一、研究背景与痛点
- 工程刚需
亚声速 / 超声速 / 高超声速飞行器表面是可压缩湍流边界层，壁面摩擦阻力、气动加热（表面热流）直接决定飞行器载荷、热防护设计；仿真核心依赖近壁无量纲速度(u+)、温度(T+)剖面精准预测。
不可压缩湍流存在成熟对数律，但可压缩流动下密度、粘度、温度沿法向剧烈变化，原始对数律完全失效。
图一说明：左半部分为可压缩湍流边界层瞬时流场灰度云图，横坐标流向x、法向(y/\delta_{99})；红色实线为无量纲平均速度(\bar{u}/u_\tau)剖面，蓝色实线为无量纲温度((T_w-\bar{T})/T_\tau)剖面；右侧子图是(y^+)对数坐标下的平均剖面，实线代表真实可压缩剖面，虚线为传统不可压缩对数律，直观体现可压缩效应下速度、温度剖面严重偏离经典壁面对数律，是本文研究要解决的核心矛盾。
2. 传统解决方案：可压缩变换理论
核心思路：通过数学变换，把可压缩真实剖面映射到等效不可压缩坐标系，让变换后的曲线满足标准壁面对数律，以此计算摩阻、换热。
现有经典模型：
速度变换：HLPP 模型、GFM 模型；
温度变换：ST、TL-T 模型。
3. 现有模型致命缺陷
1、适用范围窄：高马赫数、强壁面冷却（高超飞行器典型工况）误差急剧放大；
2、分区割裂：底层粘性区、对数区、外层边界层无法用统一公式描述；
3、理论闭合瓶颈：对数层湍流输运耦合密度脉动，传统量纲分析、理论推导很难推导出普适映射函数；
4、温度预测依赖边界层外缘参数：工程 CFD 中外缘速度 / 温度测量、计算存在误差时，温度预测精度大幅崩塌。
4. 现有方法短板总结
纯理论推导难以兼顾全马赫数、全壁温边界；纯数据拟合无物理约束，泛化差、无可解释性。
本文创新思路：先搭建带物理约束的混合变换框架，再用嵌入流体先验知识的符号学习挖掘闭合函数，兼顾物理一致性与数据拟合精度。
二、核心方法论（两大模块：物理混合变换框架 + 物理嵌入符号学习）
模块 1：全边界层混合速度 / 温度变换物理框架
传统变换仅适配粘性底层，对数区偏差大。本文重构混合型变换，统一覆盖粘性底层、过渡层、对数层：
1、速度变换改进点
引入内在可压缩效应修正项，保证粘性底层在不同马赫数下标度自洽；
混合加权粘性应力、雷诺应力，自动分区适配底层 / 对数区；
2、温度变换改进点
选用马赫数不变函数作为底层基准变换；
抛弃传统 "温度 - 速度代数耦合" 思路，独立构建温度变换方程，不再依赖边界层外缘参数。
框架只给出通用函数形式，但对数区核心映射函数F无法理论推导，因此引入符号学习从 DNS 数据挖掘最优F。
模块 2：物理嵌入符号学习算法（自研 DISCOVER 模型改进）
普通机器学习（神经网络）是黑箱，得到的公式无流体物理意义，难以用于湍流模型；符号学习直接输出显式解析函数，可嵌入 RANS/LES/Fluent 壁面函数。
图二分 (a)(b) 两部分：
(a) 函数编码逻辑：将解析函数拆解为二叉树结构，遍历二叉树得到标准化符号序列，实现数学公式向机器可识别数据的转换；
(b) 完整强化学习寻优流程：
1、输入带流体物理约束的符号库（仅保留马赫数、密度、粘性等湍流无量纲量）；
2、LSTM 智能体批量生成候选映射函数；
3、候选函数代入前文搭建的混合变换框架，用 DNS 数据计算拟合误差，转化为奖励值；
4、结合最大熵 + 风险探索策略更新 LSTM 参数，多轮迭代后输出最优解析映射函数；
下方子图展示物理嵌入约束细节：在符号采样阶段区分全局、局部流动信息，通过物理约束修正概率分布，避免生成无物理意义的函数。
完整流程：
