一.函数与极限2

*极限

数列极限

*经典极限方法：抓大头/分离常数/生活例子

• 极限看的是趋势，而不是差值！
• 抓大头：
• 分离常数：
• 公式法（取整）：
  

*函数极限定义

1. 自变量趋于有限值时的函数的极限
   

2. 左右极限
   

• 最常见需要考虑左右极限的三种情况：

1. 分段函数在分解出的极限
2. 指数函数可能左右极限不相等
   
   3.三角函数也是左右极限可能会不一样
   

3. 自变量趋于无穷大时的函数极限：
   

*极限的基本性质

1. 唯一性

   

2. 有界性

   

   

3. 保号性（可用于求函数极值点：即函数极限值的自变量x的值 ）

   

*极限的运算法则

1. 四则
   
2. 复合
   

*无穷小，无穷大，无穷小比较

1. 无穷小

2. 无穷大（无穷大一定无界，但是无界不一定能无穷大，数列举例）

3. 无穷小比较
   

*无穷小的基本性质（也可以求极限！）

1. 有限个无穷小和，差，积仍为无穷小
2. 有界函数与无穷小之积，仍为无穷小
   
3. 常数与无穷小之积，仍为无穷小
4. 

求极限：

*等价无穷小的性质

**极限存在准则

1. 夹逼准则
   

1.结论1

2. 结论2

2. 单调有界的数列一定有极限
   
   

由例题可知，一般先证明有界（不等式），单调（相减），最后例如An+!和An基本上一样了，可以求极限

**重要极限（等价无穷小）

1. 等价无穷小，x->0时
   
2. 重要极限
   

3. 高阶：x->0，常用于分子为减法结构，直接替换x-x=0导致失效的情况
   

**洛必达法则

• 当直接求一个分式的极限遇到困难时，可以尝试对分子和分母分别求导，再求导后分式的极限，结果往往与原极限相同。
• 求导后的极限存在或为无穷大：lim f'(x)/g'(x) 的结果必须存在（是一个有限数）或为无穷大。注意：如果这个极限不存在（例如，在某个值和无穷大之间震荡），则原极限不能用洛必达法则判定

*连续

1. 函数在一点连续
   
2. 函数在闭区间上连续
   

**间断

不相等的原因可能有：

• 有极限，但没定义
• 有定义，但没极限
• 或者都有，但是不相等

• 例题：可以根据图像了，其实也和之前的左右极限需要注意的东西一致
  

**闭区间上连续函数的性质

*泰勒公式