百日算法修炼 · Day 17
主题：并查集（Union-Find）、路径压缩、按大小合并、用户合并问题
语言：Java ｜ 建议用时：90～120 分钟
阅读方式
本文分为两个区域：
- 上半篇是练习区：只包含题目、示例、思考问题和可折叠提示；
- 下半篇是答案区：包含优化代码、过程图解、复杂度、易错点与验证思路。
建议先完成全部题目，再通过"查看参考答案"链接跳转。
今天真正要掌握的不是模板代码，而是：当问题反复出现"谁和谁属于同一组、两组要合并、最后还有几组"时，要开始想到并查集。
今日任务地图
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理解代表节点
实现 findFather
路径压缩
按大小 union
统计集合数量
HashMap 发现用户连接
Merge Users
复杂度与复盘
| 题号 | 主题 | 核心能力 |
|---|---|---|
| 1 | 并查集 | 代表节点、路径压缩、按大小合并 |
| 2 | 合并用户 | 哈希表建边、传递关系、并查集建模 |
第一部分：独立练习区
先别急着看答案。今天每道题先问自己：我是在维护元素本身，还是在维护"元素属于哪个集合"？
练习 1：实现并查集 Union-Find
给定一批元素，请设计一个并查集结构，至少支持：
text
isSameSet(a, b)
union(a, b)
getSetNum()要求：
- 初始时，每个不同元素各自属于一个集合；
isSameSet(a, b)判断两个元素是否属于同一集合；union(a, b)合并两个元素所在集合；getSetNum()返回当前集合数量；findFather实现路径压缩；union尽量避免树越来越高。
例如：
text
初始：[A, B, C, D, E]
union(A, B)
union(C, D)
union(B, C)
最终：
{A, B, C, D}
{E}
isSameSet(A, D) = true
isSameSet(A, E) = false
getSetNum() = 2思考问题
- 为什么每个集合只需要一个"代表节点"就能判断两个元素是否同组？
- 根节点的
parent应该指向谁？ findFather为什么不能只找到根，还要顺手修改沿途节点的父指针？- 路径压缩前后，集合成员有没有发生变化？
union时为什么推荐"小集合挂到大集合"？sizeMap为什么只需要保留根节点的集合大小？- 如果初始化数据出现重复元素，反复创建内部
Node会有什么隐患？ - 为什么并查集适合大量"查询 + 合并"操作？
提示 1：先想一棵父指针树
同一集合中的节点最终都会沿 parent 指针走到同一个根，根就是集合代表。
提示 2：find 不只是查找
第一次查找可能走很多层。可以先记录沿途节点，找到根后让它们直接指向根。
提示 3：union 不要随便挂
记录集合大小，让小树的根挂到大树的根上，可以减少树变高的机会。
写完后再看：[查看练习 1 参考答案](#查看练习 1 参考答案)
练习 2：合并用户 Merge Users
每个用户有三个属性
a、b、c。如果两个用户满足下面任意一个条件，就认为属于同一用户集合：
text
a 相同
或 b 相同
或 c 相同并且这种关系具有传递性。
例如：
text
U1 = (a1, b1, c1)
U2 = (a1, b2, c2)
U3 = (a3, b2, c3)
U4 = (a4, b4, c4)虽然 U1 与 U3 没有直接相同字段，但：
text
U1 --a相同--> U2 --b相同--> U3所以 U1、U2、U3 是一组，U4 单独一组，答案为 2。
思考问题
- 为什么不能只统计
a、b、c各自有多少种不同值？ - 为什么"任意一个字段相同"可以理解为两个用户之间存在连接？
- 连接关系为什么会产生传递合并？
- 怎样用三个
HashMap在一次遍历中找到之前出现过相同属性的用户？ - Map 保存用户下标与直接保存
User，哪一种更直观？ - 为什么同一属性值只需要记住第一次出现的用户？
- 最终答案为什么等于并查集中的集合数量？
- 如果字段允许为
null，null
表示"相同值"还是"缺失信息"？它会怎样改变规则？
提示 1：把用户看成点
每个 User 是一个点。两个点只要某个对应属性相同，就建立逻辑连接；最终要数的是连通块。
提示 2：HashMap 负责发现连接
分别维护 a、b、c 三张表。属性值第一次出现时记录用户，再次出现时与已记录用户 union。
提示 3：不需要两两比较
哈希表可以根据属性值直接找到已经出现过的用户，从而避免 O(N²) 的用户对比较。
写完后再看：[查看练习 2 参考答案](#查看练习 2 参考答案)
第二部分：参考答案与图解
到这里再对照答案。先检查自己是否真正说清楚了两个词：代表节点 与传递合并。
答案 1：并查集 Union-Find
[返回练习 1](#返回练习 1)
问题回顾
这道题要解决的是：
如何动态维护若干互不相交的集合，并高效回答"两个元素是否同组""合并两组""现在还有几组"？
核心做法：
text
每个集合组织成一棵父指针树
+
用根节点代表整个集合于是：
text
两个元素属于同一集合
<=>
它们最终找到同一个根节点第一步：根节点代表集合
假设：
text
A -> B -> C -> D
↑
root根节点满足：
text
parent[D] = D#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e p{margin:0;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .label text,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node rect,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node circle,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node ellipse,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node polygon,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .rough-node .label text,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node .label text,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .image-shape .label,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .rough-node .label,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node .label,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .image-shape .label,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .icon-shape,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .icon-shape p,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-GZ5Z97U9uJpeZC0e :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} A
