树的基础知识与查找排序算法

一、树

1.1. 特性

1.1 . 1 . 什么是树

树(Tree)是(n>=0)个节点的有限集合T，它满足两个条件：

(1) 有且仅有一个特定的称为根（Root）的节点。

其余的节点可以分为m（m≥0）个互不相交的有限集合T1、T2、......、Tm，其中每一个集合又是一棵树，并称为其根的子树（Subtree）。

树的特性：层次关系，一对多，每一个节点最多有一个前驱，但是可以有多个后继(根节点无前驱，叶节点无后继)

关于树的节点： 和链表类似，树存储结构中也将存储的各个元素称为 "结点"

1.1.2. 关于树的一些术语

度数：一个节点的子树个数(一个节点有几个孩子为该节点的度数)
树度数：树中节点最大的度数
叶节点或终端节点：度数为零的节点
分支节点：度数不为零的节点 (A B C D E H)
内部节点：除根节点以外的分支节点（去掉根和叶子）
节点层次：根节点的层次为1，根节点子树的根为第2层，以此类推
树的深度或高度：树中所有节点层次的最大值

例子：

1.2. 二叉树

最多只有两个孩子的树，并且分为左孩子和右孩子

1.2.1. 什么是二叉树

二叉树（Binary Tree）是n（n≥0）个节点的有限集合，它或者是空集（n＝0），或者是由一个根节点以及两棵互不相交的、分别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树与普通有序树不同，二叉树严格区分左孩子和右孩子，即使只有一个子节点也要区分左右。

1.2.2. 二叉树的性质(重点)

二叉树第k（k>=1）层上的节点最多为2的k-1次幂个。// 2(k-1)
深度为k（k>=1）的二叉树最多有2的k次幂-1个节点。// 满二叉树的时候最多的节点数 2k-1
在任意一个二叉树中，树叶的数目比度数为2的节点数目多一个

n0 = n2 + 1

1.2.3. 满二叉树和完全二叉树

满二叉树: 深度为k（k>=1）时节点数为2^k - 1(2的k次幂-1)

完全二叉树: 只有最下面两层有度数小于2的节点，且最下面一层的叶节点集中在最左边的若干位置上。(先挂树的左边向右, 从上向下挂)

下面两个图不能称为完全二叉树

1.2.4. 二叉树的存储结构

二叉树的顺序存储结构

顺序存储结构：完全二叉树节点的编号方法是从上到下，从左到右，根节点为1号节点。设完全二叉树的节点数为n，某节点编号为i

当i>1（不是根节点）时，有父节点，其父节点编号为i/2;
当2*i<=n时，有左孩子，其编号为2*i ,否则没有左孩子，本身是叶节点;
当2*i+1<=n时，有右孩子，其编号为2*i+1 ,否则没有右孩子；

有n个节点的完全二叉树可以用有n+1 个元素的数组进行顺序存储，节点号和数组下标一一对应，下标为零的元素不用。

利用以上特性，可以从下标获得节点的逻辑关系。不完全二叉树通过添加虚节点构成完全二叉树，然后用数组存储，这要浪费一些存储空间。

二叉树遍历(重点)

前序：根左右

中序：左根右

后序：左右根

练习：

已知遍历结果如下，试画出对应的二叉树。

前序： A B C E H F I J D G K

中序： A H E C I F J B D K G

提示：用前序确定根节点，然后用中序找到根节点然后再找左右子。

1.2.5. 二叉树的链式存储结构

用链表实现，基于完全二叉树规律来构建树，按照完全二叉树的编号方法，从上到下，从左到右。

第n个节点：

左子节点编号： 2 * n

右子节点编号： 2 * n + 1

可以根据左右节点编号来判断是否对二叉树构建完成

cpp 复制代码

typedef struct tree_node_t
{
    int data;                   //数据域
    struct tree_node_t *lchild; //左子
    struct tree_node_t *rchild; //右子
} bitree_node_t, * bitree_node_p;

1.2.5.1.二叉树相关代码

bitree.h

cpp 复制代码

#ifndef __LINKLISTTREE_H__
#define __LINKLISTTREE_H__

typedef struct tree_node_t
{
    int data;                   //数据域
    struct tree_node_t *lchild; //左子
    struct tree_node_t *rchild; //右子
} bitree_node_t, * bitree_node_p;

//创建二叉树，用递归函数创建。
bitree_node_p CreateBitree(int n, int i); //i根节点的编号，n：节点数

// 前序
void PreOrder(bitree_node_p p);

// 中序
void InOrder(bitree_node_p p);

// 后序
void PostOrder(bitree_node_p p);

#endif

a）创建二叉树

cpp 复制代码

// 创建二叉树，用递归函数创建。
bitree_node_p CreateBitree(int n, int i) // i根节点的编号，n：节点数
{
    bitree_node_p r = (bitree_node_p)malloc(sizeof(bitree_node_t));

    r->data = i;

    if (2 * i <= n) // 左孩子
        r->lchild = CreateBitree(n, 2 * i);
    else
        r->lchild = NULL;

    if(2 * i + 1 <= n) // 右孩子
        r->rchild = CreateBitree(n, 2 * i + 1);
    else
        r->rchild = NULL;
    
    return r;
}

b）前序

cpp 复制代码

// 前序
void PreOrder(bitree_node_p p)
{
    printf("%d", p->data); // 根

    if(p->lchild != NULL) // 左
        PreOrder(p->lchild);

    if(p->rchild != NULL) // 右
        PreOrder(p->rchild);
}

c）中序

cpp 复制代码

// 中序
void InOrder(bitree_node_p p)
{
    if (p->lchild != NULL) // 左
        InOrder(p->lchild);

    printf("%d", p->data); // 根

    if (p->rchild != NULL) // 右
        InOrder(p->rchild);
}

d）后序

cpp 复制代码

// 后序
void PostOrder(bitree_node_p p)
{
    if (p->lchild != NULL) // 左
        PostOrder(p->lchild);

    if (p->rchild != NULL) // 右
        PostOrder(p->rchild);

    printf("%d", p->data); // 根
}

main函数

cpp 复制代码

int main(int argc, char const *argv[])
{
    bitree_node_p p = CreateBitree(7, 1);
    printf("前序遍历: ");
    PreOrder(p);
    printf("\n");

    printf("中序遍历: ");
    InOrder(p);
    printf("\n");

    printf("后序遍历: ");
    PostOrder(p);
    printf("\n");
    return 0;
}