前置总述
1.计算机硬件实际运算几乎不用原码、反码，有符号数统一使用补码完成加减；反码仅作为原码↔补码转换中间产物。
2.所有减法均可等价转换为加法，硬件只需一套加法器，无需单独减法器。
3.运算会出现溢出：同号有符号数相加才溢出；无符号数加减依靠最高进位判断溢出。
4.无符号数底层运算逻辑和补码完全一致，共用同一套加法器电路。
第一部分 定点数移位运算
一、十进制移位类比
左移 R 位 = ×10^R；右移 R 位 = ÷10^R
二进制同理：左移 R 位 = ×2^R；右移 R 位 = ÷2^R
二、逻辑移位（无符号整数专用）
1.逻辑左移
高位丢弃，低位补 0；移出位为 1 会发生溢出，数值出错
2.逻辑右移
低位丢弃，高位补 0；丢弃位为 1 会丢失小数精度
三、算术移位（有符号补码专用，最高位为符号位）
1.算术左移
高位丢弃，低位补 0；符号位改变 = 溢出
2.算术右移
低位丢弃，高位补符号位（正数补 0，负数补 1）；丢弃 1 丢失精度
第二部分 原码加减运算（仅理论，硬件不采用）
一、原码加法四种情况（核心：分开符号、只对绝对值运算）
设两数真值为 X、Y，原码仅数值位存绝对值，符号位单独处理
1.X 正、Y 正
绝对值相加，结果符号为正。
2.X 负、Y 负
绝对值相加，结果符号为负。
3.X 正、Y 负 / X 负、Y 正（异号）
用绝对值大的数 - 绝对值小的数；结果符号和绝对值更大的数保持一致。
二、原码减法规则
X - Y = X + (-Y)
只需将减数 Y 的符号位取反，直接套用上面原码加法逻辑。
三、原码运算缺陷
1.四种符号组合需要多路判断逻辑，硬件电路极其复杂；
2.仅同号相加会产生溢出，异号相加永远不会溢出；
3.存在 + 0、-0 两种编码，浪费存储空间。
因此计算机不使用原码做加减，统一采用补码。
第三部分 补码加减运算（硬件标准实现，重中之重）
一、补码加法：A 补 + B 补 = A+B 补
核心特点：符号位和数值位一同参与运算，无需单独处理符号
示例：8 位机器字长，A=15，B=-24
1.写出 A、B 真值，转为 8 位原码；
2.原码求补码：正数补码 = 原码；负数原码数值位取反 + 1；
3.两个补码全部位直接相加，包含符号位；
4.相加结果为 A+B 补，再转回原码得到最终真值。
二、补码减法：A - B = A + (-B)
关键操作：由 B 补求 -B 补（求补运算）
两种等价方法：
1.全部二进制位（符号位 + 数值位）按位取反，末位 + 1；
2.快速法：从右往左找到第一个 1，该 1 右侧所有位不变，左侧全部位取反。
三、补码转换速记
负数补码转原码，规则和原码转补码完全相同：取反加 1。
四、溢出基础概念
8 位补码表示范围：-128 ~ +127
1.上溢：两个正数相加，结果超出正数最大值（>127），运算结果符号变为负数；
2.下溢：两个负数相加，结果小于最小值（<-128），运算结果符号变为正数；
3.核心规律：只有同号数相加才会溢出；一正一负相加绝对无溢出。
第四部分 补码加法三种硬件溢出判断方法
一、方法 1：单符号位，符号逻辑判断（逻辑表达式）
设 As：被加数符号，Bs：加数符号，Ss：结果符号
(-As表示As的非)
溢出条件 V = -As-BsSs+AsBs-Ss
•-As-BsSs：两个正数 (0+0)，结果符号为 1（负数）→上溢
•AsBs-Ss：两个负数 (1+1)，结果符号为 0（正数）→下溢
V=1 代表溢出，V=0 无溢出；表达式可直接用与门、或门、非门搭建电路。
二、方法 2：单符号位，进位异或判断（最常用）
定义：
CP：最高数值位向符号位产生的进位
CS：符号位向更高位产生的进位
溢出判断：V = CP ⊕ CS
1.CP=1，CS=0 → 上溢（正数相加溢出）
