高联预赛中的高斯函数问题

类型1: 解高斯方程或求解

1 (2016年湖南赛区预赛·7) 规定: 对于 x∈Rx\in \mathbb{R}x∈R, 当且仅当 n≤x<n+1n\le x<n+1n≤x<n+1 (n∈N∗n\in N^{*}n∈N∗) 时, $x$ =n\left $x\\right$ =n $x$ =n. 则不等式 4 $x$ 2−36 $x$ +45≤04\left $x\\right$ ^{2}-36\left $x\\right$ +45\le04 $x$ 2−36 $x$ +45≤0 的解集是______.

2 (2020年福建赛区预赛·3) 已知 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过xxx的最大整数, 集合 A={x∣x2−x−6<0},B={x∣2x2−3 $x$ −5=0}A= \{ x|x^{2}-x-6<0\}, B=\{ x|2x^{2}-3\left $x\\right$ -5=0\}A={x∣x2−x−6<0},B={x∣2x2−3 $x$ −5=0}, 则 A∩B=A\cap B=A∩B=______.

3 (2019年内蒙古赛区预赛·5) 方程 x2−8 $x$ +7=0x^{2}-8\left $x\\right$ +7=0x2−8 $x$ +7=0 的解集为______.

4 (2013年福建赛区预赛·7) 方程 sin⁡πx= $x2−\[x2$ +12]\sin\pi x=\left $\\frac{x}{2}-\\left\[\\frac{x}{2}\\right$ +\frac{1}{2}\right]sinπx= $2x−\[2x$ +21] 在区间 $0,2π$ \left $0, 2\\pi\\right$ $0,2π$ 内的所有实根之和为______. (符号 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过 xxx 的最大整数)

类型二: 求值

5 (2010年贵州赛区预赛·2) 设 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过xxx的最大整数, 则 $lg1$ + $lg2$ + $lg3$ +⋯+ $lg2010$ =\left $\\lg1\\right$ +\left $\\lg2\\right$ +\left $\\lg3\\right$ +\cdots+\left $\\lg2010\\right$ = $lg1$ + $lg2$ + $lg3$ +⋯+ $lg2010$ =______.

6 (2011年贵州赛区预赛·1) 设 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过xxx的最大整数, 则 $sin1$ + $cos2$ + $tan3$ + $sin4$ + $cos5$ + $tan6$ =\left $\\sin1\\right$ +\left $\\cos2\\right$ + \left $\\tan3\\right$ +\left $\\sin4\\right$ +\left $\\cos5\\right$ +\left $\\tan6\\right$ = $sin1$ + $cos2$ + $tan3$ + $sin4$ + $cos5$ + $tan6$ =______.

7 (2013年甘肃赛区预赛·10) 设 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过xxx的最大整数, 则 ∑k=02013 $2013+2k2k+1$ =\sum_{k=0}^{2013}\left $\\frac{2013+2\^{k}}{2\^{k+1}}\\right$ =∑k=02013 $2k+12013+2k$ =______.

8 (2008年天津赛区预赛·10) 设 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过xxx的最大整数, 则 ∑k=12008 $2008k2009$ \sum_{k=1}^{2008}\left $\\frac{2008k}{2009}\\right$ ∑k=12008 $20092008k$ 的值是______.

9 (2012年河南赛区预赛·8) 记 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过实数 xxx 的最大整数, 则 $log21$ + $log22$ +⋯+ $log22012$ =\left $\\log_{2}1\\right$ +\left $\\log_{2}2\\right$ +\cdots+\left $\\log_{2}2012\\right$ = $log21$ + $log22$ +⋯+ $log22012$ =______.

10 (2014年河南赛区预赛·7) 符号 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过 xxx 的最大整数, nnn 为正整数, 则 ∑n=12014( $n2$ + $n3$ + $n6$ )=\sum_{n=1}^{2014}\left (\left $\\frac{n}{2}\\right$ +\left $\\frac{n}{3}\\right$ +\left $\\frac{n}{6}\\right$ \right)=∑n=12014( $2n$ + $3n$ + $6n$ )=______.

类型三: 平面区域与高斯函数

11 (2016年浙江赛区预赛·8) 记 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过实数 xxx 的最大整数. 若集合 S={(x,y)∣∣ $x+y$ ∣+∣ $x-y$ ∣≤1}S= \{\left (x, y\right)||\left $x+y\\right$ |+|\left $x-y\\right$ |\le1\}S={(x,y)∣∣ $x+y$ ∣+∣ $x-y$ ∣≤1}, 则集合 SSS 所表示的平面区域的面积为 ().

A. 52\frac{5}{2}25

B. 333

C. 92\frac{9}{2}29

D. 444

12 (2011年甘肃赛区预赛·8) 设 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过实数 xxx 的最大整数, 则在平面上, 由满足 $x$ 2+ $y$ 2=50\left $x\\right$ ^{2}+\left $y\\right$ ^{2}=50 $x$ 2+ $y$ 2=50 的点所形成的图形的面积为______.