B
C
D root
第二步：路径压缩
原来：
text
A -> B -> C -> D -> E
↑
root第一次 findFather(A) 找到 E 后，把沿途节点直接挂到 E：
text
A ─┐
B ─┤
C ─┼──> E
D ─┘#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 p{margin:0;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .label text,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node rect,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node circle,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node ellipse,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node polygon,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .rough-node .label text,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node .label text,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .image-shape .label,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .rough-node .label,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node .label,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .image-shape .label,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .icon-shape,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .icon-shape p,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-2PbDXGT6DoR4agg4 :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 否
是
从目标节点开始
当前节点是根吗
记录当前节点
移动到 parent
得到 root
沿途节点全部指向 root
返回 root
路径压缩只改变树的形状，不改变集合成员。
第三步：按大小合并
如果集合 X 有 8 个节点、集合 Y 有 2 个节点，更合理的是：
text
Y 的根 -> X 的根让小树挂到大树，降低父指针树变深的概率。
#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm p{margin:0;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .label text,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node rect,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node circle,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node ellipse,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node polygon,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .rough-node .label text,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node .label text,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .image-shape .label,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .rough-node .label,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node .label,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .image-shape .label,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .icon-shape,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .icon-shape p,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-zODvZc1ns3XSRsqm :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 找到 rootA
读取 sizeA
找到 rootB
读取 sizeB
比较大小
small root 挂到 big root
更新 big 的 size
删除 small 的 size 记录
sizeMap 的不变式
text
sizeMap 只保存：
根节点 -> 该根代表的集合大小因此：
text
sizeMap.size()就是当前集合数量，getSetNum() 可以做到 O(1)。
完整代码
java
package class09;
import java.util.ArrayDeque;
import java.util.Collection;
import java.util.Deque;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
/**
* 并查集（Union-Find / Disjoint Set Union）。
