FANG Y C, GUAN J Y, SHEN Q, et al. Enhanced timing of a 113 km O-TWTFT link with digital maximum likelihood estimation processJ/OL. arXiv:2505.03131, 2025.
基于数字极大似然估计过程增强113公里O-TWTFT链路的时间传递
方玉晨1,2,3^{1,2,3}1,2,3，关建宇2,3^{2,3}2,3，沈奇1,2,3^{1,2,3}1,2,3，韩金建1,2,3^{1,2,3}1,2,3，侯磊2,3^{2,3}2,3，练孟哲1,2,3^{1,2,3}1,2,3，王勇4^{4}4，刘维岳2,3,5^{2,3,5}2,3,5，任继刚1,2,3^{1,2,3}1,2,3，彭承志1,2,3^{1,2,3}1,2,3，张强1,2,3^{1,2,3}1,2,3，姜海峰1,2,3^{1,2,3}1,2,3，潘建伟1,2,3^{1,2,3}1,2,3
1^{1}1中国科学技术大学微尺度物质科学国家研究中心及物理学院，中国合肥
2^{2}2中国科学技术大学上海量子科学研究中心及中国科学院量子信息与量子科技创新卓越中心，中国上海
3^{3}3中国科学技术大学合肥国家实验室，中国合肥
4^{4}4中国科学院新疆天文台，中国乌鲁木齐 830011
5^{5}5宁波大学信息科学与工程学院，中国宁波 315211
摘要
基于光学频率梳并采用**线性光学采样（LOS）**的光学双向时间频率传递（O-TWTFT）是未来大规模光钟同步的一种极具前景的方法。它兼具高时间分辨率和大无模糊范围的双重优势。在建立长距离自由空间光链路中的一个关键挑战是提高探测灵敏度。特别是在超低接收功率水平下，线性光学采样的时间提取算法引起的误差成为制约系统灵敏度的显著障碍，甚至超过了量子极限所施加的限制。在这项工作中，我们引入了复最小二乘（CLS）方法来同时提高时间提取的精度和灵敏度。与以往大多数仅依赖相位信息的方法不同，我们的方案采用了一种同时结合幅度与相位数据的极大似然估计技术。我们在平均链路损耗高达100 dB的113 km自由空间链路上进行的实验，实现了0.1 nW的创纪录最小接收功率，比先前的基准降低了十倍以上。其精度也接近了量子极限。
引言
光钟的发展推动了在全球范围内建立高精度时间与频率传递系统的需求。最先进的光钟已经实现了10−1910^{-19}10−19量级的卓越不稳定度和不确定度水平1−5^{1-5}1−5，比最好的基准频率标准高出了一个数量级以上。这些精度水平对于秒的重新定义6^{6}6和精密大地测量学7,8^{7,8}7,8等应用至关重要。虽然基于光纤的链路可以满足这些需求，但其在不久的将来的全球部署受到成本和复杂性的阻碍。
当前全球的时间和频率传递依赖于基于卫星的中继。但没有一种能够满足光钟频率传递的要求。由于嘈杂且不稳定的多变大气条件，星地链路需要较大的时间无模糊范围以实现连续运行。作为载波的传统微波信号由于其时间分辨率较低，将长期不稳定性限制在几皮秒。使用脉冲激光器和光电探测器的激光链路时间传递（T2L2）也面临类似的局限性9,10^{9,10}9,10。
最可行的解决方案是光学双向时间频率传递（O-TWTFT），它采用相干脉冲激光列（即光学频率梳，OFC）的双向传输并结合线性光学采样（LOS）11^{11}11。LOS方法涉及将本地OFC与具有微小重复频率差的接收OFC进行干涉，从而使本地光梳的脉冲能够连续遍历信号脉冲。OFC的纳秒级脉冲间隔提供了较大的时间无模糊范围，有利于链路在中断后重新连接。
实现星地O-TWTFT链路需要克服从数十到一百多dB的传输损耗，具体取决于距离和光学收发器的有效口径。在2022年，我们展示了一条89 dB、113 km的O-TWTFT链路，在10,000秒时的不稳定性达到10−1910^{-19}10−19，使用的OFC功率高达1 W，探测灵敏度在纳瓦量级12^{12}12。这种对损耗的高容忍度适用于GEO/IGSO星地链路，但对于地月链路等深空应用来说仍显不足。
为了提高损耗容限，NIST团队开创性地利用了两个具有相同重复频率的OFC之间的光学干涉，采用可编程OFC进行连续的信号光梳跟踪13^{13}13。这种方法将灵敏度提高到约330飞瓦，使得损耗高达102 dB的300公里光学链路成为可能14^{14}14。尽管该系统能够处理地月链路的高损耗，但实际链路中快速的多普勒效应需要对可编程OFC进行快速且大范围的相位调谐以实现连续跟踪，这带来了进一步的挑战和系统复杂性。
