在不同空间中展示数据（欧式、球面、庞加莱圆盘）

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本文参照了Geomstats的官方教程，对不同流形上的数据进行了展示。

欧式空间

我们平时接触最多的就是欧式空间，在geomstats中，可创建一个Euclidean对其实现。下面创建一个欧氏空间，并计算其上两个随机点的平均值，效果如下，没什么好说的，初中几何。

python 复制代码

import geomstats.backend as gs
gs.random.seed(2020)
from geomstats.geometry.euclidean import Euclidean

euclidean = Euclidean(dim=2, equip=False)
ptsLS = euclidean.random_point(n_samples=2)

avg = gs.sum(ptsLS, axis=0) / 2

import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = 'Times New Roman'

ax = plt.subplot()
ax.scatter(ptsLS[:, 0], ptsLS[:, 1], label="Points")
ax.plot(ptsLS[:, 0], ptsLS[:, 1], linestyle="dashed")

ax.scatter(gs.to_numpy(avg[0]), gs.to_numpy(avg[1]),
    label="Mean", s=80, alpha=0.5)

ax.set_title("Mean of points in a linear space")
ax.legend()
plt.show()

超球面

同样是求平均值的问题，如果挪用到超球面上，那么问题可能会发生变化。按照欧式空间的做法，球面上任意两点，其平均值一定不在球面上，为了让平均值操作在球面上仍然有意义，就需要在测地线上取平均值。

在geomstats中，通过实现【Hypersphere】对象，即可创建一个超球面，最终求得平均值如下

python 复制代码

from geomstats.geometry.hypersphere import Hypersphere

sphere = Hypersphere(dim=2, equip=False)
ptsHyper = sphere.random_point(n_samples=2)
avg = gs.sum(ptsHyper, axis=0) / 2

import geomstats.visualization as visualization

ax = plt.subplot(projection="3d")
visualization.plot(ptsHyper, ax=ax, space="S2", label="Point", s=80)

ax.plot(ptsHyper[:, 0], ptsHyper[:, 1], ptsHyper[:, 2],
    linestyle="dashed", alpha=0.5)

ax.scatter(avg[0], avg[1], avg[2], label="Mean", s=80, alpha=0.5)

ax.set_title("Mean of points on a manifold")
ax.legend()
plt.show()

绘图代码中，S2表示三维球面。

双曲空间

karate_graph数据集是一组关于社交关系的网络，常被用于图上聚类的研究。下面调用这组数据集，并在庞加莱圆盘上展示这组数据，效果如下

在庞加莱圆盘中，圆盘中心处图形的大小看起来是正常的，但越靠近圆盘的边缘，图形在视觉上就变得越小，而圆盘的圆周则直接表示无穷远。如果将上图画在欧式空间中，外围的点间距离会迅速变大，影响读图。

代码如下

python 复制代码

import geomstats.datasets.utils as data_utils
karate_graph = data_utils.load_karate_graph()
from geomstats.datasets.prepare_graph_data import HyperbolicEmbedding

hyperbolic_embedding = HyperbolicEmbedding(max_epochs=20)
embeddings = hyperbolic_embedding.embed(karate_graph)
disk = visualization.PoincareDisk(coords_type="ball")
ax = plt.subplot()
disk.set_ax(ax)
disk.draw(ax=ax)
ax.scatter(embeddings[:, 0], embeddings[:, 1])
plt.show()

【HyperbolicEmbedding】是用于计算庞加莱嵌入的类，随后调用【embed】方法，将karate_graph数据嵌入到双曲空间中，经过20轮迭代，即可将其绘制在庞加莱圆盘上。