RWEQ——保留与消去P的soil_loss联合推导

RWEQ 中固定 x 时 soil loss 的联合推导：Qmax 独立、保留 P 与消去 P 三种视角

摘要

RWEQ 的局地土壤损失（soil loss）为：

L ( x , s ) = 2 x Q max ⁡ s 2 exp ⁡ $- ( x s ) 2$ (1) L(x,s)=\frac{2xQ_{\max}}{s^2} \exp\left $-\\left(\\frac{x}{s}\\right)\^2\\right$ \tag{1} L(x,s)=s22xQmaxexp $-(sx)2$ (1)

当固定位置 x x x 并讨论 s s s 的作用时，关键问题是：Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 是否被视为独立常数，还是与 s s s 同时由共同因子 P P P 决定？

本文保留三种互补视角：

基准情形： Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 独立且不随 s s s 改变；
保留 P P P：以 P P P 为自变量， Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 与 s s s 同时变化；
消去 P P P：以 s s s 为自变量，显式写出 Q max ⁡ ( s ) Q_{\max}(s) Qmax(s)。

第 2、3 种情形描述的是同一个"耦合模型"，只是参数化方式不同；第 1 种则是一个重要的对照基准。

以下假设 x > 0 x>0 x>0、 s > 0 s>0 s>0、 P > 0 P>0 P>0，且使用 RWEQ 原关系式的单位体系。

1. 起点：从公式 6 推导 soil loss

RWEQ 在 Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 与 s s s 为常数时给出水平输沙量：

Q ( x ) Q max ⁡ = 1 − exp ⁡ $- ( x s ) 2$ (2) \frac{Q(x)}{Q_{\max}} =1-\exp\left $-\\left(\\frac{x}{s}\\right)\^2\\right$ \tag{2} QmaxQ(x)=1−exp $-(sx)2$ (2)

局地土壤损失定义为：

L ( x , s ) = d Q d x L(x,s)=\frac{dQ}{dx} L(x,s)=dxdQ

令 u = x 2 / s 2 u=x^2/s^2 u=x2/s2，则 d u / d x = 2 x / s 2 du/dx=2x/s^2 du/dx=2x/s2。对公式 (2) 求导：

L ( x , s ) = Q max ⁡ d d x ( 1 − e − u ) = Q max ⁡ e − u d u d x = 2 x Q max ⁡ s 2 e − x 2 / s 2 \begin{aligned} L(x,s) &=Q_{\max}\frac{d}{dx}(1-e^{-u})\\ &=Q_{\max}e^{-u}\frac{du}{dx}\\ &=\frac{2xQ_{\max}}{s^2}e^{-x^2/s^2} \end{aligned} L(x,s)=Qmaxdxd(1−e−u)=Qmaxe−udxdu=s22xQmaxe−x2/s2

即得到公式 (1)。

请注意： Q Q Q 是水平输沙量（kg/m），而 L = d Q / d x L=dQ/dx L=dQ/dx 是局地土壤损失（kg/m²）。

2. 情形 A：Qmax 独立不变，固定 x 时 L 随 s 的变化

这一情形假设 Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 不随 s s s 改变：

L A ( s ) = 2 x Q max ⁡ s 2 e − x 2 / s 2 (3) L_A(s)=\frac{2xQ_{\max}}{s^2}e^{-x^2/s^2} \tag{3} LA(s)=s22xQmaxe−x2/s2(3)

对 s s s 求导：

d L A d s = 4 x Q max ⁡ s 5 e − x 2 / s 2 ( x 2 − s 2 ) (4) \frac{dL_A}{ds} =\frac{4xQ_{\max}}{s^5}e^{-x^2/s^2}(x^2-s^2) \tag{4} dsdLA=s54xQmaxe−x2/s2(x2−s2)(4)

令 d L A / d s = 0 dL_A/ds=0 dLA/ds=0，可得：

s max ⁡ , A = x \boxed{s_{\max,A}=x} smax,A=x

即在 Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 固定时，固定位置 x x x 的 soil loss 在 s = x s=x s=x 处达到最大。

二阶导数可写为：

d 2 L A d s 2 = 2 L A ( s ) s 6 ( 3 s 2 − x 2 ) ( s 2 − 2 x 2 ) (5) \frac{d^2L_A}{ds^2} =\frac{2L_A(s)}{s^6} (3s^2-x^2)(s^2-2x^2) \tag{5} ds2d2LA=s62LA(s)(3s2−x2)(s2−2x2)(5)

所以两个拐点是：

s 1 , A = x 3 ≈ 0.57735 x \boxed{s_{1,A}=\frac{x}{\sqrt3}\approx0.57735x} s1,A=3 x≈0.57735x

s 2 , A = 2 x ≈ 1.41421 x \boxed{s_{2,A}=\sqrt2x\approx1.41421x} s2,A=2 x≈1.41421x

