第四章 · 乘除起落，符号定音
------负负得正，恰如双重否定等同于肯定。对立事物的反向叠加，最终会回归正向结果。
4.1 移步辨向，跑道悟乘
奶茶店打烊后的灯光依然亮着几盏。
林默把最后一叠单据收进抽屉，手指在台面上停了一下------他刚算完的那道混合运算，从正负抵消到去括号化简，每一步都在脑子里过了一遍，没有出错。这对他来说已经不新鲜了，但他还是多停了一下，像是在等一个已经习惯的过程自然结束。
程远坐在靠窗的位置，那本《九章算术》译注本已经合上了，但他的手还放在封面上。他看了一眼林默，没有直接抛出结论，只是随口提起："加减法的正负抵消，你已经很熟练了。那你们有没有琢磨过，两个数不是相加，而是相乘的时候，正负号该怎么处理？"
林默正要回答"乘就是重复加"，话到嘴边又停住了。因为负数乘以负数，好像不是"重复加"那么简单。他知道3×23\times23×2是3加两次，但(−3)×(−2)(-3)×(-2)(−3)×(−2)------"加负三"加两次，终点在哪？他在地砖上走过减法，走过去括号，但他从来没有用"走"的方式想过乘法。
苏晚从收银台边走过来，手里还捏着一支笔。"课本上说，负负得正。但那是结论，不是理由。我只知道负负得正，不知道为什么。"
她的笔在指尖转了一圈，停住。她在3.4刚学会区分"记数"和"运算"，刚学会追问"规则是怎么来的"。现在面对"负负得正"，她发现自己又停在了一个熟悉的边界上------知道结论，不知道来源。她回想起之前的思考方式：不要直接接收答案，先在具体例子当中亲身试一试，规律自然会浮现。"或许我们可以实地走一走，看看会发生什么。"
程远靠在椅背上，没有讲解，只是顺着他们的想法提议："学校操场的跑道刚好可以当作地面上的数轴。明天放学，可以去那边试一试。"
三个人在奶茶店门口分开。苏晚往左，林默往右，程远站在门口等了几秒，才转身往另一个方向走。路灯把三人的影子拉向三个不同的方向。
第二天下午，操场看台上散落着几个空书包。
程远到的比约定的时间早。他没有站在跑道中间，只是闲来无事，在跑道边的草地上找了几颗大小相近的石子，按一定的间隔摆成一条直线------像是把数轴从纸面上搬到了地面上。相邻两颗石子之间的距离大致相等，起点处放了一颗略大的白色石子，正中间的石子代表原点零点。
他摆完之后，站起来退了两步，看了看整条线，然后把代表原点的石子向前推了大约半个手掌的距离，又退回去重新看了一遍，再蹲下来，把石子推回原来的位置。仿佛在提醒：原点只是人为选定的分界，并不是天然固定的。做完这些，他便退到一旁的看台台阶坐下，留出跑道的空间。
林默到的时候，他手里还捏着一颗石子。他没有抬头，只是把那颗石子放在排尾。
苏晚跟在他后面，手里拿着那本《九章算术》的译注本------她在想红黑算筹能不能解释乘法。
林默望向平整的跑道，率先开口："不如我们就用这个地面数轴来做实验，规定向东为正，向西为负。做加法的时候，我们是沿着一个方向一步步往前挪。那乘法该怎么理解？"
苏晚思索片刻："绝对值应该代表走出去的距离。那负号会起到什么作用？会不会是把整套行走动作反转一次？"
程远坐在台阶上，远远应了一句，不做定论："可以试试看。拿3×23\times23×2举例，绝对值告诉我们，每次走2步，一共重复3次；没有负号，不用反转，一直向东走。那(−3)×2(-3)×2(−3)×2呢？"
林默站在原点，向东的方向他已经确认过了。他沿着跑道向东走了三次，每次两步，停在终点。(−3)×2(-3)×2(−3)×2，脑子里带入苏晚刚刚猜想的反转，原本向东的整套行走全部调转，他在脑子里走了三遍向西的路径，最后停在原点的西边------距离6。
"方向变了，步数没变。"他说。
苏晚站在旁边，看着林默走完那条路。她做了笔记，但她的笔停住了一会儿，然后在笔记本上画了两条线------一条往东、一条往西，长度相同，方向相反。她在两条线的末端各写了一个"6"，但在西边的那条线末端加了一个负号。
然后她开口，眼里带着试探："那(−3)×(−2)(-3)×(-2)(−3)×(−2)呢，如果两个负数叠在一起，难道要反转两次？"
程远依旧没有给出答复，只是抬了抬下巴，示意跑道："你们可以走一遍验证自己的猜想。"
苏晚走上跑道。她一开始惯性地直接向西连续走两次，停在向西6步的位置。站在那里，她隐约察觉到这不对，这只完成了一次反转，可算式里一共有两处负号，还缺少一次动作反转。她回到原点，重新走了一次：执行整套行走，再做一次动作反转，每次两步，走三次，最后停在东边6步的位置。
她站在那里，没有立刻高声宣布结果。她站了两秒，像是在确认这个结果是她走出来的，不是书上写的。
"(−3)×(−2)(-3)×(-2)(−3)×(−2)的结果是+6+6+6。"她说完这句话，没有马上坐下。她看了一眼自己走过的路线------从原点出发，经过两次方向翻转，每一步都落在同一条线上。
