3.多重背包
3.1引入
小明去超市购物，他有 W 元预算。超市搞促销，每种商品限购一定数量：
牛奶：\(10\)元/箱，价值\(15\)分，限购\(3\)箱
面包：\(5\)元/袋，价值\(8\)分，限购\(10\)袋
鸡蛋：\(3\)元/盒，价值\(4\)分，限购\(5\)盒
每种商品库存有限，怎样才能让总价最大？
这就是多重背包问题------每种物品有固定的数量限制。
3.2多重背包与01背包，完全背包的区别
| 01背包 | 完全背包 | 多重背包 | |
|---|---|---|---|
| 物品数量 | 每件最多\(1\)个 | 每件无限个 | 每件最多\(si\)个 |
| 决策 | \(选/不选\) | \(选0个/1个/2个/...\) | \(选0个/1个/.../si个\) |
注：\(si\)表示第\(i\)件物品最多可以带\(si\)件
3.3解法
3.3.1状态定义
dp[i][j]表示只考虑前i种物品且背包大小为j时的结果3.3.2状态转移方程
dp[i][j]=max(dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i])3.4一维代码
#include<bits/stdc++.h>//万能头文件
using namespace std;
int dp[1005];//定义数组，默认为0
int main() {
int m,n;cin>>n>>m;//输入，n为物品数量，m为背包大小
int w,val,c;//w为重量，val为价值，c为数量
for(int i=1;i<=n;i++) {//枚举每件物品
cin>>w>>val>>c;//输入
for(int k=1;k<=c;k++) {//将c件相同物品拆分成c个不同物品，当成01背包做
for(int j=m;j>=w;j--) {//枚举背包大小
dp[j]=max(dp[j],dp[j-w]+val);//状态转移方程，与01背包相同
}
}
}
cout<<dp[m]//输出答案
return 0;
}3.5二进制拆分优化
3.5.1为什么需要二进制拆分优化？
当数据范围变大\(（N≤1000，W≤2000，si≤2000）\)，朴素解法的三重循环会超时。
二进制优化的核心思想：不需要把 si 个物品拆成 si 个1，可以分组打包。
3.5.2为什么二进制拆分优化能覆盖所有可能
例：
拆分数量13：
可以拆成\(1，2，4，6\)
\(1，2，4\)能组合出\(0\)到\(7\)的所有数字，如果使用\(6\)，就可以组合出\(6\)到\(13\)的所有数字
3.5.3优化代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[1005];//定义数组
int main() {
int m,n;cin>>n>>m;//输入
int w,val,c;//w为重量，val为价值，c为数量
for(int i=1;i<=n;i++) {
cin>>w>>val>>c;//输入
int k=1;
while(k<=c) {//二进制拆分
for(int j=m;j>=k*w;j--) {
dp[j]=max(dp[j],dp[j-k*w]+k*val);//状态转移方程计算结果
}
c-=k;
k*=2;
}
if(c!=0) {//填写未填充部分
for(int j=m;j>=c*w;j--) {
dp[j]=max(dp[j],dp[j-c*w]+c*val);
}
}
}
cout<<dp[m];//输出答案
return 0;
}3.6例题
3.6.1 P1776 宝物筛选
题目描述
终于，破解了千年的难题。小 FF 找到了王室的宝物室，里面堆满了无数价值连城的宝物。
这下小 FF 可发财了，嘎嘎。但是这里的宝物实在是太多了，小 FF 的采集车似乎装不下那么多宝物。看来小 FF 只能含泪舍弃其中的一部分宝物了。
小 FF 对洞穴里的宝物进行了整理，他发现每样宝物都有一件或者多件。他粗略估算了下每样宝物的价值，之后开始了宝物筛选工作：小 FF 有一个最大载重为 \(W\) 的采集车，洞穴里总共有 \(n\) 种宝物，每种宝物的价值为 \(v_i\)，重量为 \(w_i\)，每种宝物有 \(m_i\) 件。小 FF 希望在采集车不超载的前提下，选择一些宝物装进采集车，使得它们的价值和最大。
输入格式
第一行为两个整数 \(n\) 和 \(W\)，分别表示宝物种数和采集车的最大载重。
接下来 \(n\) 行每行三个整数 \(v_i,w_i,m_i\)。
输出格式
输出仅一个整数，表示在采集车不超载的情况下收集的宝物的最大价值。
输入输出样例 #1
输入 #1
4 20
3 9 3
5 9 1
9 4 2
8 1 3输出 #1
47说明/提示
对于 \(30\%\) 的数据，\(1 \le m_i\)，\(\sum m_i\leq 10^4\)，\(0\le W\leq 10^3\)，\(1 \le w_i\)，\(v_i\leq 100\)。
对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le m_i\)，\(\sum m_i \leq 10^5\)，\(0\le W\leq 4\times 10^4\)，\(1\leq n\le 100\)，\(1 \le w_i\)，\(v_i\leq 1000\)。
3.6.2解法
- 本题每件宝物数量有限，所以可以判断是多重背包
- 本题数据较大，所以需要使用二进制拆分法
3.6.3代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[40005];//定义数组
int main() {
int m,n;cin>>n>>m;//输入
int a[100005],b[100005],cnt=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
int c,w,val;//c为数量，w为重量，val为价值
cin>>val>>w>>c;
for(int j=1;c;j*=2) {//二进制拆分
if(c>j) {
a[++cnt]=w*j;
b[cnt]=val*j;
c-=j;
}else {
a[++cnt]=w*c;
b[cnt]=val*c;
c=0;
}
}
}
for(int i=1;i<=cnt;i++) {//多重背包，做cnt个01背包
for(int j=m;j>=a[i];j--) {//倒叙遍历
dp[j]=max(dp[j],dp[j-a[i]]+b[i])//更新值
}
}
cout<<dp[m];//输出
return 0;
}