*
* 两个关键：
* 1. 路径压缩：findFather 后，把沿途节点直接挂到根节点；
* 2. 按集合大小合并：小集合挂到大集合，避免树变高。
*/
public class Code01_UnionFind {
public static class Node<V> {
private final V value;
public Node(V value) {
this.value = value;
}
public V getValue() {
return value;
}
}
public static class UnionSet<V> {
/** 原始值 -> 内部节点。 */
private final Map<V, Node<V>> nodes = new HashMap<>();
/** 节点 -> 父节点；根节点的父节点是自己。 */
private final Map<Node<V>, Node<V>> parents = new HashMap<>();
/** 只记录根节点对应集合的大小。 */
private final Map<Node<V>, Integer> sizeMap = new HashMap<>();
public UnionSet(Collection<V> values) {
if (values != null) {
for (V value : values) {
addIfAbsent(value);
}
}
}
public UnionSet(V[] values) {
if (values != null) {
for (V value : values) {
addIfAbsent(value);
}
}
}
/**
* 初始化一个独立集合。
* 去重可避免重复 value 产生不可访问的"孤儿节点"。
*/
private void addIfAbsent(V value) {
if (nodes.containsKey(value)) {
return;
}
Node<V> node = new Node<>(value);
nodes.put(value, node);
parents.put(node, node);
sizeMap.put(node, 1);
}
/**
* 找到 data 所在集合的根，并执行路径压缩。
*
* @return 根节点；data 不存在时返回 null
*/
public Node<V> findFather(V data) {
if (!nodes.containsKey(data)) {
return null;
}
Node<V> current = nodes.get(data);
Deque<Node<V>> path = new ArrayDeque<>();
while (current != parents.get(current)) {
path.push(current);
current = parents.get(current);
}
// current 已是根，把沿途节点全部直接挂到根上。
while (!path.isEmpty()) {
parents.put(path.pop(), current);
}
return current;
}
public boolean isSameSet(V a, V b) {
if (!nodes.containsKey(a) || !nodes.containsKey(b)) {
return false;
}
return findFather(a) == findFather(b);
}
/**
* 合并 a、b 所在集合：小集合挂到大集合。
*/
public void union(V a, V b) {
if (!nodes.containsKey(a) || !nodes.containsKey(b)) {
return;
}
Node<V> rootA = findFather(a);
Node<V> rootB = findFather(b);
if (rootA == rootB) {
return;
}
int sizeA = sizeMap.get(rootA);
int sizeB = sizeMap.get(rootB);
Node<V> big = sizeA >= sizeB ? rootA : rootB;
Node<V> small = big == rootA ? rootB : rootA;
parents.put(small, big);
sizeMap.put(big, sizeA + sizeB);
sizeMap.remove(small);
}
public int getSetNum() {
return sizeMap.size();
}
}
}复杂度
同时使用"路径压缩 + 按大小合并"后：
text
find / union 的均摊复杂度：O(α(N))α(N) 是反阿克曼函数，在现实数据规模下增长极慢，工程上常近似理解为"接近
O(1)"。
| 操作 | 均摊复杂度 |
|---|---|
findFather |
O(α(N)) |
isSameSet |
O(α(N)) |
union |
O(α(N)) |
getSetNum |
O(1) |
| 额外空间 | O(N) |
易错点
- 根节点没有满足
parent[root] == root； findFather只查根，忘记路径压缩；- 路径压缩时把节点挂错根；
- 合并后忘记更新大集合的
size； - 合并后忘记从
sizeMap删除小集合根； - 两个元素已经同组时仍重复修改集合大小；
- 初始化重复值时创建多个内部节点，导致集合数失真。
答案 2：合并用户 Merge Users
[返回练习 2](#返回练习 2)
问题回顾
这道题解决的是：
已知用户可能因为
a、b、c任意一个对应字段相同而属于同一组，怎样在一次扫描中发现这些连接，并统计最终连通组数？
真正的难点不是 HashMap，而是传递性：
text
U1.a == U2.a
U2.b == U3.b
=> U1、U2、U3 同组第一步：把用户关系画成图
text
U1 = (a1, b1, c1)
U2 = (a1, b2, c2)
U3 = (a3, b2, c3)
