【c++】二叉搜索树

啊啊啊啊啊！！！！2026-08-23 10:11

前言

上一期了解了多态的定义、条件、原理以及其中的隐藏、重写等知识。在这一期跟进一步学习c++知识二叉搜索树，理解什么树是二叉搜索树，是如何进行插入，查找，删除的。并且进行性能分析，以及代码实现。进而探索key和key-value的区别与使用场景。

二叉搜索树

key

二叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

1、若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值

2、若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值

3、它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树

4、⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，后续我们学习map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值

二叉树性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为： log2 N

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为： N

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为： O(N)

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，我们后续课程需要继续讲解⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现 O(log2 N) 级别的查找效率，但是**⼆分查找有两⼤缺陷**：

  1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。

  2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数

据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

二叉搜索树的插入

插⼊的具体过程如下：

  1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

  2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。

  3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

复制代码 
	//插入
	bool insert(const k& key)
	{
		//空树
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(key);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}

			if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(key);
		if (parent->_key > key)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		return true;
	}

二叉搜素树的查找

  1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

  2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

  3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回

  4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

复制代码 
		bool find(const k& key)
		{
			Node* cur = _root;
			while (cur)
			{
				if (cur->_key > key)
				{
					cur = cur->_left;
				}

				if (cur->_key < key)
				{
					cur = cur->_right;
				}
				else
				{
					return true;
				}
			}
			return false;
		}

二叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

  1. 要删除结点N左右孩⼦均为空

  2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空

  3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空

  4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

对应以上四种情况的解决⽅案：

  1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）

  2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

  1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点
  1. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。
复制代码 
bool erase(const k& key)
{
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{

		if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}

		else if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else
		{
			// 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可
			// cur左边为空
			if (cur->_left = nullptr)
			{
				//cur就是_root
				if (parent == nullptr)
				{
					_root = cur->right;
				}
				//cur在parent左边
				if (parent->_left = cur)
				{
					parent->_left = cur->_right;
				}
				//cur在parent右边
				else
				{
					parent->right = cur->_right;
				}

			}

			delete cur;
			return true;

			//cur右边为空
			else if (cur->_left = nullptr)
			{
				//cur就是_root
				if (parent == nullptr)
				{
					_root = cur->left;
				}
				//cur在parent左边
				if (parent->_left = cur)
				{
					parent->_left = cur->_left;
				}
				//cur在parent右边
				else
				{
					parent->right = cur->_left;
				}

			}

			delete cur;
			return true;
			else
			{
				// 2个孩⼦的情况
				// 删除情况4，替换法删除
				// 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除
				// 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删
				//除8的情况
				// ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。
				Node* rightMinP = cur;
				Node* rightMin = cur->_right;
				while (rightMin->_left)
				{
					rightMinP = rightMin;
					rightMin = rightMin->_left;
				}
				cur->_key = rightMin->_key;
				if (rightMinP->_left == rightMin)
					rightMinP->_left = rightMin->_right;
				else
					rightMinP->_right = rightMin->_right;
				delete rightMin;
				return true;
			}

			delete cur;
			return true;
		}
	}
    return false;
}

到这里二叉搜索树的主要功能实现完了，接下来实现一些边边角角。

二叉搜索树是通过指针的方式将一个个节点串联起来的。因此需要先创建节点

节点的创建

复制代码 
//节点
template<class k>
struct BSTNode
{
	k _key;
	BSTNode<k>* _left;
	BSTNode<k>* _right;

	BSTNode(const k& key)
		:_key(key)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{ }

};

在这里为了检验代码写的是否正确，实现一个中序遍历（其打印出的是升序数组）

复制代码 
	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}


private:


	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}
		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_key << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}

在这里套一层是因为_root是私有的所以通过这种方式。

并且将构造函数加上

复制代码 
// 强制生成构造
		BSTree() = default;

		BSTree(const BSTree& t)
		{
			_root = Copy(t._root);
		}

		BSTree& operator=(BSTree tmp)
		{
			swap(_root, tmp._root);
			return *this;
		}

		~BSTree()
		{
			Destroy(_root);
			_root = nullptr;
		}

上面整体是只有一个key的情况，接下来我将key-value的代码写出来，总体与只有一个key的差的不多，仅有一部分发生变化。

key-value

首先就是节点结构中多了value

复制代码 
template<class k, class v>
struct BSTNode
{
	k _key;
	v _value;
	BSTNode<k, v>* _left;
	BSTNode<k, v>* _right;

	BSTNode(const k& ke, const v& value)
		:_key(key)
		, _value(value)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
	{}

};

其次就是插入需要把这个value也加上，是为了在创建节点时能够进行赋值。跟不参与比较。

复制代码 
bool Insert(const K& key, const V& value)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(key, value);
		return true;
	}
	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_key < key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_key > key)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}
	cur = new Node(key, value);
	if (parent->_key < key)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}
	return true;
}

其他的几乎没有变化。

⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。

场景2：检查⼀篇英⽂ 章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1：简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

场景3：统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

到这里就结束，感谢支持！！！

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