在本研究中，我们提出了一种创新的方法来增强系统对信号损耗的抵抗力，利用了对传统LOS技术的基于软件的增强。该方法不仅保留了LOS在处理多普勒频移方面的固有优势15^{15}15，而且显著提高了其灵敏度。LOS框架内探测灵敏度的主要瓶颈源于时间提取算法，这一限制甚至超过了量子噪声底。我们提出了一种新型时间提取算法，旨在提高时间测定的精度和灵敏度。该解决方案为现有LOS系统提供了低成本升级，仅需额外的数据处理能力即可。
本文结构如下：在第二节中，我们介绍了针对LOS结果量身定制的新型时间提取算法。第三节详细介绍了我们的实验装置和参数。在第四节中，我们将我们算法的性能与以往的方法进行了比较。最后，第五节对我们的研究结果进行了简要总结。
图 1 ：(a) O-TWTFT的时域图像：两个终端相互发射光频梳脉冲序列，其重复频率分别表示为fr1f_{r1}fr1和fr2f_{r2}fr2，二者偏置了一个微小的频差Δfr\Delta f_{r}Δfr。(b) 图的上半部分给出了说明光梳1（蓝色）和光梳2（红色）的光谱示意图。两梳干涉并在适当滤波后产生一系列拍频。图的下半部分描绘了CLS算法的原理图。干涉图在经过傅里叶变换并针对初始干涉图归一化后，所得图案在由复平面和频率轴构成的空间中理论上形成一条螺旋线。
时间提取算法
光学双向时间频率传递（O-TWTFT）利用线性光学采样（LOS）通过计算精确的时间差来实现远程时钟的飞秒级精确同步。如图 1a 所示，我们采用两个光学频率梳------一个工作在重复频率frf_{r}fr的本地光梳和一个具有偏差Δfr\Delta f_{r}Δfr的接收光梳。外差探测以Δfr\Delta f_{r}Δfr的速率产生带有时间戳的干涉图，每个干涉图都经过傅里叶变换以产生其光谱相位θ(ν,n)\theta(\nu,n)θ(ν,n)。在此，ν\nuν表示傅里叶频率，nnn表示第nnn个干涉图。初始干涉图θ(ν,0)\theta(\nu,0)θ(ν,0)充当参考，相位差θ(ν,n)−θ(ν,0)\theta(\nu,n)-\theta(\nu,0)θ(ν,n)−θ(ν,0)与傅里叶频率ν\nuν呈线性关系，其斜率编码了目标时间差。
一维相位解包裹领域16^{16}16存在研究空白。常用的Itoh算法17^{17}17在存在系统噪声时性能迅速下降。其他方法，例如基于卡尔曼滤波18,19^{18,19}18,19或深度学习16,20^{16,20}16,20的方法，计算量大且未针对O-TWTFT进行优化。即使是Shen等人21^{21}21开发的更适用的算法，在显著噪声下也难以应对。
傅里叶变换将干涉图的时域信息转换到频域，以相位和幅度为特征。以往用于O-TWTFT的相位解包裹算法（如Shen等人21^{21}21）仅关注相位，忽略了幅度信息。我们提出了一种新颖的相位解包裹算法，该算法同时利用频域的虚部和实部，从而充分利用了干涉图的全部信息内容。众所周知的事实是，白噪声在经过离散傅里叶变换后，在实部和虚部中都保持其特性。此外，在白噪声条件下，最小二乘拟合等价于极大似然估计（MLE）22^{22}22。MLE因其优良的数学性质而备受推崇，包括一致性、渐近正态性和有效性23^{23}23。利用这些属性，我们对经过傅里叶变换的干涉图的复数结果应用最小二乘拟合方法，这在此背景下等价于MLE。
如图 1(b) 所示，傅里叶变换后的干涉图光谱在三维空间中表示，频率、实部和虚部分别沿xxx轴、yyy轴和zzz轴。在无噪声的情况下，当干涉图与初始干涉图进行处理比对时，相位差的线性度理论上会产生一条螺旋曲线。该螺旋曲线由三个参数定义：衰减系数β\betaβ、初始相位差项γ\gammaγ和公差α\alphaα。使用最小二乘法的曲线拟合可以通过斜率α\alphaα计算单向时延，并提供幅度系数β\betaβ，这对于确定干涉图的接收功率至关重要。补充材料中提供了该算法的详细解释和进一步阐述。该算法不仅保留了干涉图的完整信息，而且利用了MLE的良好性质，显著提高了估计时间差的精度。
实验装置
为了严格评估我们提出的CLS算法的性能，特别是在低信噪比场景下的性能，我们在新疆乌鲁木齐开展了一系列实验，以评估跨越强损耗链路的时频传递。我们使用来自该高损耗链路的同一组干涉图数据集，将CLS算法与Shen等人先前的算法21^{21}21进行了比较。我们的实验配置与Shen等人报道的配置高度一致12^{12}12。如图 2 所示，两个终端分别位于南山和高崖子，相距113 km，均配备有一台超稳激光器（USL）、两台高功率OFC、两个LOS模块、两个计算模块和光学收发望远镜。通过在共享的自由空间信道内采用频率复用，我们建立了两个独立的双向时间频率传递链路。我们特意增加了1545 nm链路上的损耗，以生成用于算法比较的数据集，并使用损耗较低的1563 nm链路作为对照。
