一阶低通滤波器系数的两种计算方法

在单片机控制程序中，经常能看到下面这种一阶低通滤波器：

y += alpha * (x - y);

它也可以写成离散差分方程：
$$y$$k=(1−α)yk−1+αxkyk=(1-\alpha)yk-1+\alpha xk yk=(1−α)yk−1+αxk

其中：

• $x$kxk xk 是当前采样值；
• $y$kyk yk 是当前滤波输出；
• $\alpha \backslash alpha$ α 是滤波系数，通常满足 0<α≤1。

$\alpha \backslash alpha$ α 越小，滤波越强，但响应越慢； $\alpha =1\backslash alpha=1$ α=1 时输出完全等于输入，相当于没有滤波。

工程中常见两种根据截止频率计算 $\alpha \backslash alpha$ α 的方法：

1. 指数映射法，即精确匹配连续系统的时间常数；
2. 后向欧拉法，即将连续微分方程做数值离散化。

两种方法都来自同一个连续一阶低通模型，只是离散化方式不同。

1. 连续一阶低通模型

模拟RC低通滤波器满足：
$$\tau \; dydt\; +y=x\; \backslash tau\backslash frac\{dy\}\{dt\}+y=x$$ τdtdy+y=x

整理为：
$$dydt\; =\; x-y\tau \; \backslash frac\{dy\}\{dt\}=\backslash frac\{x-y\}\{\backslash tau\}$$ dtdy=τx−y

其中 $\tau \backslash tau$ τ 是滤波器时间常数。时间常数与截止频率的关系为：
$$\tau =\; 1\; 2\pi fc\; \backslash tau=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; f\_c\}$$ τ=2πfc1

这里 $fc\; f\_c$ fc 的单位是Hz。公式中出现 $2\pi 2\backslash pi$ 2π，是因为微分方程使用角频率：
$$\omega c=2\pi fc\; \backslash omega\_c=2\backslash pi\; f\_c$$ ωc=2πfc

采样周期和采样频率的关系为：
$$Ts=\; 1fs\; T\_s=\backslash frac\{1\}\{f\_s\}$$ Ts=fs1

2. 方法一：指数映射法

假设一个采样周期内输入 $xx$ x 保持不变，定义输入与输出之间的误差：
$$e=x-ye=x-y$$ e=x−y

一阶系统的误差会按照指数规律衰减：
$$e(t+Ts)=e(t)e\; -Ts/\tau \; e(t+T\_s)=e(t)e^\{-T\_s/\backslash tau\}$$ e(t+Ts)=e(t)e−Ts/τ

因此，一个采样周期后的输出为：
$$y$$k=xk+(yk−1−xk)e −Ts/τ yk=xk+\left(yk-1-xk\right)e^{-T_s/\tau} yk=xk+(yk−1−xk)e−Ts/τ

整理得到：
$$y$$k=yk−1+(1−e −Ts/τ )(xk−yk−1)yk=yk-1+\left(1-e^{-T_s/\tau}\right) \left(xk-yk-1\right) yk=yk−1+(1−e−Ts/τ)(xk−yk−1)

与标准代码形式对比：

y += alpha * (x - y);

可以得到：
$$\alpha =1-e\; -Ts/\tau \; \backslash boxed\{\backslash alpha=1-e^\{-T\_s/\backslash tau\}\}$$ α=1−e−Ts/τ

代入 $Ts=1/fs\; T\_s=1/f\_s$ Ts=1/fs 和 $\tau =1/(2\pi fc)\backslash tau=1/(2\backslash pi\; f\_c)$ τ=1/(2πfc)：
$$\alpha =1-e\; -2\pi fc/fs\; \backslash boxed\{\backslash alpha=1-e^\{-2\backslash pi\; f\_c/f\_s\}\}$$ α=1−e−2πfc/fs

从极点角度理解

连续一阶低通的极点是：
$$s=-2\pi fcs=-2\backslash pi\; f\_c$$ s=−2πfc

经过采样后，连续极点映射到离散域：
$$z=e\; sTs\; =e\; -2\pi fc/fs\; z=e^\{sT\_s\}=e^\{-2\backslash pi\; f\_c/f\_s\}$$ z=esTs=e−2πfc/fs

而差分方程的离散极点是 $z=1-\alpha z=1-\backslash alpha$ z=1−α，所以：
$$1-\alpha =e\; -2\pi fc/fs\; 1-\backslash alpha=e^\{-2\backslash pi\; f\_c/f\_s\}$$ 1−α=e−2πfc/fs