U4 = (a4, b4, c4)#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt p{margin:0;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .label text,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node rect,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node circle,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node ellipse,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node polygon,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .rough-node .label text,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node .label text,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .image-shape .label,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .rough-node .label,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node .label,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .image-shape .label,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .icon-shape,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .icon-shape p,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-l8YGIRAxPxOmIRgt :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} a 相同
b 相同
U1
U2
U3
U4
连通块：
text
{U1, U2, U3}
{U4}答案为 2。
第二步：HashMap 为什么能避免 O(N²)？
暴力做法需要比较所有用户对，复杂度达到 O(N²)。
更好的做法是分别维护：
text
属性 a 的值 -> 第一次出现该值的用户
属性 b 的值 -> 第一次出现该值的用户
属性 c 的值 -> 第一次出现该值的用户再次遇到同一个属性值时，直接与之前记录的用户 union。
第三步：为什么只记第一次出现的用户？
假设 U1、U2、U3 都有：
text
a = x扫描过程：
text
U1：记录 x -> U1
U2：union(U2, U1)
U3：union(U3, U1)三者已经进入同一集合，不需要再执行 union(U2, U3)。
#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH p{margin:0;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .label text,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node rect,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node circle,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node ellipse,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node polygon,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .rough-node .label text,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node .label text,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .image-shape .label,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .rough-node .label,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node .label,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .image-shape .label,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .icon-shape,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .icon-shape p,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-sFJlLr7vJPn1ZIzH :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 否
是
否
是
否
是
扫描一个 User
检查属性 a
a 是否出现过
记录 a 到当前用户
与已记录用户 union
检查属性 b
b 是否出现过
记录 b
执行 union
检查属性 c
c 是否出现过
记录 c
执行 union
处理下一个用户
完整代码
java
package class09;
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
import class09.Code01_UnionFind.UnionSet;
/**
* 合并用户：
* 只要两个用户任意一个对应属性相同，就属于同一用户集合。
*/
public class Code02_MergeUsers {
public static class User {
public final String a;
public final String b;
public final String c;
public User(String a, String b, String c) {
this.a = a;
this.b = b;
this.c = c;
}
}
/**
* 返回合并后的不同用户数量。
*
* 时间复杂度：O(N * α(N))，通常可近似看作 O(N)。
* 额外空间复杂度：O(N)。
*/
public static int mergeUsers(User[] users) {
if (users == null || users.length == 0) {
return 0;
}
UnionSet<User> unionSet = new UnionSet<>(users);
// 属性值 -> 第一次出现该属性值的用户。
Map<String, User> firstByA = new HashMap<>();
Map<String, User> firstByB = new HashMap<>();
Map<String, User> firstByC = new HashMap<>();
for (User user : users) {
mergeByKey(user.a, user, firstByA, unionSet);
mergeByKey(user.b, user, firstByB, unionSet);
