基于时间步进导向的神经网络求解高雷诺数壁湍流问题
Solving parametric high-Reynolds-number wall-bounded turbulence around airfoils governed by Reynolds-averaged Navier--Stokes equations using time-stepping-oriented neural network
曹文博a,b,c, 单湘淋a,b, 唐诗翔c, 欧阳万里c, 张伟伟a,b,d,*
a.西北工业大学 航空学院，西安 710072
b.西北工业大学 流体力学智能化国际联合研究所，西安 710072
c.上海人工智能实验室，上海 200232
d.飞行器基础布局全国重点实验室，西安 710072
引用格式：W. Cao, X. Shan, S. Tang, W. Ouyang, W. Zhang. Solving parametric high-Reynolds-number wall-bounded turbulence around airfoils governed by Reynolds-averaged Navier--Stokes equations using time-stepping-oriented neural network, Physics of Fluids, 37 (2025).
编者按
PINNs 在求解高雷诺数问题时仍面临显著挑战，尤其是在处理壁湍流的复杂流动特性方面。这项研究基于之前提出的 TSONN 方法和网格变换策略，进一步改进和优化，成功求解了高雷诺数下的壁湍流问题，展示了方法在复杂流动模拟中的潜力和有效性。
摘要
物理信息神经网络(PINNs)近年来已成为求解偏微分方程(PDE)相关正反问题的新流行方法。但在求解具有多尺度现象的高雷诺数流动时仍面临严重挑战。我们之前的工作中提出了时间步进导向的神经网络(TSONN)，它将PINNs的病态优化问题转化为一系列良性子问题，成功求解了5000雷诺数的三维机翼层流绕流问题。在本文中，我们将TSONN扩展到由雷诺平均纳维-斯托克斯(RANS)方程和Spalart-Allmaras(SA)湍流模型控制的高雷诺数壁湍流问题。具体来说，我们提出了一种半耦合策略用于解决湍流模型引起的收敛性问题。该策略仅在外迭代中更新湍流模型中的某些项，而在内部迭代中冻结这些项，从而避免它们过大的梯度影响网络优化。利用这一策略，我们成功求解了翼型湍流绕流问题。此外，我们还求解了迎角相关的参数化问题。结果表明，使用TSONN解决该参数化问题的计算成本与求解单个流动问题的计算成本基本相当，凸显了其在参数化问题求解中的效率。据我们所知，这是首次使用PINN类方法来求解耦合复杂湍流模型的RANS方程，为流体相关工程问题铺平了道路。
方法
TSONN方法将原始方程分解为一系列隐式伪时间步进方程，从而将病态优化问题转化为一系列良态子优化问题。
算法1提供了TSONN的一个具体实现，其中 是湍流模型的半耦合策略，将在之后介绍。
由于湍流模型中涉及大量经验性的项，它们的梯度可能出现过大的值，从而影响收敛。为确保方程被正确编码且算法实现稳健收敛，我们提出了一种湍流模型的半耦合策略。该策略涉及在TSONN的外迭代中计算湍流模型中某些项的值，同时在内层迭代期间保持它们的值不变，从而防止它们的梯度对网络优化产生不利影响。数值实验表明，SA模型中的 项显著阻碍了网络优化。因此，我们将半耦合方法应用于 ，详见算法1。此外，基于传统数值方法的经验观察，湍流模型（方程）的残差往往比其他方程大几个数量级。因此，我们引入一个权重 来缩放湍流模型的残差，用于平衡不同方程的收敛。
此外，我们使用了网格变换技术，使用神经网络在均匀的计算空间而不是物理空间中学习流动。网格变换用于放大边界层区域，从而帮助求解高雷诺数壁湍流。
结果
我们考虑NACA0012翼型的湍流绕流问题，其中 。在所有情况下都使用了半耦合策略，否则训练将很快发散并遇到NaN错误。图1给出了使用或者不使用网格变换时的误差收敛曲线，其中误差是壁面压力系数分布的相对 误差。我们观察到，虽然没有网格变换也可以获得一定的收敛，但是收敛速度非常慢，最终误差停滞在10％左右。相反，使用网格变换后，误差迅速降低到3％。图2和图3给出了收敛后的速度、压力和涡粘性的云图。我们观察到使用了网格变换的结果与参考解更加一致，特别是涡粘性结果，表明湍流模型得到了正确求解。
图1. NACA0012翼型流场求解的收敛曲线
图2.TSONN得到的速度和压力云图(a)使用网格变换，(b)不使用网格变换。其中黑色实线为参考解的云图
图3.TSONN得到的涡粘性云图
