【数据结构】串的模式匹配（朴素匹配+KMP+nextval）

数据结构｜串的模式匹配（朴素匹配+KMP+nextval）

说明：本文下标从 1 开始

文章目录

• 数据结构｜串的模式匹配（朴素匹配+KMP+nextval）
• • • • [说明：本文下标从 1 开始](#说明：本文下标从 1 开始)
  • 1.基本概念
  • • 子串与模式串的区别：
  • 2.朴素模式匹配算法：
  • • 核心思想
    • 字符匹配失败时
    • 匹配成功
  • 3.KMP算法
  • • 核心思想
    • 时间复杂度
  • 4.next数组的计算
  • • nextj的含义
    • 规则
    • [例1：T = ababaa](#例1：T = ababaa)
    • [例2：T = aaaab](#例2：T = aaaab)
  • 5.KMP算法的进一步优化
  • • nextval数组的计算
    • [例1：T = ababaa](#例1：T = ababaa)
    • [例2：T = aaaab](#例2：T = aaaab)

1.基本概念

模式匹配是指在主串中查找与模式串（待搜索的字符串）完全相同的子串，并返回其首次出现的位置

子串与模式串的区别：

• 子串：是主串的一部分，在主串中一定存在
• 模式串：待搜索的字符串，在主串中不一定存在

2.朴素模式匹配算法：

朴素模式匹配算法的时间复杂度O(mn)

核心思想

逐个对比主串和模式串的字符，如果字符匹配不成功，模式串回溯到第一个位置，主串回溯到本轮起始位置的下一个位置重新匹配，直到找到主串中与模式串完全相同的子串，返回子串起始位置

字符匹配失败时

• i = i - (j - 1) + 1 = i - j + 2
• j = 1

匹配成功

返回模式串在主串中首次出现的位置：return i - T.length;

3.KMP算法

KMP算法是对朴素模式匹配算法的优化

核心思想

匹配失败时i不回退，仅通过预处理得到的next数组调整 j 的位置，避免了重复字符的比较，从而将时间复杂度从O(mn)优化为O(m + n)

时间复杂度

• 预处理next数组 O(m)
• 匹配 O(n)
• 总时间复杂度 O(m + n)

4.next数组的计算

nextj的含义

当模式串的第j个字符失配时，下一轮应从模式串的nextj位置开始比较

规则

• next1 = 0，next2 = 1
• 从模式串的第三个字符开始，next数组的值是模式串中当前字符之前的串的最长公共前后缀的长度+1

例1：T = ababaa

下标	1	2	3	4	5	6
next	0	1	1	2	3	4

next1 = 0, next2 = 1

从模式串的第3个字符 a 开始：

• 第3个字符 a 前面是 "ab"，没有公共前后缀，所以next3 = 0 + 1 = 1
• 第4个字符 b 前面是 "aba"，最长公共前后缀是 "a"，长度是1，所以next4 = 1 + 1 = 2
• 第5个字符 a 前面是 "abab"，最长公共前后缀是 "ab"，长度是2，所以next5 = 2 + 1 = 3
• 第6个字符 a 前面是 "ababa"，最长公共前后缀是 "aba"，长度是3，所以next6 = 3 + 1 = 4

例2：T = aaaab

下标	1	2	3	4	5
next	0	1	2	3	4

next1 = 0, next2 = 1

从模式串的第3个字符 a 开始

• 第3个字符 a 前面是 "aa"，最长公共前后缀是"a"，所以next3 = 1 + 1 = 2
• 第4个字符 a 前面是 "aaa"，最长公共前后缀是 "aa"，长度是2，所以next4 = 2 + 1 = 3
• 第5个字符 b 前面是 "aaaa"，最长公共前后缀是 "aaa"，长度是3，所以next5 = 3 + 1 = 4
  注意 字符串的公共前后缀不包含字符串本身，如字符串"aaa"的公共前后缀是"aa"而不是"aaa"

5.KMP算法的进一步优化

在使用KMP算法进行模式匹配时，如果模式串j对应的字符和主串i对应字符不相等（失配）则将j移动至next[j]继续匹配，但j移动后指向的字符可能和移动前指向的字符相同，此时出现了重复的比较并且一定会失配，所以可以使用nextval数组优化这种重复比较的情况

nextval数组的计算

• nextval1 = 0
• 从第 2 个字符开始
  • 当模式串中j对应的字符和nextj对应的字符相等 时，nextvalj的值等于nextj的nextval值，即 nextval[j] = nextval[next[j]]
  • 当模式串中 j 对应的字符和nextj对应的字符不相等 时，nextvalj的值等于nextj的值，即 nextval[j] = next[j]

例1：T = ababaa

下标	1	2	3	4	5	6
next	0	1	1	2	3	4
nextval	0	1	0	1	0	4

nextval1 = 0

从模式串的第2个字符 a 开始：

• next2 = 1，T.ch1 = a，T.ch2 = b，字符不相等 -> nextval2 = next2 = 1
• next3 = 1，T.ch1 = a，T.ch3 = a，字符相等 -> nextval3 = nextvalnext\[3] = 0
• next4 = 2，T.ch2 = b，T.ch4 = b，字符相等 -> nextval4 = nextvalnext\[4] = 1
• next5 = 3，T.ch3 = a，T.ch5 = a，字符相等 -> nextval5 = nextvalnext\[5] = 0
• next6 = 4，T.ch4 = b，T.ch6 = a，字符不相等 -> nextval6 = next6 = 4

例2：T = aaaab

下标	1	2	3	4	5
next	0	1	2	3	4
nextval	0	0	0	0	4

nextval1 = 0

从模式串的第2个字符 a 开始：

• next2 = 1，T.ch1 = a，T.ch2 = a，字符相等 -> nextval2 = nextvalnext\[2] = 0
• next3 = 1，T.ch1 = a，T.ch3 = a，字符相等 -> nextval3 = nextvalnext\[3] = 0
• next4 = 2，T.ch2 = a，T.ch4 = a，字符相等 -> nextval4 = nextvalnext\[4] = 0
• next5 = 3，T.ch3 = a，T.ch5 = b，字符不相等 -> nextval5 = next5 = 4