13 (2012年新疆赛区预赛·2) 设 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过实数 xxx 的最大整数值, 则在平面直角坐标系 xOyxOyxOy 中, 满足 $x$ ⋅ $y$ =2013\left $x\\right$ ·\left $y\\right$ =2013 $x$ ⋅ $y$ =2013 的所有点 (x,y)\left (x, y\right)(x,y) 组成的图形的面积为______.

类型四: 数列与高斯函数

14 (2016年贵州赛区预赛·10) 已知 x>0x>0x>0, 且 x, $x$ ,x− $x$ x, \left $x\\right$ , x -\left $x\\right$ x, $x$ ,x− $x$ 成等比数列 ( $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过 xxx 的最大整数), 则 x=x=x=______.

15 (2010年山西赛区预赛·3) 设 an=1×2+2×3+⋯+n(n+1)a_{n}=\sqrt{1×2}+\sqrt{2×3}+\cdots+\sqrt{n\left (n+1\right)}an=1×2 +2×3 +⋯+n(n+1) , 则 $2ann$ =\left $\\frac{2a_{n}}{n}\\right$ = $n2an$ =______. ( $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过实数 xxx 的最大整数)

16 (2016年河北赛区预赛·8) 数列 {an}\{ a_{n}\}{an} 满足 a1=13a_{1}=\frac{1}{3}a1=31, 且对于任意 n∈N∗,an+1=an2+ann\in \mathbf{N^{*}}, a_{n+1} =a_{n}^{2}+a_{n}n∈N∗,an+1=an2+an, 则 ∑n=120161an+1\sum \limits_{n=1}^{2016}\frac{1}{a_{n}+1}n=1∑2016an+11 的整数部分是______.

17 (2011年福建赛区预赛·9) 对正整数 nnn, 设 xnx_{n}xn 是关于 xxx 的方程 nx3+2x−n=0nx^{3}+2x-n=0nx3+2x−n=0 的实数根, 记 an= $(n+1)xn$ (n=2,3,⋯ )a_{n}=\left $\\left (n+1\\right)x_{n}\\right$ \left (n=2, 3, \cdots\right)an= $(n+1)xn$ (n=2,3,⋯), 其中 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过实数 xxx 的最大整数. 则 11005(a2+a3+a4+⋯+a2011)=\frac{1}{1005}\left (a_{2}+a_{3}+a_{4}+\cdots+a_{2011}\right)=10051(a2+a3+a4+⋯+a2011)=______.

类型五: 个数问题

18 (2017年湖南赛区预赛·4) 对任意正整数 nnn 与 k(k≤n)k\left (k\le n\right)k(k≤n), 用 f(n,k)f\left (n, k\right)f(n,k) 表示不超过 $nk$ \left $\\frac{n}{k}\\right$ $kn$ 且与 nnn 互质的正整数的个数 (其中 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过 xxx 的最大整数), 则 f(100,3)=f\left (100, 3\right)=f(100,3)= ().

A. 111111

B. 131313

C. 141414

D. 191919

19 (2015年辽宁赛区预赛·1) 设 a=∑i=124 $i$ a=\sum_{i=1}^{24}\left $\\sqrt{i}\\right$ a=∑i=124 $i$ , 其中 $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过 xxx 的最大整数, 集合 A={x∣x∈N∗,x∣a}A=\{ x|x\in N^{*}, x|a\}A={x∣x∈N∗,x∣a}, 则 AAA 中元素的个数是 ().

A. 444

B. 666

C. 888

D. 121212

类型六: 二项式定理与高斯函数

20 (2015年新疆赛区预赛·1) 对于任意实数xxx, $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过xxx的最大整数, {x}\{ x\}{x} 表示xxx的小数部分, 则 {20142015}+{201422015}+⋯+{201420142015}=\left \{ \frac{2014}{2015}\right \}+\left \{ \frac{2014^{2}}{2015}\right \}+\cdots+\left \{ \frac{2014^{2014}}{2015}\right \}={20152014}+{201520142}+⋯+{201520142014}=______.

21 (2014年福建赛区预赛·9) A= $89$ + $829$ +⋯+ $820149$ A=\left $\\frac{8}{9}\\right$ +\left $\\frac{8\^{2}}{9}\\right$ +\cdots+\left $\\frac{8\^{2014}}{9}\\right$ A= $98$ + $982$ +⋯+ $982014$ 被 636363 除的余数为 ______. ( $x$ \left $x\\right$ $x$ 表示不超过实数xxx的最大整数)

22 (2019年新疆赛区预赛·6) 记 $x$ \left $x\\right$ $x$ 为不超过实数 xxx 的最大整数. 若 A= $78$ + $728$ +⋯+ $720198$ + $720208$ A=\left $\\frac{7}{8}\\right$ + \left $\\frac{7\^{2}}{8}\\right$ +\cdots+\left $\\frac{7\^{2019}}{8}\\right$ +\left $\\frac{7\^{2020}}{8}\\right$ A= $87$ + $872$ +⋯+ $872019$ + $872020$ , 则 AAA 除以 505050 的余数为______.