每个终端都装有一台在1秒时不稳定性为3×10−153\times10^{-15}3×10−15且波长（λ\lambdaλ）为1550.12 nm的USL，用作参考时钟源。光学锁相到USL的OFC用作载波和参考信号。1545 nm OFC工作在250 MHz重复频率，两终端之间的重复频率差为2.5 kHz；而1563 nm OFC具有200 MHz重复频率，重复频率差为2 kHz。为了抵消显著的链路损耗，我们使用了两级高功率掺铒光纤放大器（EDFA），实现了1 W的输出功率和20 nm的滤波光谱。由于EDFA的增益区限制，两个波长的OFC的3 dB带宽被限制在约7 nm。在LOS模块中，干涉数据被探测、数字化并发送到计算模块进行处理。具有自动方向跟踪功能的光学收发望远镜采用正交偏振方案来区分发射和接收的OFC，在双向传输中提供了充分的隔离度，并模拟了具有相对角运动区分前向和后向传输的星地场景。
为了模拟星地链路条件，我们实施了两种策略来提高1545 nm链路的损耗。首先，在1545 nm链路的南山端设置的光衰减器降低了两个终端干涉图的接收功率。其次，有意对光路进行失准进一步降低了1545 nm链路上干涉图的接收功率。
1545 nm处增加的链路损耗导致信噪比降低，使有效数据的提取复杂化。有关数据滤波过程的更多细节在补充材料中提供。
1563 nm链路表现出约75 dB的平均链路损耗。在此类损耗下的性能已在先前的实验中得到验证12^{12}12。相比之下，1545 nm链路经历了显著更高的平均链路损耗，估计为90 dB。链路损耗是根据干涉图的接收功率计算的，详见补充材料。我们将两种算法应用于来自高损耗1545 nm链路的干涉图数据集，而由于先前算法公认的有效性，将其用于1563 nm链路。两条链路结果之间的差异突显了1545 nm链路中存在的固有误差。
图 2 ：实验装置：该示意图展示了两条自由空间链路，其中黄色为1545 nm链路，蓝色为1563 nm链路。下部详细说明了计算模块内部的计算步骤，包括使用CLS算法和先前算法21^{21}21执行的用于对比分析的相位解包裹过程。
结果
图 3(a) 给出了CLS算法和先前算法的时间偏差（TDEV）。在较短的平均间隔内，两种算法的TDEV均呈现下降趋势，其斜率与平均时间（τ\tauτ）的平方根成反比。值得注意的是，在每个平均点上，CLS算法都表现出比先前算法更高的稳定性。CLS算法的TDEV从50 fs开始，在约100秒内改善至1 fs，而先前的算法则从较高的80 fs TDEV开始。CLS算法还收集了更多的有效数据，平均数据速率为每秒280个样本，而先前算法为每秒130个样本，后者在处理接收功率小于1 nW的数据时显得十分吃力。对于小于100秒的平均时间，先前的算法无法达到CLS算法的性能。此外，当以最佳原子钟为基准进行对比时，与CLS算法相连的性能展现出更优越的长期稳定性。为了探索CLS算法的性能极限，我们还给出了在0.1 nW功率下的TDEV曲线，表明即使在低数据速率下，CLS算法的TDEV在10,000秒平均时间下也可以达到亚飞秒量级。有关选择特定接收功率和过滤有效数据的详细信息可以在补充材料中找到。
图 3(b) 说明了两种算法结果的标准差。随着信号功率的降低，干涉图的信噪比减小，导致结果的标准差增加。CLS算法的曲线始终低于先前算法的曲线，表明其在低信噪比条件下降低估计误差的有效性。在极低信噪比场景下，两种算法都可能产生明显偏离真实值的错误结果。我们将算法的最小接收功率定义为其99%的输出数据落在三倍标准差之内的阈值。CLS算法的最小接收功率约为0.1 nW，而先前算法约为1 nW。图 3(b) 还显示了由公式26,27^{26,27}26,27给出的基本量子极限：
σt2≈τp2SNR\sigma_{t}^{2}\approx\frac{\tau_{p}^{2}}{SNR}σt2≈SNRτp2
其中τp\tau_{p}τp表示无啁啾光频梳脉冲的强度半高全宽（FWHM），SNRSNRSNR是接收机的信噪比。在低接收功率条件下，不稳定性接近由该公式定义的量子噪声极限。
图 3 ：(a) CLS算法与先前算法的时间偏差（TDEV）曲线。CLS算法的性能优于先前算法半个数量级。先前算法的平均接收功率为3.8 nW，而CLS算法为2.2 nW，反映了它们各自的最小接收功率能力。CLS算法在0.1 nW滤波数据下的TDEV曲线在长积分时间下与其他曲线平行，表明对长期稳定性的影响可忽略不计。为了进行比较，还显示了顶级光钟的性能24,25^{24,25}24,25。(b) 描绘了标准差与接收功率之间的关系，蓝线代表CLS算法，橙线代表先前算法。CLS算法的性能接近由黄线表示的量子噪声极限。
