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前言
学习 Steven Brunton 讲授的概率与统计入门概述视频，本篇文章记录第八讲：条件概率，记录下个人学习笔记，和大家一起分享交流😄
video ：https://www.youtube.com/playlist?list=PLMrJAkhIeNNR3sNYvfgiKgcStwuPSts9V
1. 引言
今天我们将引入条件概率这一概念，这是概率论中最重要的概念之一，它将帮助我们探索更多有趣的应用，这让我们更贴近现实世界的应用。
这个想法是，如果我有两个不同的事件会怎样？我正在发一副扑克牌给玩家，假设事件 A 是：我下一张抽到黑桃牌，假设事件 B 是：我下一张抽到三点牌，我们已经知道如何分别计算事件 A 和事件 B 的概率，但问题在于：当我获得了部分信息（比如知道了其中某个事件的结果），另一个事件的概率会如何变化？这正是条件概率要回答的核心问题。
既然我已经知道事件 B 确实发生了 --- 也就是我抽到的牌是 3 --- 那么事件 A 发生的概率会改变吗？在已知事件 B 的相关信息后，我能否更新或修正事件 A 的发生概率？这正是条件概率的核心思想，这就是我们今天要讨论的内容。
2. 定义条件概率 P(A|B)
接下来我们用示意图来说明，这能帮助我们更好地理解：
回想一下，我们有一个概率空间，也就是包含所有可能发生事件的全集，我们把这个全集称为 Ω \Omega Ω 。假设事件 A 是 Ω \Omega Ω 的一个子集，那么我们不妨问问自己：事件 A 发生的概率究竟是多少？
那么事件 A 的概率是多少呢？粗略来说，计算事件 A 的概率时，我们会统计 A 可能发生的次数，再除以 Ω \Omega Ω 中所有可能发生的情况总数，如果用图示的方式来理解，就是上面这幅示意图展示的，概率大致等于 A 的面积除以 Ω \Omega Ω 的总面积。
但我们要探讨的问题是：在已知事件 B 发生的前提下，事件 A 发生的概率是多少？这种概率的表示方法略有不同：
P ( A ∣ B ) P(A \mid B) P(A∣B)
这种情况我们称之为 "事件 B 发生条件下事件 A 的概率"。竖线符号的含义：它表示 "在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率"，具体而言，这表示当我确知事件 B 已发生时，事件 A 发生的概率是多少。
那么让我们再画一张示意图：
假设上面绿色方框区域表示事件 B，既然已知事件 B 已发生，这意味着我们已将讨论范围限定在事件 B 内，那么事件 A 发生的概率是否会随之改变？那么在这种情况下，答案很可能是肯定的，既然事件 B 已经发生，那么事件 A 发生的可能性看起来就大得多了。
现在我们把这个公式写出来，然后我们一起来分析它的含义：
P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A∩B)
当我们已知事件 B 发生时，要计算事件 A 发生的概率，本质上就是聚焦在事件 B 的范围内进行分析，既然我们已经确定事件 B 确实发生了，这样一来，我们的分析范围就限定在事件 B 这个框架内了，在已知 B 发生的条件下，A 发生的概率其实就是 A 与 B 同时发生的概率（即图中阴影区域）除以事件 B 发生的概率，从图形来看，这个理解就非常直观了。
既然我们已经确定，在所有可能发生的情况中，事件 B 是必然发生的，那么我们可以聚焦在事件 B 对应的所有可能情况上。现在我们把关注点聚焦在事件 B 上，在已知事件 B 发生的前提下，事件 A 发生的概率就等于事件 A 与 B 同时发生的概率除以事件 B 单独发生的概率，你可以通过这个思路自行推导。
在推导时，图解能帮上大忙，如果已知事件 B 已发生，我们就可以聚焦该事件区域，此时图中的阴影区域代表的就是 A 与 B 同时发生的部分，因此 P ( A ∣ B ) P(A \mid B) P(A∣B) 这个概率表示的是：在事件 B 已发生的前提下，事件 A 发生的可能性。
而条件概率这个概念正是整个概率论中最重要的核心思想之一，已知两个事件中有一个已发生，这会改变我对另一事件发生概率的判断吗？有时确实如此，有时则不然，接下来我们会通过几个例子来说明，其实很快你就能明白其中的原理。
3. 示例：骰子
让我们来看几个具体例子。假设我正在掷骰子，假设事件 A 表示第一个骰子点数为 3，假设事件 B 表示第二个骰子点数为 5，假设事件 C 表示骰子点数之和为 6，那么已知事件 B 发生的情况下，求事件 A 发生的概率。
知道我第二次掷骰子是 5 点，会影响第一次掷骰子的概率吗？答案是不会，这种情况我们称之为相互独立，所以，在事件 B 发生的条件下，事件 A 的概率就等于事件 A 本身的概率，概率是 1 6 \frac{1}{6} 61 。
从图示的角度来看，事件 A 和事件 B 的关系表现为：即便掌握了事件 B 的信息，也不会改变事件 A 发生的概率， P ( A ∩ B ) P(A \cap B) P(A∩B) 概率与 P ( B ) P(B) P(B) 概率的比值，等于事件 A 的概率与样本空间 Ω \Omega Ω 概率的比值，即便获得了关于事件 B 的信息，也不会改变我对事件 A 概率的判断。
那么给定 C 时 A 的概率是多少？已知两颗骰子点数之和为 6 时，第一个骰子出现 3 点的概率是否会改变？这个问题很有意思，我们来计算一下具体概率。