林默站在另一边，也看见了苏晚走的那条路线。他沿着跑道重新走了一遍(−3)×(−2)(-3)×(-2)(−3)×(−2)。"先转一次，再转一次，回到原来的方向。"他走到终点，停住，低头看了一眼脚下。他踩到的位置和第一天在跑道上画数轴时的位置是同一个------他甚至能认出那一道被球鞋反复踩过的白线。他重新站在那里，像是被同一个位置截住了。
表1：有理数乘法符号法则表
| 算式 | 行走描述 | 方向翻转次数 | 最终方向 | 结果 |
|---|---|---|---|---|
| (+3)×(+2) | 向东走，每次 2 步，走 3 次 | 0 次 | 东（正） | +6 |
| (-3)×(+2) | 向西走，每次 2 步，走 3 次 | 1 次 | 西（负） | -6 |
| (+3)×(-2) | 向东走，步数方向反转 1 次，每次 2 步，走 3 次 | 1 次 | 西（负） | -6 |
| (-3)×(-2) | 向西走，步数方向反转 1 次，整组动作再反转 1 次，每次 2 步，走 3 次 | 2 次 | 东（正） | +6 |
苏晚在笔记本上飞快记下自己实验得出的结论：同号相乘，结果为正。异号相乘，结果为负。她在下面加了一行小字："先定方向，再走步数。"
林默望着地上石子铺出来的数轴，顺着刚才的体验继续往下推演："如果不止两个数相乘呢？每遇到一个负数，就要翻转一次方向。那如果有两个负数，翻转两次，方向复原，结果为正；三个负数，翻转三次，最后方向颠倒，结果为负？"
苏晚顺着他的思路往下梳理，笔尖在纸面上滑动："这么说，几个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数，经过成对翻转抵消，积为正数；负因数的个数是奇数，翻转结束后还保留一次反向，积为负数。"
表2：多因数相乘符号判定表
| 负因数的个数 | 方向翻转次数 | 积的符号 | 示例 | 结果 |
|---|---|---|---|---|
| 0 个 | 0 次（偶数） | 正 | (+2)×(+3)×(+4) | +24 |
| 1 个 | 1 次（奇数） | 负 | (-2)×(+3)×(+4) | -24 |
| 2 个 | 2 次（偶数） | 正 | (-2)×(-3)×(+4) | +24 |
| 3 个 | 3 次（奇数） | 负 | (-2)×(-3)×(-4) | -24 |
| 含 0 | 行走全部取消 | 0 | (-2)×0×(-4) | 0 |
说到这里，林默忽然想到一种特殊情形："那假如乘数里面出现0会怎么样？是不是所有行走直接全部取消，原地不动，结果直接归0？"
"这个猜想说得通。"苏晚点头，把这一条也补充进笔记。
看台台阶上的程远安静听着两人的讨论，等他们停顿下来，才轻轻抛出一个延伸的问题："既然已经摸清乘法符号的规律，那你们有没有思考过，什么样的两个数相乘，结果会等于1？"
这句话点醒了苏晚，她在草稿纸上随手写下几组数字，反复验算。"把分数的分子分母颠倒过来，乘积就是1。正数颠倒之后依旧是正数，负数颠倒依旧是负数。"她顿了顿，又发现一处关键点，"0不行，没有数字和0相乘能够得到1。"
"这一组特殊的数，课本上叫倒数。"程远只报出名词，不再展开讲解。
林默盯着草稿纸上的几道乘法算式，皱起眉头思索。"我做题的时候注意到，调换两个乘数的前后位置，算出来的答案好像不变。"
苏晚伸手在本子上画着行走的示意，慢慢理清其中缘由："调换数字顺序，负号的总数量不变，动作反转的总次数就不会改变，最终走到的位置自然一样。"说着她写下a×b=b×aa\times b = b\times aa×b=b×a，"课本把这个叫做乘法交换律。"
林默受到启发，继续往下想："那好几个数连乘，是不是也可以随便把其中两个先算？不需要严格从左往右一步步算？"
"可以。"苏晚在纸上写下(a×b)×c=a×(b×c)(a\times b)\times c = a\times(b\times c)(a×b)×c=a×(b×c)，"这是乘法结合律，我们可以自由分组计算，不会改变最终的行走结果。"
她又往下多写了一行式子a×(b+c)=a×b+a×ca\times(b+c)=a\times b+a\times ca×(b+c)=a×b+a×c，继续说道："要是括号里面有加法，还可以把乘数分别乘进括号，算完之后再相加，这就是乘法分配律。以后做计算题，这三条规律可以帮我们简化运算。"
表3：有理数乘法运算律汇总表
| 运算律 | 字母表达式 | 行走层面的理解 | 示例 |
|---|---|---|---|