结论
CLS标志着相位解包裹方法的重大进步，尤其在低接收功率和低信噪比条件下表现优异。该算法不仅减少了波动，而且提高了精度，大幅改善了光学双向时间频率传递（O-TWTFT）系统中时间频率传递的稳健性和准确性。通过采用CLS算法，数据速率从每秒130个样本提高到280个样本，标准差从80飞秒降低到50飞秒。最小接收功率要求也从1 nW大幅降低到0.1 nW。这种增强的探测灵敏度将LOS系统的运行距离扩展了三倍以上。配合瓦级OFC，我们的CLS算法可以承受超过100 dB的损耗，使其在地月链路应用中变得可行。在地轨星地场景中，这意味着可以使用功率更低的OFC和更小的望远镜，从而优化资源效率。值得注意的是，我们的方法不需要硬件改动，代表了星地时频传递领域向前迈出的关键一步。
本研究得到了中国国家重点研发计划（项目编号：2020YFC2200103，2020YFA0309800）；国家自然科学基金（项目编号：T2125010）；中国科学院战略性先导科技专项（项目编号：XDB35030000）；安徽省量子信息技术先导项目（项目编号：AHY010100）；山东省重点研发计划（项目编号：2021ZDPT01）；上海市市级科技重大专项（项目编号：2019SHZDZX01）；量子科技创新计划（项目编号：2021ZD0300100，2021ZD0300300，2021ZD0300903）的资助。
方玉晨与关建宇对这项工作贡献相同。
补充材料
CLS 算法
CLS算法的详细描述
为了计算当前干涉图的时延，我们的方法涉及构建一个以时延为参数的模型，然后在频域中最小化模型预测值与采样的干涉图之间的差异。该方法有助于实现对时延的精确估计。为了构建干涉图的预测模型，我们需要初始干涉图的幅度和相位信息。如图 4 所示，初始帧在傅里叶变换后被映射到复平面上。这产生了一系列表示为A1,A2,A3,A4,A5,...A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},...A1,A2,A3,A4,A5,...的点，每个点由其各自的幅度r1,r2,r3,r4,r5,...r_{1},r_{2},r_{3},r_{4},r_{5},...r1,r2,r3,r4,r5,...和相位角θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,...\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\theta_{4},\theta_{5},...θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,...表征。图 5 描述了CLS算法的参数和拟合过程。我们将离散傅里叶变换后获得的每个点视为一个样本，点C1,C2,C3,C4,C5,...C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},C_{5},...C1,C2,C3,C4,C5,...代表我们的采样结果。我们现在的目标是从这些采样结果中估计我们模型的参数。我们的模型有三个参数，在物理上表示当前干涉图相对于初始干涉图的幅度和相位变化。具体而言，β\betaβ表示幅度衰减系数，而α\alphaα和γ\gammaγ表征相位变化。根据线性光学采样理论11^{11}11，当前帧与初始帧之间的相位差对频率构成等差数列；因此只需要两个参数：α\alphaα代表等差数列的公差，γ\gammaγ代表初始相位，从而完整表征相位变化。
一旦建立了模型的参数，我们就可以继续预测每个样本的值，这些值由点B1,B2,B3,B4,B5,...B_{1},B_{2},B_{3},B_{4},B_{5},...B1,B2,B3,B4,B5,...表示。例如，B3B_{3}B3的幅度由βr3\beta r_{3}βr3给出，其相位角由γ+2α+θ3\gamma+2\alpha+\theta_{3}γ+2α+θ3给出。预测值与采样值之间的差异表示为eke_{k}ek。我们的目标是确保预测点尽可能接近采样点。为了实现这一目标，我们应用最小二乘法，旨在最小化残差平方和，由以下公式表示：
minimizeα,β,γ∑kek2\underset{\alpha,\beta,\gamma}{minimize}\sum_{k}e_{k}^{2}α,β,γminimizek∑ek2
在此，我们描述CLS算法的具体步骤：
- 模型建立 ：