图4给出了壁面压力系数分布和摩擦阻力系数分布，我们观察到压力系数与参考解完全一致，但摩擦阻力仍然存在显著误差，因为它与边界层底部的速度梯度有关。为了进一步分析摩擦阻力的误差来源，我们展示了使用网格变换的TSONN获得的翼型上表面各个位置的速度型（图5）。我们观察到机翼前缘附近的预测速度分布与参考解一致，这与图4中在前缘观察到的小误差一致。然而，在其他位置，边界层内仍然存在显著的速度误差，最终导致显著的摩擦阻力系数误差。在边界层之外，模型的预测与参考解高度一致，与图2和图3中的观察结果一致。
图4.TSONN得到的Re=105时(a)壁面压力系数分布和(b)壁面摩擦阻力系数分布
图5.翼型上表面不同位置的速度型
我们组在PINNs改进和应用中的系列工作整理如下，欢迎大家关注：
1 J. Song, W. Cao, W. Zhang, FD-PINN:\nFrequency domain physics-informed neural network, 力学学报,\n55 (2023) 1195-1205. （PINNs结合傅里叶变换）
2 J. Song, W. Cao, F. Liao, W. Zhang,\nVW-PINNs: A volume weighting method for PDE residuals in physics-informed\nneural networks, Acta Mechanica Sinica, 41 (2025) 324140. （PINNs的体积加权策略，该策略应用于我们组之后所有的绕流问题求解中）
3 W. Cao, J. Song, W. Zhang, A solver for\nsubsonic flow around airfoils based on physics-informed neural networks and\nmesh transformation, Physics of Fluids, 36 (2024). （PINNs的网格变换策略）
4 W. Cao, J. Song, W. Zhang, Solving\nhigh-dimensional parametric engineering problems for inviscid flow around\nairfoils based on physics-informed neural networks, Journal of Computational\nPhysics, 516 (2024) 113285. （PINNs结合网格变换求解无粘翼型绕流的高维参数化问题）
5 W. Cao, W. Zhang, TSONN:\nTime-stepping-oriented neural network for solving partial differential\nequations, arXiv preprint arXiv:2310.16491, (2023). （TSONN方法，预印本）
6 W. Cao, W. Zhang, An analysis and solution\nof ill-conditioning in physics-informed neural networks, Journal of\nComputational Physics, 520 (2025) 113494. （PINNs病态分析与TSONN方法）
7 W. Cao, X. Shan, S. Tang, W. Ouyang, W.\nZhang, Solving parametric high-Reynolds-number wall-bounded turbulence around\nairfoils governed by Reynolds-averaged Navier--Stokes equations using\ntime-stepping-oriented neural network, Physics of Fluids, 37 (2025). （TSONN方法结合网格变换求解高雷诺数流动）
8 W. Cao, S. Tang, Q. Ma, W. Ouyang, W.\nZhang, Solving all laminar flows around airfoils all-at-once using a parametric\nneural network solver, arXiv preprint arXiv:2501.01165, (2025). （TSONN方法结合网格变换求解层流翼型绕流的高维参数化问题，训练得到的模型在非常大的参数空间内有较强泛化能力）
原文链接：
POF | 西工大曹文博、张伟伟等：基于时间步进导向的神经网络求解高雷诺数壁湍流问题
注：文章由作者原创供稿，并获得作者授权发布。