对应分段行为：

s 的范围	soil loss 的变化
0 < s < x / 3 0<s<x/\sqrt3 0<s<x/3	加速上升
x / 3 < s < x x/\sqrt3<s<x x/3 <s<x	减速上升
s = x s=x s=x	最大值
x < s < 2 x x<s<\sqrt2x x<s<2 x	加速下降
s > 2 x s>\sqrt2x s>2 x	减速下降

这个结论的前提很严格：改变 s s s 时， Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 仍然保持不变。

3. RWEQ 的耦合关系：Qmax 与 s 同时由 P 决定

RWEQ 给出：

Q max ⁡ = 109.8 P (6) Q_{\max}=109.8P \tag{6} Qmax=109.8P(6)

s = 150.71 P − 0.3711 (7) s=150.71P^{-0.3711} \tag{7} s=150.71P−0.3711(7)

其中 P P P 是两式共同的因子组合。它包含天气、土壤可蚀性、结皮、粗糙度和覆盖等信息。

公式 (6)--(7) 的直接含义是：

P P P 增大时， Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 增大；
P P P 增大时， s s s 减小；
因而， Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 和 s s s 并不独立。

下面分别保留 P P P 与消去 P P P 进行分析。

4. 情形 B：保留 P，以 P 为自变量

把公式 (6) 与 (7) 直接代入公式 (1)：

L B ( P ) = 2 x ( 109.8 P ) $150.71 P - 0.3711$ 2 exp ⁡ $− x 2 \[ 150.71 P − 0.3711$ 2 ] = 219.6 x 150.71 2 P 1 + 2 ( 0.3711 ) exp ⁡ $- x 2 150.71 2 P 2 ( 0.3711 )$ \begin{aligned} L_B(P) &=\frac{2x(109.8P)}{ $150.71P\^{-0.3711}$ ^2} \exp\left $-\\frac{x\^2}{\[150.71P\^{-0.3711}$ ^2}\right]\\ &=\frac{219.6x}{150.71^2} P^{1+2(0.3711)} \exp\left $-\\frac{x\^2}{150.71\^2}P\^{2(0.3711)}\\right$ \end{aligned} LB(P)= $150.71P-0.3711$ 22x(109.8P)exp $−\[150.71P−0.3711$ 2x2]=150.712219.6xP1+2(0.3711)exp $-150.712x2P2(0.3711)$

定义：

d = 2 × 0.3711 = 0.7422 d=2\times0.3711=0.7422 d=2×0.3711=0.7422

m = 1 + d = 1.7422 m=1+d=1.7422 m=1+d=1.7422

D = x 2 150.71 2 , B = 219.6 x 150.71 2 D=\frac{x^2}{150.71^2}, \qquad B=\frac{219.6x}{150.71^2} D=150.712x2,B=150.712219.6x

则：

L B ( P ) = B P m e − D P d (8) \boxed{ L_B(P)=BP^m e^{-DP^d} } \tag{8} LB(P)=BPme−DPd(8)

4.1 对 P 求导，寻找峰值

d L B d P = B e − D P d P m − 1 ( m − D d P d ) (9) \begin{aligned} \frac{dL_B}{dP} &=Be^{-DP^d}P^{m-1} \left(m-DdP^d\right) \end{aligned} \tag{9} dPdLB=Be−DPdPm−1(m−DdPd)(9)

令其为零：

m − D d P d = 0 m-DdP^d=0 m−DdPd=0

所以：

P max ⁡ = ( m D d ) 1 / d = $m ( 150.71 ) 2 d x 2$ 1 / d (10) \boxed{ P_{\max}= \left(\frac{m}{Dd}\right)^{1/d} =\left $\\frac{m\\,(150.71)\^2}{d\\,x\^2} \\right$ ^{1/d} } \tag{10} Pmax=(Ddm)1/d= $dx2m(150.71)2$ 1/d(10)

代入 m = 1.7422 m=1.7422 m=1.7422、 d = 0.7422 d=0.7422 d=0.7422，可写成：

P max ⁡ ≈ 2.3373 × 10 6 x − 2.69469146 \boxed{ P_{\max}\approx2.3373\times10^6\,x^{-2.69469146} } Pmax≈2.3373×106x−2.69469146

该数值形式只适用于原始 RWEQ 单位体系。更稳妥的做法是使用公式 (10)。

4.2 对 P 的加速、减速区间

令：

z = D d P d z=DdP^d z=DdPd

二阶导数的符号由下式决定：

z 2 − ( 2 m + d − 1 ) z + m ( m − 1 ) z^2-(2m+d-1)z+m(m-1) z2−(2m+d−1)z+m(m−1)

