[c++]csp-j初赛——树

宇宙免责申明:

一、树的基本概念

树是一种非线性数据结构，用于描述数据元素之间的层次关系。它由n（n≥0）个节点组成一个具有层次关系的集合

二、核心术语一览表

定义：二叉树（Binary Tree）是每个节点最多只有两个子节点的树，分别称为左子节点和右子节点，次序不能颠倒。

如图：

总览：

类型	定义	初赛考点
满二叉树	除叶子节点外，每个节点都有2个子节点；所有叶子节点都在同一层	深度为 h 的满二叉树共有 2ʰ − 1 个节点
完全二叉树	只有最后一层不满，且最后一层的节点全部集中在左侧连续位置	满二叉树是完全二叉树的特殊情况；常考数组下标计算（左孩子 2i，右孩子 2i+1）

「注」重点区分：完全二叉树 ≠ 满二叉树。满二叉树是"完美塞满"，完全二叉树是"最后一层从左到右连续排列"。

如图：

二叉树层数计算：

在 CSP-J 初赛中，默认根节点位于第 1 层。设二叉树的高度为 hhh，总结点数为 NNN。

第 iii 层的最大节点数

二叉树的第 iii 层最多能容纳的节点数为 2 i−12^{\,i-1}2i−1。（每个节点最多向下延伸出 2 个子节点，节点数呈等比数列：1,2,4,...1, 2, 4, \dots1,2,4,...）
满二叉树的高度推导

若该树为满二叉树，则前 hhh 层的所有节点均已填满。总节点数 NNN 等于前 hhh 层的最大节点数之和：

N=1+2+4+⋯+2h−1 N = 1 + 2 + 4 + \dots + 2^{h-1} N=1+2+4+⋯+2h−1

根据等比数列求和公式（首项 a1=1a_1=1a1=1，公比 q=2q=2q=2，项数 hhh）：

N=1⋅(2h−1)2−1=2h−1 N = \frac{1 \cdot (2^h - 1)}{2 - 1} = 2^h - 1 N=2−11⋅(2h−1)=2h−1

由此反推满二叉树的高度：

2h=N+1 ⟹ h=log⁡2(N+1) 2^h = N + 1 \implies h = \log_2(N + 1) 2h=N+1⟹h=log2(N+1)
完全二叉树的高度推导

完全二叉树的前 h−1h-1h−1 层必然是满二叉树，其节点数为 2h−1−12^{h-1} - 12h−1−1。

由于 hhh 为正整数，该不等式组等价于常用的向下取整公式：

h=⌊log⁡2N⌋+1 h = \lfloor \log_2 N \rfloor + 1 h=⌊log2N⌋+1
普通二叉树的高度范围推导

当每层都尽可能填满节点时，高度达到理论最小值。此时最小的整数 hhh 必须满足 N≤2h−1N \le 2^{h} - 1N≤2h−1，解得：

hmin⁡=⌈log⁡2(N+1)⌉ h_{\min} = \lceil \log_2 (N + 1) \rceil hmin=⌈log2(N+1)⌉

当每层都仅有 1 个节点（退化为单链表）时，高度达到理论最大值：

hmax⁡=N h_{\max} = N hmax=N

二叉树有4种遍历的方式：

遍历方式	顺序	口诀	初赛常考指数	核心应用场景
先序遍历（前序）	根 → 左子树 → 右子树	根左右	⭐⭐⭐⭐⭐	表达式树的前缀表达式（波兰式）
中序遍历	左子树 → 根 → 右子树	左根右	⭐⭐⭐⭐⭐	表达式树的中缀表达式；二叉搜索树（BST）的中序遍历结果为升序序列
后序遍历	左子树 → 右子树 → 根	左右根	⭐⭐⭐⭐⭐	表达式树的后缀表达式（逆波兰式）；删除树节点（先删子节点再删自身）
层次遍历	从上到下、从左到右逐层访问	BFS（广度优先）	⭐⭐⭐	求树的高度/宽度；判断是否为完全二叉树

图示如下：

设有一个二叉树如下：

先序遍历（前序）：口诀：根左右

中序遍历：口诀：左根右

后序遍历：口诀：左右根

最后，我们还有一种层序遍历的遍历方法，主旨在于模拟BFS的过程：