两颗骰子点数之和为 6 的可能组合有：{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)}，共 5 种。其中第一个骰子为 3 的只有 (3,3) 这一种，因此：
P ( A ∣ C ) = 1 5 ≠ 1 6 = P ( A ) P(A \mid C) = \frac{1}{5} \neq \frac{1}{6} = P(A) P(A∣C)=51=61=P(A)
可见，已知点数之和为 6 改变了第一个骰子为 3 的概率 --- 这就是 非独立事件 的影响，与 A、B 的独立关系形成对比。
4. 示例：扑克牌
让我们举个特别直观的例子，让概念变得一目了然，假设我抽了一张牌，这张牌可能是红心、梅花、黑桃或方块中的任意一种，记住，梅花和黑桃是黑色花色，红心和方块是红色花色，牌的颜色可能是红色，也可能是黑色，它可能是四种花色中的任意一种。
假设事件 A 是抽到黑桃，假设事件 B 是抽到黑色牌，单独看事件 A 的概率是 1 4 \frac{1}{4} 41 ，共有四种花色，抽中特定花色的概率是 1 4 \frac{1}{4} 41 ，抽到黑色牌的概率是 1 2 \frac{1}{2} 21 ，两套花色是黑色，两套花色是红色，所以抽到黑牌的概率是 50%，如果我已经知道抽到的是黑桃或梅花，那这张牌恰好是黑桃的概率是多少？
也就是说，在已知抽到黑色牌的前提下，这张牌是黑桃的概率是多少？现在可能性范围缩小了 --- 只可能是梅花或黑桃这两种花色，这样一来，我抽到黑桃的概率就从原来的 1 4 \frac{1}{4} 41 大幅提升到了 1 2 \frac{1}{2} 21 ，由此可见，掌握部分信息能够显著改变事件 A 发生的概率。
如果事件 C 表示我抽到的是红牌呢？假设我告诉你这张牌是红色的，我抽到黑桃的概率是多少？既然我的牌是红色，那么抽到黑桃的概率就彻底改变了，如果牌是红色的，那它就不可能是黑桃。
这个看似简单的例子其实蕴含着一个重要概念：即使只获得关于其他事件的部分信息，也能让我们对事件 A 的发生概率有更清晰的认识。
5. 示例：癌症筛查
我们再来看个例子，我们以癌症筛查为例来说明，假设我们对 1000 人进行癌症筛查，假设我们正在研发一种新型癌症基因检测技术，我们对 1000 人进行癌症检测，假设我将人群分为两组，一组是癌症患者组，另一组是对照组，每组各有 500 人，因此癌症组有 500 人，同时设有 500 名未患癌症的对照组。
在癌症组中，假设 450 人检测结果呈阳性，50 人呈阴性，我们正在设计这项检测方法并进行实际验证，但对于未患癌症的对照组而言，存在部分假阳性结果，在未患癌症的对照组 500 人中，100 人检测呈阳性（即假阳性），其余 400 人检测呈阴性，若检测完全准确本应全部呈阴性，但实际上仅有 400 人呈阴性。
这是一个模拟场景，假设是否患癌定义为事件 B，假设检测结果呈阳性或假阳性定义为事件 A，由此可以计算事件 B 发生条件下事件 A 的概率。
首先可以直接计算事件 A 的概率，在这批样本中，共有 550 人检测结果呈阳性，因此在这批样本中，事件 A 发生的概率为 55%。但在已知患癌的条件下，事件 A 的概率则需聚焦于这个特定群体，即 450 除以 500 的计算结果，这样算来，概率应该是 90% 左右，因此这项检测具有 90% 的灵敏度，即在确定患病的情况下，检测结果呈阳性的概率为 90%，这就是计算条件概率的一种方法。
6. 统计推断与结语
本节课最关键的核心在于：必须明确区分哪些是可实际测量的数据，哪些是真正需要估算的目标，此时我的核心目标是设计出高精度检测方法，并将其应用于无法直接判断是否患癌的人群，我想推算的是相反的情况，我想要求的是在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率即 P ( B ∣ A ) P(B \mid A) P(B∣A) ，这才是实际计算中的难点所在。
在检测结果呈阳性的前提下，我实际患癌的概率是多少，果然不出所料，这个概率并非 100%，检测结果可能出现假阳性，即便并未患癌，检测结果仍可能呈阳性，因此我们需要计算的是：在检测结果呈阳性的前提下，实际患病的概率是多少，这就是所谓的逆概率问题。
概率统计最重要的应用之一，就是通过可观测的数据来推理未知信息（比如某人是否患病），这种推理过程通常需要借助 贝叶斯定理 来实现，这种推理过程就被称为 统计推理 或者称为 逆概率问题。
这是一个典型的逆向推理问题，我想知道在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率是多少，或许我已知在事件 B 发生条件下事件 A 的概率，现在需要推算出这个条件概率，接下来几讲我们将探讨如何推导贝叶斯定理，并运用它来求解这类逆向推理问题，这真的非常非常实用。
结语
本讲引入了条件概率 P ( A ∣ B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} P(A∣B)=P(B)P(A∩B)，其核心直觉是：已知 B 发生后，样本空间塌缩至 B，只需在 B 内部衡量 A 的占比 。三个例子层层递进：骰子的独立性表明信息有时不改变概率；扑克牌花色的例子展示信息可以大幅修正概率；癌症筛查则揭示关键区分 --- P ( 阳性 ∣ 患癌 ) P(\text{阳性} \mid \text{患癌}) P(阳性∣患癌)（正问题，易测量）与 P ( 患癌 ∣ 阳性 ) P(\text{患癌} \mid \text{阳性}) P(患癌∣阳性)（逆问题，真正关心的）是两回事。条件概率正是连接 "可观测数据" 与 "不可观测真相" 的桥梁，这也自然引出了后续的贝叶斯定理 🤗。