前缀和与差分

一只小小的芙厨2026-08-21 14:57

递推公式：prefix $i$ = prefix $i-1$ + arr $i-1$ （下标从1开始）

区间和计算：sum $l, r$ = prefix $r$ - prefix $l-1$

d $L$ +=cd $L$ += cd $L$ +=c

d $R+1$ −=cd $R+1$ -= cd $R+1$ −=c（若 R+1>nR+1 > nR+1>n 则忽略）

通过一维前缀和还原

三 . 二维前缀和

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pre[i][j] = a[i][j] + pre[i-1][j] + pre[i][j-1] - pre[i-1][j-1]

mat[i][j]是当前元素

pre[i-1][j]是上方矩形区域的和

pre[i][j-1]是左侧矩形区域的和

pre[i-1][j-1]是被重复计算的部分，需要减去

查询

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sum = pre[x2][y2] - pre[x1-1][y2] - pre[x2][y1-1] + pre[x1-1][y1-1]

pre $x2$ $y2$ 是整个大矩形区域的和

减去上方不需要的区域pre $x1-1$ $y2$

减去左侧不需要的区域pre $x2$ $y1-1$

加上被重复减去的左上角区域pre $x1-1$ $y1-1$

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D[x1][y1]+=c     // 影响右下所有区域
D[x1][y2+1]−=c  // 抵消右侧多余区域
D[x2+1][y1]−=c  // 抵消下方多余区域
D[x2+1][y2+1]+=c // 补偿重复抵消区域

原理‌：通过四个位置的增减，使修改仅作用于目标子矩阵（容斥原理）

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for (int i = 1; i <= n; i++)
  for (int j = 1; j <= m; j++)
    D[i][j] = A[i][j] - A[i-1][j] - A[i][j-1] + A[i-1][j-1];