对初始帧和当前帧都执行离散傅里叶变换，将幅度和相位信息映射到复平面上。然后建立一个模型，以封装当前干涉帧相对于初始帧的幅度和相位变化，该模型由参数α\alphaα、β\betaβ和γ\gammaγ参数化，分别表示相位变化率、幅度衰减系数和初始相位偏移。 - 构造目标函数 ：
将目标函数公式化为模型预测值与观察到的当前帧值之间残差的平方和：
L(α,β,γ)=∑k∣Bk−Ck∣2L(\alpha,\beta,\gamma)=\sum_{k}\vert{}B_{k}-C_{k}\vert{}^{2}L(α,β,γ)=k∑∣Bk−Ck∣2
其中BkB_{k}Bk表示第kkk个点的模型预测复数值，而CkC_{k}Ck表示当前帧离散傅里叶变换结果的第kkk个点。
- 最小化目标函数 ：
使用牛顿法实现目标函数的迭代最小化。为了降低收敛到局部极小值的风险，在迭代中使用多个初始起点。
- 结果输出 ：
在拟合过程完成后，使用确定的参数α\alphaα计算时间延迟，并使用参数β\betaβ计算干涉图的幅度或接收功率。初始相位也被导出，它对应于当前帧的载波相位。
图 4 ：傅里叶变换后复平面上初始帧数据点的描绘。绿色点A1,A2,A3,A4,A5,...A_{1},A_{2},A_{3},A_{4},A_{5},...A1,A2,A3,A4,A5,...以其各自的大小r1,r2,r3,r4,r5,...r_{1},r_{2},r_{3},r_{4},r_{5},...r1,r2,r3,r4,r5,...和相位角θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,...\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\theta_{4},\theta_{5},...θ1,θ2,θ3,θ4,θ5,...呈现。
图 5 ：应用于离散傅里叶变换数据的CLS算法运行示意图。预测值由红色点BkB_{k}Bk表示，实际数据点由蓝色CkC_{k}Ck显示，残差eke_{k}ek指示差异。该算法的目标是最小化这些残差的平方和（在此处复平面中表示），以改进信号的参数估计。
CLS算法的理论分析
在本节中，我们从理论上讨论CLS算法的性质，证明它实际上是参数的极大似然估计（MLE）。
我们在分析模型时的一个基本假设是，数据中存在的噪声可以建模为高斯噪声。
根据关于噪声离散傅里叶变换的文献，时域白噪声在经历离散傅里叶变换后，在复平面上转化为沿实轴和虚轴的白噪声。因此，在处理复数数据时，要考虑的噪声仍然是高斯白噪声。
此外，根据在独立分布高斯白噪声前提下将最小二乘估计等同于MLE的文献22^{22}22，这两种估计是等价的。
在某些正则性条件下，理论统计推断假定MLE产生渐近正态、一致且渐近有效的结果23^{23}23。
- 渐近正态性：该概念指出，随着样本量的增加，MLE的分布将近似正态分布。
- 渐近一致性：渐近一致性意味着随着样本量的增加，MLE的期望值收敛到真实参数值。
- 渐近有效性：渐近有效性表示，在所有无偏估计量中，当样本量很大时，MLE将具有尽可能最小的方差。
我们先前已经确立了CLS方法等价于MLE，并且可以验证我们关于时延的估计符合这些正则性条件。另一方面，我们的实验装置能够每秒生成数百甚至数千个样本，轻松满足渐近性质的样本量要求。
总之，所提出的用于计算时延的CLS算法表现出以下有利的统计特征：
- 结果呈现正态分布，表明异常值极少发生。
- 在时延的估计中不存在偏差，确保了估计的可靠性。
- 在所有可能的无偏算法中，CLS实现了最低的误差方差，表明其具有卓越的精度。
数据滤波
在我们的实验中，由于引入了衰减器，1545 nm链路的链路损耗增加，这可能会将光梳产生的干涉图案掩盖在环境噪声中。在这种情况下，FPGA很难辨别接收到的信号是纯噪声还是包含有效干涉信息。因此，在我们的实验设计中，我们决定不依赖FPGA对信号有效性做出判断，而是完整收集FPGA接收到的所有信号。结果，我们收集的数据集包含了大量的噪声成分，需要在随后的数据处理步骤中进行细致的数据滤波和分析。
过滤有效帧的步骤分为三个阶段，稍后将对其进行详细讨论，以证明这些步骤和方法的可行性和有效性。
- 选择高信噪比干涉图（信号功率高于5 nW）并计算时延。
- 通过对高信噪比时延数据进行插值，估计每个采样时间的单向时延。
- 计算每个干涉图的单向时延；如果它与根据该干涉图的采样时间戳估计的时延偏差超过1000 fs，则将其视为噪声帧。
首先，我们论证选择高信噪比干涉图的可行性。根据参考文献12^{12}12中的发现，由于大气波动，接收功率呈对数正态分布。也就是说，尽管整体链路损耗显著，但仍有可能选择一些具有相对较高信噪比的干涉图。图 6 展示了采样数据中接收功率的分布，表明我们可以选择接收功率高于5 nW的干涉图。在本实验中，平均每秒可以选择4个以上的高信噪比干涉图，并且根据这些帧计算出的时延相对准确，便于后续的计算和估计。