在 m = 1.7422 m=1.7422 m=1.7422、 d = 0.7422 d=0.7422 d=0.7422 时，两个拐点对应：

P 1 , B ≈ 0.170599 P max ⁡ P_{1,B}\approx0.170599P_{\max} P1,B≈0.170599Pmax

P 2 , B ≈ 1.856646 P max ⁡ P_{2,B}\approx1.856646P_{\max} P2,B≈1.856646Pmax

因此：

P 的范围	soil loss 的变化
0 < P < 0.170599 P max ⁡ 0<P<0.170599P_{\max} 0<P<0.170599Pmax	加速上升
0.170599 P max ⁡ < P < P max ⁡ 0.170599P_{\max}<P<P_{\max} 0.170599Pmax<P<Pmax	减速上升
P = P max ⁡ P=P_{\max} P=Pmax	最大值
P max ⁡ < P < 1.856646 P max ⁡ P_{\max}<P<1.856646P_{\max} Pmax<P<1.856646Pmax	加速下降
P > 1.856646 P max ⁡ P>1.856646P_{\max} P>1.856646Pmax	减速下降

这里"随 P P P 增大"的曲线描述，与"随 s s s 增大"的曲线方向不同，因为 s = 150.71 P − 0.3711 s=150.71P^{-0.3711} s=150.71P−0.3711 是递减函数。

5. 情形 C：消去 P，以 s 为自变量

由公式 (7)：

s 150.71 = P − 0.3711 \frac{s}{150.71}=P^{-0.3711} 150.71s=P−0.3711

定义：

α = 1 0.3711 = 2.69469146 \alpha=\frac{1}{0.3711}=2.69469146 α=0.37111=2.69469146

两边取 − 1 / 0.3711 -1/0.3711 −1/0.3711 次方：

P = ( s 150.71 ) − α P=\left(\frac{s}{150.71}\right)^{-\alpha} P=(150.71s)−α

代入公式 (6)，得到：

Q max ⁡ ( s ) = 109.8 ( s 150.71 ) − 2.69469146 (11) \boxed{ Q_{\max}(s)=109.8 \left(\frac{s}{150.71}\right)^{-2.69469146} } \tag{11} Qmax(s)=109.8(150.71s)−2.69469146(11)

再代入公式 (1)：

L C ( s ) = 2 x s 2 $109.8 ( s 150.71 ) - α$ e − x 2 / s 2 = A x s − n e − x 2 / s 2 (12) \begin{aligned} L_C(s) &=\frac{2x}{s^2} \left $109.8\\left(\\frac{s}{150.71}\\right)\^{-\\alpha}\\right$ e^{-x^2/s^2}\\ &=Ax\,s^{-n}e^{-x^2/s^2} \end{aligned} \tag{12} LC(s)=s22x $109.8(150.71s)-α$ e−x2/s2=Axs−ne−x2/s2(12)

其中：

n = α + 2 = 4.69469146 n=\alpha+2=4.69469146 n=α+2=4.69469146

A = 219.6 × 150.71 α A=219.6\times150.71^{\alpha} A=219.6×150.71α

5.1 对 s 求导，寻找峰值

d L C d s = A x e − x 2 / s 2 s − n − 3 ( 2 x 2 − n s 2 ) (13) \frac{dL_C}{ds} =Ax\,e^{-x^2/s^2}s^{-n-3}(2x^2-ns^2) \tag{13} dsdLC=Axe−x2/s2s−n−3(2x2−ns2)(13)

令其为零：

2 x 2 − n s 2 = 0 2x^2-ns^2=0 2x2−ns2=0

所以：

s max ⁡ , C = x 2 n ≈ 0.652697 x (14) \boxed{ s_{\max,C}=x\sqrt{\frac{2}{n}} \approx0.652697x } \tag{14} smax,C=xn2 ≈0.652697x(14)

5.2 对 s 的拐点与分段变化

二阶导数可整理为：

d 2 L C d s 2 = L C ( s ) s 6 $n ( n + 1 ) s 4 - ( 4 n + 6 ) x 2 s 2 + 4 x 4$ (15) \frac{d^2L_C}{ds^2} =\frac{L_C(s)}{s^6} \left $n(n+1)s\^4-(4n+6)x\^2s\^2+4x\^4\\right$ \tag{15} ds2d2LC=s6LC(s) $n(n+1)s4-(4n+6)x2s2+4x4$ (15)