2.CP=0，CS=1 → 下溢（负数相加溢出）
3.CP、CS 相同（同为 0 / 同为 1）→ 无溢出
三、方法 3：双符号位补码（模 4 补码）
1.表示规则：正数符号 00，负数符号 11；运算时两位符号位全部参与计算。
2.判断规则：运算后两个符号位异或，结果为 1 则溢出
￮结果符号 01：上溢（本该正，实际算出负）
￮结果符号 10：下溢（本该负，实际算出正）
￮结果符号 00/11：无溢出
3.补充概念
￮单符号位补码：模 2 补码；双符号位：模 4 补码
￮硬件存储仅存 1 位符号位，运算前复制一份符号位，不增加存储开销。
第五部分 无符号数加减运算
一、底层运算逻辑（和补码完全一致，共用加法器）
（1）无符号加法
两数所有二进制位直接逐位相加，低位向高位进位正常传递。
（2）无符号减法：A - B = A + B 的补数
N 位无符号数天然模2^N（8 位模 256）
求 B 的补数操作：B 全部位按位取反，末位 + 1
减法转换为加法，统一由加法器完成。
二、无符号数溢出判断
手算做题法（考试首选）
N 位无符号数范围：0∼(2^N)−1
1.加法：十进制求和 > (2^N)−1 → 溢出
2.减法：十进制结果 < 0 → 溢出
硬件电路判断（依靠最高进位 Cout）
1.无符号加法：最高位产生进位 Cout=1 → 溢出；Cout=0 正常
2.无符号减法（已转加法）：最高位进位 Cout=0 → 溢出；Cout=1 正常
第六部分 补码加减运算硬件电路（带 SUB 控制信号加法器）
一、电路组成
N 位并行加法器、多路选择器、一组非门、控制信号 SUB
•SUB=0：执行加法；SUB=1：执行减法
二、加法流程（SUB=0）
1.多路选择器直接输出原加数 Y；
2.加法器最低位进位 Cin=0；
3.输入 A、Y 逐位相加，输出和，产生最高进位 Cout。
三、减法流程（SUB=1）
1.Y 经过非门全部按位取反；
2.多路选择器输出取反后的 Y；
3.加法器最低位进位 Cin=1（实现末位 + 1，完成求补）；
4.等价完成 A + -Y 补，实现减法。
四、拓展：电路同时支持无符号数运算
无符号数加减底层运算规则和补码完全相同，该加法器一套电路通用。
第七部分 运算标志位（OF/SF/ZF/CF）必考
一、OF 溢出标志（有符号数专用）
生成逻辑：最高数值位进位 CP ⊕ 符号位进位 CS
OF=1：有符号加减溢出；OF=0：无溢出
二、SF 符号标志（有符号数专用）
直接取运算结果最高位（符号位）
SF=1：结果为负数；SF=0：结果为正数
三、ZF 零标志
所有运算结果位做或非运算
ZF=1：运算结果全 0；ZF=0：结果非 0
四、CF 进位 / 借位标志（无符号数专用）
生成逻辑：Cout（最高进位）⊕ Cin（最低进位）
•加法 Cin=0：CF=1 代表 Cout=1，无符号加法溢出
•减法 Cin=1：CF=1 代表 Cout=0，无符号减法溢出
CF=1：无符号运算溢出；CF=0：无溢出
第八部分 复习速记总结
1.逻辑左 / 算术左：规则完全一致，高丢低补 0
2.逻辑右：高位统一补 0；算术右：高位补符号
3.左移等价乘 2、右移等价 2；左移防溢出，右防精度丢失
4.有符号运算只用补码，减法 = 加负数补码；符号位参与运算。
5.溢出区分：有符号看 OF；无符号看 CF；同号相加才会有符号溢出。
6.三种溢出判断：符号逻辑、进位异或、双符号位。
7.无符号数模2N，减法靠补数转换加法，电路和补码加法器通用。
8.四大标志位：OF 判有符号溢出、SF 判正负、ZF 判零、CF 判无符号溢出。
9.加减硬件靠 SUB 控制信号实现，SUB=0 加、SUB=1 减，取反 + 最低进位 1 完成求补。