最终仍然得到相同结果。

这种方法精确保持了连续系统的极点和时间常数，因此也常被称为精确极点映射或零阶保持离散化。

3. 方法二：后向欧拉法

从同一个连续微分方程出发：
$$dydt\; =\; x-y\tau \; \backslash frac\{dy\}\{dt\}=\backslash frac\{x-y\}\{\backslash tau\}$$ dtdy=τx−y

使用后向差分近似导数：
$$y$$k−yk−1Ts = xk−ykτ \frac{yk-yk-1}{T_s}=\frac{xk-yk}{\tau} Tsyk−yk−1=τxk−yk

注意右侧使用的是当前输出 $y$kyk yk，这正是"后向欧拉"名称的来源。

整理方程：
$$y$$k= τ Ts+τ yk−1+ Ts Ts+τ xkyk=\frac{\tau}{T_s+\tau}yk-1 +\frac{T_s}{T_s+\tau}xk yk=Ts+ττyk−1+Ts+τTsxk

写成标准滤波形式：
$$y$$k=yk−1+α(xk−yk−1)yk=yk-1+\alpha\left(xk-yk-1\right) yk=yk−1+α(xk−yk−1)

得到：
$$\alpha =\; Ts\; Ts+\tau \; \backslash boxed\{\backslash alpha=\backslash frac\{T\_s\}\{T\_s+\backslash tau\}\}$$ α=Ts+τTs

代入采样频率和截止频率：
$$\alpha =\; 2\pi fc\; fs+2\pi fc\; \backslash boxed\{\; \backslash alpha=\backslash frac\{2\backslash pi\; f\_c\}\{f\_s+2\backslash pi\; f\_c\}\; \}$$ α=fs+2πfc2πfc

也可以定义：
$$r=\; 2\pi fc\; fs\; r=\backslash frac\{2\backslash pi\; f\_c\}\{f\_s\}$$ r=fs2πfc

于是：
$$\alpha =\; r1+r\; \backslash alpha=\backslash frac\{r\}\{1+r\}$$ α=1+rr

后向欧拉法属于近似离散化，但它有一个重要优点：对于正的时间常数，计算得到的 $\alpha \backslash alpha$ α 始终处于0到1之间，数值稳定性很好。

4. 两种方法为什么很接近

令：
$$r=\; 2\pi fc\; fs\; r=\backslash frac\{2\backslash pi\; f\_c\}\{f\_s\}$$ r=fs2πfc

指数映射法为：
$$\alpha exp\; =1-e-r\; \backslash alpha\_\{exp\}=1-e^\{-r\}$$ αexp=1−e−r

后向欧拉法为：
$$\alpha BE\; =\; r1+r\; \backslash alpha\_\{BE\}=\backslash frac\{r\}\{1+r\}$$ αBE=1+rr

当截止频率远低于采样频率，即 $r\ll 1r\backslash ll1$ r≪1 时，可以做级数展开：
$$1-e-r=r-r22+\cdots 1-e^\{-r\}=r-\backslash frac\{r^2\}\{2\}+\backslash cdots$$ 1−e−r=r−2r2+⋯
$$r1+r\; =r-r2+\cdots \; \backslash frac\{r\}\{1+r\}=r-r^2+\backslash cdots$$ 1+rr=r−r2+⋯

两者的一阶项完全相同：
$$\alpha \approx \; 2\pi fc\; fs\; \backslash boxed\{\backslash alpha\backslash approx\backslash frac\{2\backslash pi\; f\_c\}\{f\_s\}\}$$ α≈fs2πfc

所以，当 $fc\; f\_c$ fc 远低于 $fs\; f\_s$ fs 时，两种方法的实际差别很小。截止频率越接近采样频率，两种离散化方法的差别才会逐渐明显。

5. 数值计算示例

假设：
$$fs=20000\; Hz,fc=100\; Hz\; f\_s=20000\backslash text\{\; Hz\},\backslash qquad\; f\_c=100\backslash text\{\; Hz\}$$ fs=20000 Hz,fc=100 Hz

指数映射法

$$\alpha exp\; =1-e-2\pi \times 100/20000\approx 0.03093\; \backslash alpha\_\{exp\}\; =1-e^\{-2\backslash pi\backslash times100/20000\}\; \backslash approx0.03093$$ αexp=1−e−2π×100/20000≈0.03093

后向欧拉法

$$\alpha BE\; =\; 2\pi \times 10020000+2\pi \times 100\; \approx 0.03046\; \backslash alpha\_\{BE\}\; =\backslash frac\{2\backslash pi\backslash times100\}\{20000+2\backslash pi\backslash times100\}\; \backslash approx0.03046$$ αBE=20000+2π×1002π×100≈0.03046