mergeByKey(user.c, user, firstByC, unionSet);
}
return unionSet.getSetNum();
}
/**
* key 首次出现时记录当前用户；
* 再次出现时，把当前用户与首次出现的用户合并。
*
* 当前实现保留原题语义：null 也会作为合法 key 参与匹配。
* 若 null 表示"缺失信息"，应在这里先跳过 null。
*/
private static void mergeByKey(
String key,
User current,
Map<String, User> firstSeen,
UnionSet<User> unionSet) {
User previous = firstSeen.putIfAbsent(key, current);
if (previous != null) {
unionSet.union(current, previous);
}
}
}手推一次
text
U1 = (a1, b1, c1)
U2 = (a1, b2, c2)
U3 = (a3, b2, c3)
U4 = (a4, b4, c4)初始：
text
{U1} {U2} {U3} {U4}
集合数 = 4扫描 U2 时发现 a1 已出现：
text
union(U2, U1)
=> {U1, U2} {U3} {U4}
=> 集合数 = 3扫描 U3 时发现 b2 已出现：
text
union(U3, U2)
=> {U1, U2, U3} {U4}
=> 集合数 = 2U4 没有重复字段，所以最终答案为 2。
复杂度
每个用户只检查三个字段。哈希表查询/插入平均 O(1)，并查集操作均摊
O(α(N))：
text
总时间：O(N * α(N))，实际通常近似 O(N)
额外空间：O(N)易错点
- 把"任意字段相同"写成"三个字段都相同"；
- 只处理直接相等，忘记传递性；
- 对所有用户两两比较，写成
O(N²)； - 三个字段共用一张 Map，导致不同字段之间错误匹配；
- 遇到重复字段只计数，没有
union； - 最后重新统计分组，而不是直接读取并查集集合数；
- 没有明确
null的业务含义。
第三部分：把两道题放在一起理解
1. 并查集维护什么？
并查集最关心的是：
text
这个元素的代表是谁？只要：
text
find(a) == find(b)就说明 a 与 b 属于同一集合。
2. Merge Users 给并查集提供什么？
并查集本身不知道"谁应该和谁合并"。
三张 HashMap 负责：
text
发现连接关系并查集负责：
text
维护连接关系产生的传递合并#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa p{margin:0;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .label text,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node rect,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node circle,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node ellipse,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node polygon,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .rough-node .label text,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node .label text,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .image-shape .label,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .rough-node .label,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node .label,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .image-shape .label,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .icon-shape,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .icon-shape p,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-QidCSlB5x4NRyYJa :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 用户数据
HashMap 发现相同字段
产生 union 关系
Union-Find 合并集合
路径压缩加速查询
得到最终集合数量
HashMap 负责"找到该连谁"，Union-Find
负责"把该连的人真正归成一组"。
第四部分：两个"不变式"必须真正理解
1. parents 的不变式
对任意已加入节点：
text
不断沿 parents 向上
最终一定到达 root根满足：
text
parents[root] == root路径压缩之后，这个规则仍然成立。
2. sizeMap 的不变式
任意时刻：
text
sizeMap 只包含根节点并且：
text
sizeMap[root]
=
root 所代表集合的元素数量合并两个不同集合时必须同时完成：
text
1. smallRoot -> bigRoot
2. 更新 bigRoot 的 size
3. 从 sizeMap 删除 smallRoot第五部分：验证思路
1. 基础合并测试
java
Code01_UnionFind.UnionSet<Integer> set =
new Code01_UnionFind.UnionSet<>(new Integer[]{1, 2, 3, 4, 5});
set.union(1, 2);
set.union(3, 4);
set.union(2, 3);
System.out.println(set.isSameSet(1, 4)); // true
System.out.println(set.isSameSet(1, 5)); // false