在计算出高信噪比干涉图的单向时延后，我们可以估计每个时间戳的单向时延的近似值。计算出的时间点与单向时延之间的关系（如图 6 所示的推导背景）表明，我们可以使用线性插值来估计与时间戳对应的时延。单向时延的线性度是由于所使用的超稳激光器频率与真实频率之间存在固定偏移；固定频率偏移表现为时延的线性漂移。在计算时钟差时，两端的偏差将被完全抵消。
在估计时延之后，我们将它们与计算出的时延进一步进行比较。如果两者之差超过1000 fs，则接收到的数据将被视为由误触发引起的噪声帧，不包含任何有效信号成分。我们在理论层面上严格证明了在我们的实验条件下，估计时延与实际时延之间的差异几乎肯定会小于1000 fs。
在没有加入衰减器的情况下收集的实验数据集中，确保即使是最弱信号的接收光强也超过5 nW，我们假定时延数据从根本上是准确的。利用相同的方法，每秒采集四个数据点，并通过线性插值估计每个时间戳的时延。如图 7 所示，通过从实际干涉图时延中减去估计时延计算出的时间差近似服从标准差约为40 fs的正态分布。
该结果强调了我们使用高强度数据估计单向时延的偏差标准差约为40 fs。鉴于该标准差，真实时延偏离估计时延超过1000 fs的概率极低。
图 6：接收光功率的分布。
理论分析还细致审视了时延的波动。实际的单向时延主要受两个因素影响：超稳激光器的频率漂移和脉冲的飞行时间。对于本研究而言，高信噪比数据采集速率约为每秒4个数据点，足以证明在如此短暂的时间间隔内，由这些因素引起的时延变化极不可能超过1000 fs。
首先，根据实验测量，超稳激光器频率的漂移率小于每秒1 Hz。因此，在0.25秒的时间窗口内，考虑到超稳激光器的工作频率约为200 THz，激光器频率漂移引起的时延影响将小于5 fs。
其次，脉冲飞行时间的波动可以使用大气模型进行计算。基于我们百公里实验12^{12}12获得的大气模型，在大范围内大气的功率密度近似为486.4f−83486.4f^{-\frac{8}{3}}486.4f−38。
从总数据中已知高信噪比数据量约为每秒4个，在此我们保守地计算3 Hz以上的大气波动。根据功率谱密度的性质，我们知道由大于3 Hz的大气引起的时延波动可以描述如下：
RMS=∫3∞486.4f−83dfRMS=\sqrt{\int_{3}^{\infty}486.4f^{-\frac{8}{3}}df}RMS=∫3∞486.4f−38df
计算得出该频率范围内大气波动的均方根值（RMS）为46 fs。
前面我们提到时间差总体呈现正态分布。鉴于在短时间内可以忽略频率漂移的影响，这表明由于大气湍流引起的剩余波动服从正态分布。时延误差超过155 fs的概率为1/10001/10001/1000。1000 fs的时延波动大约是21个标准差，对于合理的结果而言这几乎是不可能发生的事件。
综合考虑这两个因素，显而易见的是，在0.25秒的时间间隔内，由激光频率漂移和大气湍流引起的时延变化均显著低于1000 fs。因此，我们确信可以使用1000 fs的阈值滤除噪声帧，为随后计算两地之间的时间差提供稳健的数据。
我们的滤波过程已被证明在高噪声和高损耗条件下是有效的，确保了跨光学链路时间同步的可靠性。这里开发的方法有望用于类似具有挑战性环境中的光通信技术。
图 7 ：由干涉图计算出的实际单向时延与使用时间戳线性插值获得的估计单向时延之间的时间差分布，该分布服从正态分布。
图 8：干涉图能量与接收光功率之间的关系，由于高斯噪声的恒定功率，显示出具有非零截距的线性关系。
接收功率计算
在本实验中，发射与接收OFC功率之比高达数个10910^{9}109，比发射和接收光路之间的隔离度（约60 dB）高出三个数量级。因此，在链路运行期间无法同时测量接收功率。所以，我们使用来自CLS算法的幅度系数β\betaβ来计算接收光功率。在接下来的部分中，我们将介绍该方法并证明其有效性。
在实验室中，我们使用了与乌鲁木齐实验中相同的装置来获得一组干涉图，并使用商用功率计测量了相应的接收光功率。
我们首先建立了干涉图能量与接收光功率之间的正比关系。图 8 说明了通过计算信号样本平方和获得的能量与接收光功率之间的关系。该图显示了具有非零截距的线性关系。
注意到干涉图中的噪声是具有恒定标准差的高斯噪声，与接收光功率无关，我们可以直接推导出截距部分是噪声的平方和。此外，与光功率成正比的部分是无噪声信号的能量。
