three.js地图数学基础(一)

坐标不是一个数字：先建立空间账本

地图引擎里最危险的坐标，往往不是算错的坐标，而是没有写明属于哪个空间、采用什么单位、轴朝向哪里 的坐标。{ x: 0.5, y: 0.5 } 可以是世界中心，可以是瓦片内部的一个点，也可以是屏幕中央；只看数值无法判断。

本章先建立全书共用的"空间账本"。后续所有算法------视口覆盖、MVT 解码、几何构建、相机投影、瓦片替换------都必须明确从哪个空间读入数据，又向哪个空间输出数据。

1. 七个必须分开的空间

1.1 地理空间 Geographic

地理空间中的点写作：
$g=( λdeg , φdeg ,hm) g=(\lambda_{deg},\varphi_{deg},h_m)$ g=(λdeg,φdeg,hm)

λ（longitude）是经度，向东为正，单位为度；
φ（latitude）是纬度，向北为正，单位为度；
h 是相对参考面的高度，单位为米。

经纬度不是平面笛卡尔坐标。相同的一度经度，在赤道和高纬地区对应的地表距离不同。因此不能直接把经纬度当作 Three.js 的 x/z 位置，也不能直接对它们做屏幕距离判断。

1.2 归一化 Mercator 空间 Normalized Mercator

将经纬度投影后，本书用一个单位正方形表示完整世界：
$m=(xm,ym),xm,ym∈$ $0,1$ m=(x_m,y_m),\qquad x_m,y_m\in $0,1$ m=(xm,ym),xm,ym∈ $0,1$

约定如下：

x = 0 对应经度 −180°，x = 1 对应 +180°；
y = 0 在北方，y = 1 在南方；
x、y 都是无量纲比例，不是米；
水平方向允许超出 [0, 1]，以表达跨越反经线后的重复世界。

"归一化"把投影公式、瓦片金字塔和渲染尺度解耦。世界可以在某一帧映射为 512、2^20 或任意数量的世界单位，瓦片寻址仍只依赖 [0,1] 比例。

1.3 瓦片地址空间 Tile Address

缩放级别 z 把单位世界沿每个轴分成：
$n=2zn=2^z$ n=2z

份。整数三元组 (z,x,y) 标识一个瓦片。这里的 x/y 是瓦片索引，不是点坐标；它们没有长度单位。

本书还会给地址附加 wrap：
$t=(z,x,y,wrap)t=(z,x,y,wrap)$ t=(z,x,y,wrap)

其中 x 始终保持在规范范围 [0,n-1]，wrap 记录它位于第几个重复世界。这样缓存身份可以使用规范地址，而场景位置仍能区分相邻世界。

1.4 瓦片局部空间 Tile-local

MVT 几何并不直接存储经纬度，而是在每个瓦片内部使用整数网格。若某图层声明 extent = E，则点写作：
$pt=(u,v),u,v 通常位于$ $0,E$ p_t=(u,v),\qquad u,v\text{ 通常位于 } $0,E$ pt=(u,v),u,v 通常位于 $0,E$

单位是 1 / extent 个瓦片边长；
u 向右增大；
v 向下增大；
为了缓冲裁剪边缘，实际几何可以越出 [0,E]。

因此 u=4096 不是 4096 米，也不保证落在瓦片右边界；只有同时知道 extent，它才有含义。

1.5 世界空间 World

渲染器需要一个三维、右手系的笛卡尔空间。本书采用 Three.js 友好的约定：
$pw=(X,Y,Z) p_w=(X,Y,Z)$ pw=(X,Y,Z)

X：Mercator 水平方向，向东为正；
Y：高度方向，向上为正；
Z：Mercator 垂直方向，向南为正；
地图平面位于 X-Z 平面；
Y 与 MVT 的二维 y 完全不是同一轴。

若一整个 Mercator 世界的渲染宽度为 worldSize，则：
$X=xm⋅worldSize,Z=ym⋅worldSize X=x_m\cdot worldSize,\qquad Z=y_m\cdot worldSize$ X=xm⋅worldSize,Z=ym⋅worldSize

高度需要单独决定"米到世界单位"的尺度。第一阶段暂时让 Y 直接使用米，因为我们只展示坐标关系；建筑章节会给出一致的比例换算。

提示（纬度与高程尺度） ：在球面 Web Mercator 投影下，地面平面的"一米"对应的世界单位比例会随纬度 $φ\varphi$ φ 改变（换算系数正比于 $1cos⁡φ \frac{1}{\cos\varphi}$ cosφ1）。虽然当前阶段统一视 $YY$ Y 为米，但在后续实现 3D 建筑与真实高程时，必须引入与纬度相关的尺度修正因子。

1.6 渲染局部空间 Render-local

世界坐标的绝对值会随缩放和世界重复迅速变大，而 GPU 顶点属性通常使用 32 位浮点数。在图形学与地图引擎（如 Cesium、Mapbox）中，这被称为 RTC（Relative to Center） 或 RTE（Relative to Eye） 技术。为保留局部几何细节，每帧选择一个邻近视口的高精度原点 $ow o_w$ ow，先在 CPU 的 Float64 中相减：
$pr=(pw−ow) p_r=(p_w-o_w)$ pr=(pw−ow)