System.out.println(set.getSetNum()); // 2#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 p{margin:0;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .label text,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node rect,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node circle,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node ellipse,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node polygon,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .rough-node .label text,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node .label text,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .image-shape .label,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .rough-node .label,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node .label,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .image-shape .label,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .icon-shape,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .icon-shape p,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-enySBlUQFSLisUX7 :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 5 个独立集合
union 1 2
剩 4 组
union 3 4
剩 3 组
union 2 3
剩 2 组
2. 重复初始化值测试
java
Code01_UnionFind.UnionSet<Integer> set =
new Code01_UnionFind.UnionSet<>(new Integer[]{1, 1, 1, 2});
System.out.println(set.getSetNum()); // 2这个测试专门验证初始化去重逻辑。
3. Merge Users 传递性测试
java
Code02_MergeUsers.User[] users = {
new Code02_MergeUsers.User("a1", "b1", "c1"),
new Code02_MergeUsers.User("a1", "b2", "c2"),
new Code02_MergeUsers.User("a3", "b2", "c3"),
new Code02_MergeUsers.User("a4", "b4", "c4")
};
System.out.println(Code02_MergeUsers.mergeUsers(users)); // 2建议额外覆盖：
text
空数组
只有一个用户
所有用户互不相同
所有用户某一字段都相同
通过不同字段形成长链式传递
重复初始化 value
重复执行 union(a, b)
union 已经同组的两个元素
字段为 null 的业务规则今日自测
1. 为什么判断两个元素是否同组，只需要比较根节点？
查看答案
因为每个集合由唯一的根节点代表。同一集合中的节点沿 parent 最终都会到达同一个根，所以根相同就代表属于同一集合。
2. 路径压缩改变了什么，又没有改变什么？
查看答案
它改变父指针树的形状，把查询路径上的节点直接挂到根；它不改变集合成员，也不会把不同集合合并。
3. 为什么按大小合并可以改善性能？
查看答案
让较小集合的根挂到较大集合的根，可以减少树高度增长；再配合路径压缩，后续 find 的路径会非常短。
4. 为什么 sizeMap.size() 就是集合数量？
查看答案
因为 sizeMap 只为当前根节点保留记录。两个不同集合合并后，小集合根不再是根并被删除，所以两个根记录变成一个，集合数量自然减少 1。
5. Merge Users 为什么不能只看"直接相同"？
查看答案
因为关系具有传递性。U1 可通过 a 与 U2 相连，U2 再通过 b 与 U3 相连，于是 U1、U2、U3 最终属于同一集合。
6. 为什么每个属性值只保存第一次出现的用户就够了？
查看答案
之后拥有同一属性值的用户都与这个代表用户 union，就会全部进入同一集合；无需让这些用户彼此两两 union。
7. 为什么初始化并查集时值得处理重复 value？
查看答案
若同一个 value 创建多个内部 Node，nodes 中旧映射会被覆盖，但旧节点可能仍残留在 parents 和 sizeMap 中，导致集合数量与实际可访问节点不一致。
8. 如果 null 表示"缺失信息"，为什么不能把两个 null 当作相同字段？
查看答案
两个用户都缺少某项信息，并不能证明真实值相同。此时应在按字段建连接时跳过 null；若题目明确规定 null 是合法值，则可保留正常匹配。
加餐挑战
- 给
UnionSet增加getSetSize(V value)； - 给
UnionSet增加动态add(V value)； - 写一个暴力版 Merge Users，与并查集版本做随机对拍；
- 构造较长父指针链，观察路径压缩前后的变化；
- 思考 Kruskal 最小生成树为什么天然需要并查集；
- 思考"朋友圈数量""账户合并"等问题与今天的共同结构。
挑战 1 提示
先 findFather(value) 找到根，再读取 sizeMap\root\\。注意 sizeMap 只为根节点保存大小。
挑战 3 提示
小规模数据可以两两比较用户，只要任意对应字段相同就建立连接，再用简单图遍历统计连通块，把它作为可信基准。
Day 17 复盘清单
- 我能解释并查集为什么用根节点代表集合
- 我能独立写出
findFather - 我能独立写出路径压缩
- 我知道路径压缩只改变树形，不改变集合成员
- 我能解释为什么要按大小合并
- 我知道
sizeMap为什么只记录根节点 - 我知道
sizeMap.size()为什么就是集合数量 - 我能处理初始化数据中的重复 value
- 我能判断什么时候适合使用并查集
- 我能把 Merge Users 建模成"点 + 连接关系"
- 我能用三张 HashMap 在线发现相同属性
- 我能解释为什么只保存属性第一次出现的用户
- 我能解释用户合并关系的传递性
- 我知道 Merge Users 的时间复杂度为什么接近
O(N) - 我会主动明确
null的匹配语义
一句话总结： Day 17
真正要修炼的是"代表关系"：并查集用根节点代表整个集合，路径压缩让"找代表"越来越快，按大小合并让树不容易长高；Merge
Users 则先用 HashMap
找到"谁该和谁连接"，再交给并查集维护这些连接产生的传递关系。