因此，我们可以利用这种比例关系来确定乌鲁木齐实验中干涉图对应的接收光功率。然而，在极低信噪比的情况下，从信号平方和计算出的能量会发生显著波动。因此，我们首先使用该方法获得具有相对较高信噪比的初始帧的接收光功率PinitP_{init}Pinit。然后，我们使用来自CLS算法的幅度系数β\betaβ，利用公式Prec=Pinit⋅β2P_{rec}=P_{init}\cdot\beta^{2}Prec=Pinit⋅β2计算当前信号的接收光功率PrecP_{rec}Prec。
为了验证使用幅度系数计算接收光功率的有效性，我们将该方法应用于包含接收光功率的实验室数据。结果如图 9 所示，表明计算出的光功率与实验测量功率非常吻合。
图 9：接收光功率与幅度系数平方之间关系的描绘，说明干涉图的接收光功率与幅度系数的平方成正比。
参考文献
1 S. M. Brewer, J.-S. Chen, A. M. Hankin, E. R. Clements,
C.-w. Chou, D. J. Wineland, D. B. Hume, and D. R.
Leibrandt, Al+27 quantum-logic clock with a systematic
uncertainty below 10- 18, Physical review letters 123,
033201 (2019).
2 T. Bothwell, D. Kedar, E. Oelker, J. M. Robinson, S. L.
Bromley, W. L. Tew, J. Ye, and C. J. Kennedy, Jila sri
optical lattice clock with uncertainty of, Metrologia 56,
065004 (2019).
3 T. L. Nicholson, S. Campbell, R. Hutson, G. E. Marti,
B. Bloom, R. L. McNally, W. Zhang, M. Barrett, M. S.
Safronova, G. Strouse, et al., Systematic evaluation of
an atomic clock at 2x 10-18 total uncertainty, Nature
communications 6, 1 (2015).
4 N. Huntemann, C. Sanner, B. Lipphardt, C. Tamm, and
E. Peik, Single-ion atomic clock with 3x 10-18 sys-
tematic uncertainty, Physical review letters 116, 063001
(2016).
5 A. Aeppli, K. Kim, W. Warfield, M. S. Safronova, and
J. Ye, Clock with 8x 10-19 systematic uncertainty, Phys-
ical Review Letters 133, 023401 (2024).
6 N. Dimarcq, M. Gertsvolf, G. Mileti, S. Bize, C. Oates,
E. Peik, D. Calonico, T. Ido, P. Tavella, F. Meynadier,
et al., Roadmap towards the redefinition of the second,
Metrologia 61, 012001 (2024).
7 T. E. Mehlstäubler, G. Grosche, C. Lisdat, P. O.
Schmidt, and H. Denker, Atomic clocks for geodesy, Re-
ports on Progress in Physics 81, 064401 (2018).
8 C. Lisdat, G. Grosche, N. Quintin, C. Shi, S. Raupach,
C. Grebing, D. Nicolodi, F. Stefani, A. Al-Masoudi,
S. Dörscher, et al., A clock network for geodesy and
fundamental science, Nature communications 7, 12443
(2016).
9 P. Exertier, E. Samain, P. Bonnefond, and P. Guillemot,
Status of the t212/jason2 experiment, Advances in Space
Research 46, 1559 (2010).
