s = r − 1 ⟩ D_n = \langle r, s \mid r^n = 1, s^2 = 1, srs = r^{-1} \rangle Dn=⟨r,s∣rn=1,s2=1,srs=r−1⟩。这是由两个生成元 r , s r, s r,s 和三个关系定义的群。在 F ( { r , s } ) / ⟨ ⟨ r n , s 2 , s r s r ⟩ ⟩ F(\{r,s\})/\langle\langle r^n, s^2, srsr \rangle\rangle F({r,s})/⟨⟨rn,s2,srsr⟩⟩ 中， s r s r = 1    ⟺    s r s = r − 1 srsr = 1 \iff srs = r^{-1} srsr=1⟺srs=r−1（因为 s = s − 1 s = s^{-1} s=s−1）。

例4.4（整数加法群的表现） Z ≅ ⟨ a ∣ ∅ ⟩ \mathbb{Z} \cong \langle a \mid \varnothing \rangle Z≅⟨a∣∅⟩（一个生成元，无关系）。自由群 F ( { a } ) F(\{a\}) F({a}) 是无限循环群，无关系意味着这正是 Z \mathbb{Z} Z。

例4.5（循环群的表现） Z / n Z ≅ ⟨ a ∣ a n = 1 ⟩ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \langle a \mid a^n = 1 \rangle Z/nZ≅⟨a∣an=1⟩。自由群 F ( { a } ) ≅ Z F(\{a\}) \cong \mathbb{Z} F({a})≅Z，关系 a n a^n an 生成的正规子群是 n Z n\mathbb{Z} nZ。商正是 Z / n Z \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} Z/nZ。

4.2 环的表现与多项式环的商

定义4.6（环的表现） 类似地，交换环可以由生成元和关系表现。例如：

C ≅ R x / ( x 2 + 1 ) . \mathbb{C} \cong \mathbb{R}x / (x^2 + 1). C≅Rx/(x2+1).

证明 ：考虑赋值同态 φ : R x → C \varphi: \mathbb{R}x \to \mathbb{C} φ:Rx→C， φ ( f ) = f ( i ) \varphi(f) = f(i) φ(f)=f(i)。 φ \varphi φ 是满射吗？ C \mathbb{C} C 中的任意元素 a + b i a+bi a+bi 是多项式 a + b x a+bx a+bx 在 i i i 处的值，故是。 ker ⁡ φ = { f ∈ R x : f ( i ) = 0 } \ker\varphi = \{f \in \mathbb{R}x : f(i) = 0\} kerφ={f∈Rx:f(i)=0}。由于 x 2 + 1 x^2+1 x2+1 是以 i i i 为根的不可约多项式（在 R x \mathbb{R}x Rx 中），且 R x \mathbb{R}x Rx 是主理想整环， ker ⁡ φ = ( x 2 + 1 ) \ker\varphi = (x^2+1) kerφ=(x2+1)。由第一同构定理， C ≅ R x / ( x 2 + 1 ) \mathbb{C} \cong \mathbb{R}x/(x^2+1) C≅Rx/(x2+1)。 □ \square □

例4.7（有限域的表现） F p n ≅ F p x / ( f ( x ) ) \mathbb{F}_{p^n} \cong \mathbb{F}_px / (f(x)) Fpn≅Fpx/(f(x))，其中 f ( x ) f(x) f(x) 是 F p x \mathbb{F}_px Fpx 中 n n n 次不可约多项式。

4.3 商构造的普遍形式：泛代数的视角

在泛代数中，一个代数结构（群、环、模、格等）被定义为一个集合配备一族运算（满足某些公理）。同余关系 是与所有运算兼容的等价关系。商代数是商集配以诱导的运算。

定理4.8（泛代数的第一同构定理） 设 φ : A → B \varphi: \mathbf{A} \to \mathbf{B} φ:A→B 是同态。则 ker ⁡ φ = { ( a , a ′ ) : φ ( a ) = φ ( a ′ ) } \ker\varphi = \{(a, a') : \varphi(a) = \varphi(a')\} kerφ={(a,a′):φ(a)=φ(a′)} 是 A \mathbf{A} A 上的同余关系，且 A /  ⁣ ⁣ ker ⁡ φ ≅ im ⁡ φ \mathbf{A}/\!\!\ker\varphi \cong \operatorname{im}\varphi A/kerφ≅imφ。

定理4.9（同构定理的推广） 第二和第三同构定理在任意泛代数中成立（在适当的同余关系条件下）。