令 y = s 2 / x 2 y=s^2/x^2 y=s2/x2，可得拐点：

y ± = 2 n + 3 ± 8 n + 9 n ( n + 1 ) y_{\pm}= \frac{2n+3\pm\sqrt{8n+9}}{n(n+1)} y±=n(n+1)2n+3±8n+9

代入 n = 4.69469146 n=4.69469146 n=4.69469146，得到：

s 1 , C ≈ 0.456285 x \boxed{s_{1,C}\approx0.456285x} s1,C≈0.456285x

s 2 , C ≈ 0.847726 x \boxed{s_{2,C}\approx0.847726x} s2,C≈0.847726x

s 的范围	soil loss 的变化
0 < s < 0.456285 x 0<s<0.456285x 0<s<0.456285x	加速上升
0.456285 x < s < 0.652697 x 0.456285x<s<0.652697x 0.456285x<s<0.652697x	减速上升
s = 0.652697 x s=0.652697x s=0.652697x	最大值
0.652697 x < s < 0.847726 x 0.652697x<s<0.847726x 0.652697x<s<0.847726x	加速下降
s > 0.847726 x s>0.847726x s>0.847726x	减速下降

6. 保留 P 与消去 P：两种表述完全等价吗？

是的。情形 B 和情形 C 是同一个 RWEQ 耦合关系的两种变量表述：

s = 150.71 P − 0.3711 s=150.71P^{-0.3711} s=150.71P−0.3711

说明 P P P 与 s s s 一一对应且单调递减。因此：

保留 P P P 时，研究的是 L B ( P ) L_B(P) LB(P)；
消去 P P P 时，研究的是 L C ( s ) L_C(s) LC(s)；
两者的峰值对应同一组物理条件。

将公式 (10) 的 P max ⁡ P_{\max} Pmax 代回公式 (7)，可以得到：

s ( P max ⁡ ) = 0.652697 x s(P_{\max})=0.652697x s(Pmax)=0.652697x

这恰好就是公式 (14)。

不过，二阶导数所定义的"加速/减速"区间不应简单按比例倒置，因为 s ( P ) s(P) s(P) 是非线性变换；因此本文分别给出了 P P P 轴和 s s s 轴下的拐点。

7. 与公式 6 中 Q(s)=0.632Qmax 的关系

公式 2 表明，当 x = s x=s x=s 时：

Q ( s ) = ( 1 − e − 1 ) Q max ⁡ = 0.632 Q max ⁡ Q(s)=\left(1-e^{-1}\right)Q_{\max} =0.632Q_{\max} Q(s)=(1−e−1)Qmax=0.632Qmax

这只是"在 x = s x=s x=s 位置，实际输沙量占当地最大输沙能力的比例"。它不是局地 soil loss 的普适峰值条件。

三种情形的峰值位置对照如下：

情形	固定 x 时的 soil loss 峰值
Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 独立	s = x ( 2 1 / 2 ) s=x(2^{1/2}) s=x(21/2)
保留 P P P，且 Q max ⁡ = 109.8 P Q_{\max}=109.8P Qmax=109.8P、 s = 150.71 P − 0.3711 s=150.71P^{-0.3711} s=150.71P−0.3711	P = P max ⁡ P=P_{\max} P=Pmax
消去 P P P 的同一耦合模型	s ≈ 0.652697 x s\approx0.652697x s≈0.652697x

Q max ⁡ Q_{\max} Qmax独立的情况，其为什么在 s = 150.71 P − 0.3711 s=150.71P^{-0.3711} s=150.71P−0.3711为最高值可以参考具体的原文和我之前写的博文。

结论

固定位置 x x x 时，soil loss 随 s s s 变化的结论不能脱离 Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 的处理方式：

若人为假定 Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 与 s s s 独立，峰值为 s = ( 2 1 / 2 ) x s=(2^{1/2})x s=(21/2)x；
若遵循 RWEQ 中 Q max ⁡ = 109.8 P Q_{\max}=109.8P Qmax=109.8P、 s = 150.71 P − 0.3711 s=150.71P^{-0.3711} s=150.71P−0.3711 的共同 P P P 关系， Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 与 s s s 必须同步变化；
在该耦合模型中，可以保留 P P P 分析 L ( P ) L(P) L(P)，也可以消去 P P P 分析 L ( s ) L(s) L(s)；两种写法描述同一物理情形；
耦合后，峰值左移为：

s max ⁡ ≈ 0.652697 x \boxed{s_{\max}\approx0.652697x} smax≈0.652697x

所以，决定结果的并不只是"对 s s s 求导"，更重要的是先明确：当 s s s 改变时， Q max ⁡ Q_{\max} Qmax 是保持不变，还是与 s s s 通过共同的 RWEQ 因子一起改变。