1、物理约束构建符号库
不使用无意义数学算子，仅保留可压缩湍流相关无量纲量（马赫数、密度比、粘性比、(y^+)等），从源头限制搜索空间，避免无物理意义解；
2、符号树编码
将候选映射函数转为二叉树→符号序列，方便 LSTM 智能体迭代生成；
3、强化学习迭代寻优
LSTM Agent 批量生成候选映射函数；
代入混合变换框架，用 DNS 数据集计算剖面拟合误差，转化为奖励值；
结合最大熵 + 风险探索策略更新智能体，平衡局部最优与全局搜索；
4、输出最优解析映射函数 + 多组次优解，方便机理分析。
核心优势：物理先验嵌入搜索全过程，挖掘出的变换公式自带可压缩湍流物理含义，区别于纯数据黑箱模型。
三、模型验证结果
测试参数范围
马赫数(Ma=0.5\sim8)（亚声速→高超声速），壁温比(T_w/T_e=0.25\sim1)，覆盖绝大多数航空航天工况，基于高精度可压缩平板 DNS 数据库验证。
混合速度变换对比结果
图三 (a)(b) 为剖面曲线对比：高马赫、强冷却工况下，传统 HLPP、GFM 模型曲线与 DNS 基准存在明显偏离，本文 HT-u 模型和 DNS 几乎重合；
图三 ©(d) 为全局误差统计：横坐标分别为马赫数Ma、埃克特数倒数(-1/Ec)，纵坐标为速度预测误差(\epsilon_u)，绿色 HLPP、蓝色 GFM 误差显著高于橙色本文 HT-u 模型，全参数区间误差稳定最低。定量误差（速度场）
HLPP：4.98%；GFM：1.67%；本文新变换：0.96%
2. 混合温度变换对比结果
图四 (a) 为多马赫数、多壁温比下(T+)-(y+)剖面，绿色 ST、紫色 TL-T、蓝色 HT-T 传统模型与黑色 DNS 基准偏差大，红色本文 HT-T 曲线贴合 DNS；
图四 (b) 为温度误差(\epsilon_T)随马赫数分布，圆形 ST、方形 TL-T 误差高出一个数量级，五角星本文 HT-T 全马赫数下误差最小。
定量误差（温度场）
ST：11.02%；TL-T：5.76%；本文新变换：2.97%
高超声速、强壁冷却工况下，传统模型误差暴涨，本文方法精度提升幅度最显著。
配套预测模型（工程落地价值）
基于新混合变换搭建完整剖面预测流程：
图五完整预测逻辑
1、仅输入壁面参数(M_\tau、B_q)，无需边界层外缘参数；
2、生成均匀(y^+)网格，初始化壁面无量纲参数；
3、对每个法向网格点迭代求解：通过理想气体、萨瑟兰粘度定律更新物性，计算半局部坐标，正反变换求解速度、温度；
4、迭代至温度收敛阈值后输出全域(u+(y+)、T+(y+))剖面。
核心工程优势：
1、仅输入壁面参数（无需边界层外缘速度、温度）即可求解全域(u+)、(T+)；
2、对照组缺陷：传统模型依赖外缘参数，外缘数据存在 10% 误差时，温度预测完全失真；本文模型不受外缘参数干扰，鲁棒性极强。
四、科学创新点总结
1、理论创新
构建兼顾粘性底层 + 对数区的统一混合速度 / 温度变换，引入内在可压缩修正项，解决跨马赫数标度不一致问题；独立温度变换摆脱对外缘流动参数依赖。
2、方法创新
首创物理嵌入符号学习用于可压缩壁湍流建模：将 CFD 先验物理约束植入符号学习搜索空间，自动生成可解释、可直接用于 CFD 求解器的解析变换式，打通 "DNS 数据→湍流理论→工程模型" 链路。
3、性能创新
在亚声速到高超全区间、强冷却极端条件下，速度、温度预测误差全面优于国际经典可压缩变换模型。
4、交叉创新
融合 AI 符号回归与传统湍流理论，提供一套解决 "湍流模型理论闭合困难" 的通用范式，不只局限边界层变换。