10 P. Exertier, E. Samain, N. Martin, C. Courde, M. Laas-
Bourez, C. Foussard, and P. Guillemot, Time transfer by
laser link: data analysis and validation to the ps level,
Advances in Space Research 54, 2371 (2014).
11 F. R. Giorgetta, W. C. Swann, L. C. Sinclair, E. Bau-
mann, I. Coddington, and N. R. Newbury, Optical two-
way time and frequency transfer over free space, Nature
Photonics 7, 434 (2013).
12 Q. Shen, J.-Y. Guan, J.-G. Ren, T. Zeng, L. Hou, M. Li,
Y. Cao, J.-J. Han, M.-Z. Lian, Y.-W. Chen, et al., Free-
space dissemination of time and frequency with 10-19
instability over 113 km, Nature 610, 661 (2022).
13 E. D. Caldwell, L. C. Sinclair, N. R. Newbury, and J.-
D. Deschenes, The time-programmable frequency comb
and its use in quantum-limited ranging, Nature 610, 667
(2022).
14 E. D. Caldwell, J.-D. Deschenes, J. Ellis, W. C. Swann,
B. K. Stuhl, H. Bergeron, N. R. Newbury, and L. C.
Sinclair, Quantum-limited optical time transfer for future
geosynchronous links, Nature 618, 721 (2023).
15 H. Bergeron, L. C. Sinclair, W. C. Swann, I. Khader,
K. C. Cossel, M. Cermak, J.-D. Deschênes, and N. R.
Newbury, Femtosecond time synchronization of optical
clocks off of a flying quadcopter, Nature communications
10, 1819 (2019).
16 L. Kong, K. Cui, J. Shi, M. Zhu, and S. Li, 1d phase un-
wrapping based on the quasi-gramian matrix and deep
learning for interferometric optical fiber sensing applica-
tions, Journal of Lightwave Technology 40, 252 (2022).
17 K. Itoh, Analysis of the phase unwrapping algorithm,
Applied optics 21, 2470 (1982).
18 Y. Zhang, M. Xiao, Z. Wang, H. Fu, and Y. Wu, Robust
three-stage unscented kalman filter for mars entry phase
navigation, Information Fusion 51, 67 (2019).
19 R. Kulkarni and P. Rastogi, Simultaneous unwrapping
and low pass filtering of continuous phase maps based
on autoregressive phase model and wrapped kalman fil-
tering, Optics and Lasers in Engineering 124, 105826
(2020).
20 M. Dmitrieva, J. Lefebvre, K. delas Penas, H. L. Zen-
ner, J. Richens, D. St Johnston, and J. Rittscher, Short
trajectory segmentation with 1d unet framework: Appli-
cation to secretory vesicle dynamics, in 2020 IEEE 17th
International Symposium on Biomedical Imaging (ISBI)
(IEEE, 2020) pp. 891-894.
21 Q. Shen, J.-Y. Guan, T. Zeng, Q.-M. Lu, L. Huang,
Y. Cao, J.-P. Chen, T.-Q. Tao, J.-C. Wu, L. Hou, et al.,
Experimental simulation of time and frequency transfer
via an optical satellite ground link at 10-18 instability,
Optica 8, 471 (2021).
22 A. Charnes, E. L. Frome, and P.-L. Yu, The equivalence
of generalized least squares and maximum likelihood esti-
mates in the exponential family, Journal of the American
Statistical Association 71, 169 (1976).
23 G. Casella and R. L. Berger, Statistical inference (Cen-
gage Learning, 2021).
24 E. Oelker, R. Hutson, C. Kennedy, L. Sonderhouse,
T. Bothwell, A. Goban, D. Kedar, C. Sanner, J. Robin-
son, G. Marti, et al., Demonstration of 4.8x 10-17 sta-
bility at 1 s for two independent optical clocks, Nature
Photonics 13, 714 (2019).
25 M. Schioppo, R. C. Brown, W. F. McGrew, N. Hinkley,
R. J. Fasano, K. Beloy, T. Yoon, G. Milani, D. Nicolodi,
J. Sherman, et al., Ultrastable optical clock with two
cold-atom ensembles, Nature Photonics 11, 48 (2017).
26 J. L. Ellis, M. I. Bodine, W. C. Swann, S. A. Steven-
son, E. D. Caldwell, L. C. Sinclair, N. R. Newbury, and
J.-D. Deschênes, Scaling up frequency-comb-based opti-
cal time transfer to long terrestrial distances, Physical
Review Applied 15, 034002 (2021).
27 M. A. Richards et al., Fundamentals of radar signal pro-
cessing, Vol. 1 (Mcgraw-hill New York, 2005).