微分几何

拓扑学基本概念——流形(manifold)在数学中，流形是一种拓扑空间，它在每一个点附近局部类似于Euclid空间。更准确地说，n维流形(简称n流形)是一种拓扑空间，其每一个点都存在一个邻域，该邻域同胚(即满足连续性的同构)于n维Euclid空间的一个开子集。为了说明这个概念，我们可以对比古代认为地球是平的与现代证据表明地球是圆的这一观点。这种差异本质上源于这样一个事实：在我们所观察到的小尺度上，地球看起来确实是平的。一般来说，任何在小尺度上近乎“平”的物体都是一个流形，因此，流形构成了我们可能居住的物体的推广，在这些物体中，我们会遇到地球是圆的

Python数学：几何运算几何运算是使用数学方法研究空间中的点、线、面、体等几何对象的性质和关系的计算过程。它通过代数、向量和微积分等工具，解决几何图形的测量、变换、关系和空间分析等问题。本篇介绍欧几里得几何运算、解析几何运算、射影几何运算和微分几何运算。

推前映射（Push forward）和拉回映射（Pull back）最近，学习到了微分几何的“迷雾区”——推前映射（Push forward）和拉回映射（Pull back）。推前映射比较容易理解，从一个切空间映射到另一个切空间。但是，余切空间（切空间的对偶空间）之间的拉回映射，开头给我整懵圈了（从数学层面，容易符号化推理出来，但是找不到对应的物理意义，就完全不知道为什么这样定义，感觉就像搞着玩一样）。结合机器人学，进行了进一步的思考（知道了为什么这么定义，不是瞎定义的），所以，记录如下。本博客阅读预备知识：已经知道微分几何中的推前映射和拉回映射（包括切空间和余切空间

我是有底线的