两者相差约1.5%，在大多数电机控制滤波场景中几乎没有明显区别。

6. 20kHz采样时的参数对比

截止频率	指数映射法	后向欧拉法	相对差异
20Hz	0.006263	0.006244	0.31%
23.5Hz	0.007356	0.007329	0.37%
30Hz	0.009381	0.009337	0.47%
50Hz	0.015585	0.015465	0.77%
100Hz	0.030928	0.030459	1.51%
200Hz	0.060899	0.059117	2.92%
500Hz	0.145364	0.135755	6.61%
1kHz	0.269597	0.239057	11.33%

可以看到，在20kHz采样、几十到几百赫兹截止频率的情况下，两种方法结果非常接近。

7. C语言实现

#include <math.h>

#define PI_F 3.14159265358979323846f

/* 方法一：指数映射，精确匹配连续时间常数 */
static float lpf_alpha_exponential(float cutoff_hz, float sample_hz)
{
    return 1.0f - expf(-2.0f * PI_F * cutoff_hz / sample_hz);
}

/* 方法二：后向欧拉，计算简单且稳定 */
static float lpf_alpha_backward_euler(float cutoff_hz, float sample_hz)
{
    float r = 2.0f * PI_F * cutoff_hz / sample_hz;
    return r / (1.0f + r);
}

/* 一阶低通滤波器 */
static float lpf_update(float input, float previous_output, float alpha)
{
    return previous_output + alpha * (input - previous_output);
}

alpha 应在初始化阶段计算一次，不建议在高频中断中反复调用 expf()。

如果采样频率和截止频率都是固定常量，也可以提前计算好系数：

#define CURRENT_LPF_ALPHA 0.03093f   /* fs=20kHz, fc=100Hz, 指数映射 */

8. 应该选择哪一种

优先选择指数映射法的情况

• 希望准确保持连续系统的时间常数；
• 希望连续极点和离散极点严格对应；
• 参数在初始化阶段计算，计算量不是问题。

公式为：
$$\alpha =1-e\; -2\pi fc/fs\; \backslash boxed\{\backslash alpha=1-e^\{-2\backslash pi\; f\_c/f\_s\}\}$$ α=1−e−2πfc/fs

可以选择后向欧拉法的情况

• 希望计算形式简单；
• 需要始终保证 0<α<1；
• 截止频率远低于采样频率；
• 希望沿用常见的数字RC滤波写法。

公式为：
$$\alpha =\; 2\pi fc\; fs+2\pi fc\; \backslash boxed\{\backslash alpha=\backslash frac\{2\backslash pi\; f\_c\}\{f\_s+2\backslash pi\; f\_c\}\}$$ α=fs+2πfc2πfc

复刻既有控制器时

如果目标是复刻原控制器，应优先保留原始系数。例如YKD3505M中的滤波系数：
$$\alpha =24132768=0.0073547\; \backslash alpha=\backslash frac\{241\}\{32768\}=0.0073547$$ α=32768241=0.0073547

在20kHz采样频率下，按照指数映射反算，对应时间常数频率约为23.5Hz。此时应先保持原系数验证整体算法，再根据新硬件和电机响应调整。

9. 一个容易忽略的严谨性问题

上面两种公式的 $fc\; f\_c$ fc 都来自连续RC模型。指数映射法精确保持连续系统的时间常数，后向欧拉法近似保持连续系统的动态特性。

当 $fc\ll fs\; f\_c\backslash ll\; f\_s$ fc≪fs 时，离散滤波器实际的-3dB频率与目标值几乎一致；当截止频率已经接近采样频率时，这种近似会出现明显偏差。此时如果必须精确控制数字域的-3dB频率，应按照离散频率响应直接求系数，或者使用双线性变换设计IIR滤波器，而不应继续使用低频近似。

总结

两种系数计算方法并不矛盾：
$$\alpha =1-e\; -2\pi fc/fs\; \backslash alpha=1-e^\{-2\backslash pi\; f\_c/f\_s\}$$ α=1−e−2πfc/fs

来自连续一阶系统的精确指数响应；
$$\alpha =\; 2\pi fc\; fs+2\pi fc\; \backslash alpha=\backslash frac\{2\backslash pi\; f\_c\}\{f\_s+2\backslash pi\; f\_c\}$$ α=fs+2πfc2πfc

来自后向欧拉离散化。

当截止频率远低于采样频率时，两者都近似为：
$$\alpha \approx \; 2\pi fc\; fs\; \backslash alpha\backslash approx\backslash frac\{2\backslash pi\; f\_c\}\{f\_s\}$$ α≈fs2πfc

在常见的电机控制场景中，只要明确采样频率、截止频率和使用的离散化方法，两种公式都可以可靠使用。