第四章 · 乘除起落，符号定音
卷首语：负负得正，恰如双重否定等同于肯定。对立事物的反向叠加，最终会回归正向结果。
4.2 倒数搭桥，化除为乘
操场的晚风轻轻扫过跑道，白日残留的燥热慢慢褪去，栏杆上摊着一张张刚刚推演有理数乘法的草稿纸。就在不久之前，林默和苏晚借着跑道这条天然数轴，一遍一遍模拟行进、转向，把有理数乘法的整套逻辑啃了下来。多因数连乘如何根据负因数的个数判断符号，乘数为零结果直接归零，交换律、结合律、分配律三条乘法运算律，还有倒数的意义，两人都在一次次实操演算当中慢慢熟悉。
纸上写满各式各样的乘法算式，可苏晚低头看着草稿，总觉得整套运算链条还差了一块拼图。她指尖轻轻点在草稿纸上记录倒数的那一行字迹，目光落在那些正负交错的乘式上，缓缓开口。
"乘法这一关我们算是闯过去了，但是四则运算里，除法还没有碰过。小学接触的除法全部都是正数，不用纠结符号的翻转。现在数的范围扩大到有理数，混入了负数之后，除法还能沿用以前的直觉吗？我心里没有十足的把握。"
林默闻言，下意识咬了咬笔杆，眉头紧紧蹙在一起。
他很擅长依靠具象的场景去理解数学，跑道上向前向后行走，实实在在的动作变化，他都可以在脑海里构建画面。可除法是逆向运算，不像乘法那样有直观的行进可以参照，一旦掺进负数，脑海里就变得一片模糊，完全不敢凭感觉乱写答案。
"乘法我还可以想象成重复走多少步，除法我找不到对应的画面。"林默把铅笔在指尖转了半圈，有些苦恼，"就拿 6÷(−2)6\div(-2)6÷(−2)这道题来说，我完全分不清最终结果应该是正数还是负数，一点头绪都没有。"
程远斜倚在铁质栏杆边上，没有直接抛出现成的法则，只是轻声抛出一个思考方向，把推导的主动权留给两个少年。
"不必强行凭空想象场景，回想一下，除法和乘法之间是什么关系。"
简单一句话，点通了困住两人的卡点。
林默眼睛骤然亮了几分，连忙俯下身，趴在栏杆的台面上拿起铅笔开始试探演算。
"除法是乘法的逆运算。也就是说，求 6÷(−2)6\div(-2)6÷(−2) 的得数，等价于寻找一个未知数，让这个未知数与(-2)相乘，最终得到6。"
他在纸上一笔一划写下式子：□×(−2)=6\square \times (-2)=6□×(−2)=6。
回忆刚刚练熟的乘法符号规则，乘积是正数6，其中一个乘数是负数(-2)，那么方框里的数字必然也得是负数，两个负数相乘才会得到正数。再看绝对值部分，6除以2等于3，组合在一起，未知数便是(-3)。
"算出来了！"林默笔尖重重落下去，"(−3)×(−2)=6(-3)\times(-2)=6(−3)×(−2)=6，所以 6÷(−2)=−36\div(-2)=-36÷(−2)=−3。"
苏晚凑过来，看清纸上的推演，受到启发，也拿起草稿纸，自己另外列举几组算式，打算多试几组例子，看看能不能找到稳定的规律。
"那我们再来试 (−12)÷(−4)(-12)\div(-4)(−12)÷(−4)。按照逆运算的思路，找一个数，乘−4-4−4等于−12-12−12。两个数相乘结果为负，代表一正一负，已知乘数是(−4)(-4)(−4)，那所求数字就是3。"
她接连写下好几组不同符号搭配的除法：正数除以负数、负数除以负数、负数除以正数，把每一道的结果认真计算出来，整齐排列在纸面之上。她做题习惯一道一道算出答案，但很少主动停下，把零散的结果提炼成一句概括性的规律。
程远扫过纸上一排算式，语气平淡地提醒："把这些式子放在一起对比，你们试着自己归纳符号的变化特点。"
林默一行一行扫视纸上的演算结果：
6÷(−2)=−3,(−12)÷(−4)=3,(−15)÷3=−56\div(-2)=-3,\quad (-12)\div(-4)=3,\quad (-15)\div 3=-56÷(−2)=−3,(−12)÷(−4)=3,(−15)÷3=−5
反复来回看了两遍，慢慢有了感悟，语气也逐渐笃定："我发现了，除法的符号规律，居然和乘法高度相似。两个数相除，如果符号相同，商就是正数；符号不同，商就是负数，之后再把两者的绝对值拿来相除就可以。"
说完这一点，他随即又生出新的疑问："那0如果拿来做被除数呢？比如0除以一个负数，结果又会是什么？"
"0除以任意一个不等于0的数，结果都等于0。"苏晚迅速作答，讲到这里，神色陡然严肃起来，特意加重了语气，"但是有一条红线绝对不能触碰，0不可以作为除数。"
林默脸上露出疑惑的神情："为什么？只是课本硬性规定的吗？"
"并不是毫无来由的规定，从逻辑上就说不通。"苏晚耐心地拆解给他听，"我们不妨假设 5÷0=a5\div0=a5÷0=a，按照除法和乘法的互逆关系，转换成乘法等式就是 a×0=5a\times0=5a×0=5。可是无论a取任何有理数，和0相乘都只能得到0，永远不可能等于5，满足条件的数字根本不存在。所以0充当除数这件事本身就没有意义。"
听完这番解释，林默才算真正理解，不是人为设置的条条框框，而是运算逻辑本身就不允许。他拿起笔，在草稿纸的边角位置，用力圈出一行笔记：0永远不能作除数，用来提醒自己避免踩坑。
短暂的沉默过后，苏晚盯着之前记录的倒数相关笔记，脑子里冒出一个大胆的想法。