| 交换律 | a×b = b×a | 调换顺序，负号总数不变， 翻转次数不变，终点不变 | (-3)×2 = 2×(-3) |
| 结合律 | (a×b)×c = a×(b×c) | 无论先执行哪两组行走， 最终翻转总次数相同 | (-2)×3×(-4) = (-2)×3×(-4) |
| 分配律 | a×(b+c) = a×b + a×c | 同一段距离分成两段分别走， 最后合起来，终点相同 | 3×2+(-4) = 3×2 + 3×(-4) |
程远始终没有走到跑道中央，大部分时间只是坐在台阶上，看着两个少年自己推演、试错、归纳。等他们把一整套推导整理完毕，林默走到终点的时候低头看了看自己的脚，然后他抬头说了一句话："那个规则------不用背了。我走了一遍，忘不掉了。"
苏晚合上笔记本。她的笔停了一下，像是听到最后一行字从课桌边缘落地的声音------不是结论，是一种不需要补充的句号。
练习与思考
A组 · 基础算理巩固
-
规定向东为正，向西为负。用行走的方式描述下列算式的含义，并写出结果：
（1）(+4)×(−3)(+4)×(-3)(+4)×(−3)
（2）(−4)×3(-4)×3(−4)×3
（3）(+3)×(−2)(+3)×(-2)(+3)×(−2)
-
在跑道上行走验证下列运算，并写出对应算式：
（1）从原点出发，向西走，每次走2步，走5次
（2）从原点出发，向东走，每次走3步，走4次
-
计算（包含小数、分数）：
（1）5×(−3)5×(-3)5×(−3)
（2）(−6)×4.2(-6)×4.2(−6)×4.2
（3）(−212)×(−7)\left(-2\dfrac{1}{2}\right)×(-7)(−221)×(−7)
-
填空：
（1）正数×负数 = ______
（2）负数×正数 = ______
（3）负数×负数 = ______
B组 · 理解深化
-
苏晚在笔记本上写："先定方向，再走步数。"请结合跑道上行走的场景，解释这句话的意思。
-
林默在跑道上验证(−3)×2(-3)×2(−3)×2后说："方向变了，步数没变。"请解释：(−3)×2(-3)×2(−3)×2和3×23\times23×2，在哪些方面一样，在哪些方面不一样？
-
判断对错，错误的请改正：
（1）两个负数相乘，结果为正数
（2）负数乘以正数，结果为负数
（3）同号相乘，结果的符号为正
-
判断下列多因数相乘结果的正负，不用计算具体数值：
（1）(−2)×(−3)×(−1.5)(-2)\times(-3)\times(-1.5)(−2)×(−3)×(−1.5)
（2）(−12)×(−4)×(−2)×(−6)\left(-\dfrac{1}{2}\right)\times(-4)\times(-2)\times(-6)(−21)×(−4)×(−2)×(−6)
（3）(−5.1)×0×(−313)(-5.1)\times 0\times\left(-3\dfrac{1}{3}\right)(−5.1)×0×(−331)
-
写出下列各数的倒数：
（1）−3.2-3.2−3.2
（2）4124\dfrac{1}{2}421
（3）−38-\dfrac{3}{8}−83
C组 · 拓展思考
-
林默说："每个负数都是一次方向翻转。"请用(−3)×(−2)(-3)×(-2)(−3)×(−2)的例子，解释这句话的意思。
-
苏晚在跑道上验证(−3)×(−2)(-3)×(-2)(−3)×(−2)时，一开始走错，之后转向东。请把她正确的行走过程用算式表示出来，并说明为什么结果是+6+6+6。
-
开放题：请用"方向翻转"的思路，解释4×(−3)4×(-3)4×(−3)和(−4)×(−3)(-4)×(-3)(−4)×(−3)的行走过程与结果。
-
运用乘法运算律简便计算：(12−34)×(−16)\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{4}\right)\times(-16)(21−43)×(−16)
章末伏笔
三个人从操场走回小区门口的时候，路灯已经亮了。
林默走在最前面，步子比平时慢。他在想"方向翻转"和"重复加"是两套不同的说法，但它们指向的是同一件事。连续翻转、零因数、倒数、交换律、结合律、分配律，一整套乘法的工具已经握在手里。他不知道哪个更接近乘法的本质，但他知道以后在草稿纸上写着计算步骤前，会先在脑子里走一遍。
苏晚走在他后面，笔记本还拿在手里，没有收进书包。她看了一眼程远------他依然走在最后面，路灯把他的影子投在她翻开的那一页纸上，横跨"正负"两栏，像一道还没有被写进定律的分界线。
她合上本子，继续往前走。明天要学除法。课本写除法可以转化为乘倒数，她还不确定除法和乘法是不是完完全全同一件事，但她在等它自己揭晓。