再上传 $pr p_r$ pr。渲染局部空间的原点会移动，但几何之间的相对关系不变。它是数值精度策略，不是新的地理投影。

1.7 裁剪、NDC 与屏幕空间

顶点经过模型、观察、投影矩阵后得到齐次裁剪坐标：
$pc=(xc,yc,zc,wc) p_c=(x_c,y_c,z_c,w_c)$ pc=(xc,yc,zc,wc)

执行透视除法后得到标准化设备坐标（NDC）：
$pn= ( xcwc , ycwc , zcwc ) p_n=\left(\frac{x_c}{w_c},\frac{y_c}{w_c},\frac{z_c}{w_c}\right)$ pn=(wcxc,wcyc,wczc)

WebGL 可见范围为 x,y,z ∈ [−1,1]。最后，宽为 W、高为 H 的画布把 NDC 映射到 CSS 或设备像素：
$xs= xn+1 2 W,ys= 1−yn 2 H x_s=\frac{x_n+1}{2}W,\qquad y_s=\frac{1-y_n}{2}H$ xs=2xn+1W,ys=21−ynH

这里再次发生了 y 轴翻转：NDC 的 y 向上，而 DOM 屏幕坐标的 y 向下。

2. 空间转换表

输入	输出	核心信息	是否可逆	常见损失
经纬度	normalized Mercator	球面 Mercator 投影	限定纬度后可逆	极区被裁去
normalized Mercator	瓦片地址	`floor(2^z x/y)`	不可逆	丢失瓦片内位置
瓦片地址 + tile-local	normalized Mercator	`extent` 与 `wrap`	可逆到量化精度	MVT 整数量化
Mercator	world	`worldSize` 与轴映射	可逆	通常无
world	render-local	高精度局部原点	知道原点即可逆	GPU 转 Float32
render-local	clip	`M/V/P` 矩阵	矩阵可逆时可逆	深度与浮点误差
clip	NDC	除以 `w`	保留 `w` 才可逆	丢弃 `w` 后不可逆
NDC	screen	viewport 与像素比	知道 viewport 即可逆	像素采样

2.1 各空间轴向与原点对照

为了防止在工程编码中混淆轴向翻转（特别是 $YY$ Y 轴与 $VV$ V 轴），下表汇总了各空间的原点及正轴朝向：

空间	原点位置	第 1 轴 ( $X/U/λX / U / \lambda$ X/U/λ)	第 2 轴 ( $Y/V/φY / V / \varphi$ Y/V/φ)	第 3 轴 ( $Z/hZ / h$ Z/h)
Geographic	$(0∘,0∘)(0^{\circ}, 0^{\circ})$ (0∘,0∘) (本初子午线与赤道)	东 (+)	北 (+)	相对参考面高度 $hm h_m$ hm (+)
Normalized Mercator	左上角 (西北角)	东 (+)	南 (+)	---
Tile-local (MVT)	瓦片左上角	右 (+)	下 (+)	---
World (Three.js)	场景中心 / 世界原点	东 (+)	上 (+)	南 (+)
NDC	视口中心	右 (+)	上 (+)	屏幕里 / 远平面 (+)
Screen (DOM)	画布左上角	右 (+)	下 (+)	---

3. 三条工程不变量

不变量一：名字必须暴露空间

优先使用 mercatorX、tileY、localPosition、screenPoint，不要在跨模块接口中只写 x/y。内部的短变量可以简洁，但边界必须自描述。

不变量二：转换发生在明确的所有者中

经纬度投影属于数学模块；
MVT extent 到瓦片比例属于几何构建阶段；
世界到 render-local 的减法属于渲染帧或 GPU runtime；
NDC 到屏幕像素属于视口模块。

如果多个模块都"顺手"完成一半转换，就很难判断重复缩放、轴翻转和精度损失发生在哪里。

不变量三：比较之前先统一空间

不能直接比较"相机到瓦片的世界距离"和"屏幕上的像素阈值"。视口选择使用 Mercator/世界空间的覆盖关系，交互命中使用屏幕射线，缓存优先级使用已经定义过的屏幕贡献或树距离。任何跨空间比较都必须展示换算。

4. 一次完整点变换

以上海教学视图中心 (121.4737°, 31.2304°) 为例：

地理坐标投影为 normalized Mercator，约为 (0.8374269444, 0.4086037247)；
在 z=13，乘以 8192 后取整，得到瓦片列/行；
根据瓦片左上角和 MVT extent，把局部整数恢复为 Mercator 比例；
乘 worldSize 并将 Mercator y 放到 Three.js 的世界 Z；
在 Float64 中减去视口附近原点，得到小数值的 render-local 坐标；
由 P·V·M 变换为 clip，再除以 w 得 NDC；
由 viewport 转为屏幕像素。

每一步都应能回答四个问题：输入空间是什么、输出空间是什么、单位是什么、是否丢失信息。这四问将贯穿整本手册。

5. 本章边界

本书采用球面 Web Mercator 和二维平面地图。椭球测地线、地形表面、地球曲面和三维地心坐标会改变距离、高度和可见性计算，但不会改变"先明确空间再写算法"的原则。后续章节只在边界说明这些差异，不把它们混入当前实现。

下一章将推导从 (λ,φ) 到 normalized Mercator 的精确公式，并解释为什么纬度必须截断。