"我们刚刚才学习了倒数，乘法借助倒数可以处理很多计算。那有理数除法，有没有办法不用单独记一套全新的计算方式，借助倒数，全部转化成我们已经熟练掌握的乘法？小学的时候，除以一个分数，等价于乘这个分数的倒数，放到负数的世界，这个性质还成立吗？"
这个猜想让林默十分振奋，如果猜想成立，就意味着自己不用再背诵另一套全新的运算规则。
他立刻挑选一道带有负分数的算式动手验证：8÷(−23)8\div\left(-\dfrac{2}{3}\right)8÷(−32)。
"按照这个思路，除以−23-\dfrac{2}{3}−32，就等价于乘它的倒数−32-\dfrac{3}{2}−23。"8÷(−23)=8×(−32)=−128\div\left(-\dfrac{2}{3}\right)=8\times\left(-\dfrac{3}{2}\right)=-128÷(−32)=8×(−23)=−12。算出结果之后，两人没有就此罢休，又接连挑选整数、小数、正负数组合的不同题型反复试算验证。一遍一遍的实操过后，猜想得到证实。
林默长长呼出一口气，心里的压力消散大半："太好了，这下不用死记除法的一堆条文。遇到除法，只要除数不为零，就转换成乘倒数，剩下的全部交给乘法法则、运算律去处理，等于把新问题变回老问题。"
苏晚顺着这个思路继续往下延伸思考："那如果一道算式当中，乘法和除法混杂在一起，处理手段也是相通的。第一步优先把所有除法改写为乘倒数，整道式子就全部统一成乘法运算，之后我们数负因数的个数确定符号，再计算绝对值，还可以灵活使用交换律、结合律简化计算。"
说着，她提笔写下一道同时包含小数、分数、正负符号的典型乘除混合计算题：(−2.4)÷34×(−56)(-2.4)\div\dfrac{3}{4}\times\left(-\dfrac{5}{6}\right)(−2.4)÷43×(−65)
"第一步，统一化除为乘。"
(−2.4)×43×(−56)(-2.4)\times\dfrac{4}{3}\times\left(-\dfrac{5}{6}\right)(−2.4)×34×(−65)
林默俯身，跟着同步演算。先清点负因数的数量，式子里面一共有两个负数，偶数个负因数，所以最终结果符号为正，之后再专心计算绝对值部分。完整算完这道题，他心中颇有感触。放在从前，看见小数分数正负搅在一起的混合运算，内心就会发慌，很容易符号出错，现在掌握了化除为乘的手段，步骤被拆解得清清楚楚，做题不再手足无措。
整个推导的全过程，程远始终只是旁观，关键节点抛出引导性问题，不会直接把结论直接灌输出来，所有的规律、结论，都是由林默与苏晚通过举例、试错、对比，一点点归纳总结得到。
晚风阵阵吹过，几张草稿纸被吹得轻轻晃动。林默在脑海里慢慢复盘这一节收获的全部内容：两数相除同号得正、异号得负；0不能作为除数；除以一个不为0的数等于乘它的倒数；乘除混合运算统一转化为乘法再求解。这些道理不是书本上生硬的文字，是自己一步步推演出来的。
思考与练习
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直接写出计算结果：
（1）(−36)÷9(-36)\div 9(−36)÷9
（2）(−1225)÷(−35)\left(-\dfrac{12}{25}\right)\div\left(-\dfrac{3}{5}\right)(−2512)÷(−53)
（3）0÷(−7.8)0\div(-7.8)0÷(−7.8)
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将除法转化为乘法后计算：
（1）18÷(−32)18\div\left(-\dfrac{3}{2}\right)18÷(−23)
（2）−4.5÷0.15-4.5\div 0.15−4.5÷0.15
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乘除混合运算：
（1）(−8)÷43×(−12)(-8)\div\dfrac{4}{3}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)(−8)÷34×(−21)
（2）−34÷(−38)×(−0.6)-\dfrac{3}{4}\div\left(-\dfrac{3}{8}\right)\times(-0.6)−43÷(−83)×(−0.6)
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判断正误，并改正错误说法：
（1）0除以任意数都得0
（2）两数相除，同号得正，异号得负，并把数相除
章末过渡伏笔
栏杆边散落着满满一堆演算草稿。苏晚随手抽出一张干净空白的A4纸，指尖轻轻抚过平整纸面，看向林默。
"加减乘除、乘除混合，我们全部打通了。"
"但如果是同一个数反复相乘，一次次写乘号实在太繁琐，有没有更简洁的表达方式？"
林默看着那张白纸，心生好奇。一场全新的、关于重复乘法的秘密，即将在折纸间揭晓。