0、前言
上一节我们知道了如何求光源（或自发光）的 ，这一节，我们来求渲染方程的后半部分。反射分为漫反射和镜面反射，入射光又分直接光照和间接光照。
图一
直接光照：光线从光源照射到物体A表面某个点，然后反射到人眼
间接光照：光线从物体B反射出去，入射到物体A表面某个点，然后反射到人眼
那么渲染方程可以扩展为：
直接光照部分：
间接光照部分
各部分含义：
：光线照射到物体然后反射出去的 Radiance，这个可能会直接反射到眼睛，也可能反射到别的物体上，成为另一个物体表面某个点的间接光照
- cosθ：斜着来的光贡献较少（入射光与相交表面的法线夹角）
- 积分：把上方所有入射方向都考虑进去
Tips: 本节内容只考虑单一光源，多光源需要一个求和计算
1、反射 BRDF
反射包含漫反射和镜面反射，同样也要区分
渲染方程可以扩展为
1.1 漫反射
漫反射可以理解为：
光照到粗糙墙面后，向各个方向比较均匀地散开
漫反射反照率（diffuse albedo），常用 ρ 表示，表示材质对入射光进行漫反射的比例,即
ρ = 漫反射能量 / 入射能量， 是一个通常位于 0 到 1之间的参数。
在PBR工作流中：
（1）对于非金属材质
ρ
例如：
ρ=(0.8,0.2,0.1)
表示红、绿、蓝三个颜色通道的漫反射反射比例不同。
但这只是近似关系，尤其在存在纹理、次表面散射、光谱效应等情况下，不能简单认为 它就是实验上测得的真实反射率。
(2) 对于金属材质
ρ
理想情况下金属几乎没有传统意义上的漫反射
金属的颜色主要体现在镜面反射的 Fresnel 反射率中，而不是 ρ这个 Lambert 漫反射参数中
漫反射BRDF：
1.2 镜面反射
镜面反射可以理解成：
像镜子、抛光金属或光滑塑料那样，光主要沿一个特定方向反射。
物理渲染通常不用简单的 Phong或Blinn-Phong模型，而使用微表面模型，例如 Cook-Torrance BRDF：
2、求直接光照的Radiance
直接光照：光线从光源 --> 物体表面x点 -- >人眼
2.1 光源为无半径点光源、方向光
因为这两种光源因没有发光面积无法求出Radiance,且只有一个方向， 可以用Irradiance 来间接求出发射
2.2 光源为面光源
面光源是可以理解为很多个点光源组合在一起，且可以求出光源Radiance的，得到 ,具体见上一篇
(默认真空环境，radiance 不会衰减，实际环境中也会因为空气颗粒、雾气等衰减)
Tips ：这个是对面光源上所有的微元y到物体表面x这个方向的立体角
2.2.1 光线到物体表面x方向的立体角积分 转换为 光源面积的积分
对立体角进行积分比较复杂， 所有我们通常会把上边的公式转化为 对光源表面微元的面积积分
x : 光线招式到的物体表面位置
y：面光源微元的位置
r：x到y 的距离
解释一下这个转换，
可以求出光源微元的辐射强度
进而求出入射光线在物体表面的辐照度Irradiance
物体表面反射的Radiance
2.2.2 Monte Carlo 积分 （多次采样）
积分对于计算机来说还是复杂运算，可以通过蒙特卡洛， 用随机采样来估算积分结果
Monte Carlo 积分的步骤
1、随机采样N个点,
2、每次采样计算的结果除以概率分布函数pdf，得到一个预估值
3、求和N次的预估值，除以N 得到一个
例如：
原积分方程：
Monte Carlo估计为
因为面光源表面微元贡献值一样，采样均匀采样，对于单个面光源微元的采样概率
这个时候就得到直接光照
********* 为啥均匀采样得概率分布函数为
首先均匀采样得概率分布函数是一个常数，总的概率为1，则
3、求间接光照得Radiance
间接光照：光线从光源 -->物体 --> ... -->物体B --> 物体A表面x点 -- >人眼
间接光照是一个递归运算，公式：
A表面x点的直接光照 + A表面x点的间接光照
计算光线追踪的间接光照时，单次反射的采样数还有递归深度都可能造成路径数爆炸。为了避免路径数爆炸，实际的优化方向有以下几种：
3.1 Monte Carla 积分（单次采样）
如果是多次采样，每次反射，生成的路径会指数级翻倍，所以我们采样单次采样。从物体A表面的x点随机选择一个入射方向（而不是选择多个方向），取 -
，然后发射一条射线，看是否与别的物体有交点。
因为只随机选择一个入射方向，但需要通过积分所有的入射方向，才能算出正确的
, 所有需要一个入射方向
的概率分布函数
, 通过
估算出
方向的间接光照。 我们需要找到一个合适的
常见的几种采样方式及对应的概率分布函数：
3.1.1 均匀半球采样
比较好理解，半球内任意方向的概率都是相当的
pdf :
归一化验证 ：
求间接光照：
优点：
- 实现简单
- 适用于所有材质
缺点：
- 方差极大
- 实际
- 不推荐使用
3.1.2 余弦加权采样
也比较好理解，就是余弦函数 再除以一个常数，使pdf 的积分等于1，特点是pdf 的形状和余弦函数差不多，方向 小的方向贡献小，方向
大的方向贡献大
pdf :
归一化验证 ：
求间接光照：
优点：
- 比均匀采样方差小很多
- 适用于漫反射材质
- 公式简洁
缺点：
- 对镜面反射效果差
- 没有考虑 镜面反射 BRDF 的形状
3.1.3 BRDF 重要性采样
可以这么理解，镜面反射中，一束入射光经过镜面反射，反射光会在一个反射方向范围内；同样也可以认为一个反射方向范围内的所有入射光，经过镜面反射，变成一束出射光
GGX 微表面 BRDF 的采样
微表面法线 h的pdf：
入射间接光
pdf :
通常的步骤：
1、随机一个微表面法线h,
2、根据
3、再求
或者
1、随机生成一个
2、求微表面法线
3、再求
求间接光照：
( 约掉了
、4 、
）
优点：
- 镜面反射方差极小
- 求间接光照时，光滑材质效果好
- 物理正确
缺点：
- 粗糙表面效果不如余弦加权
- 实现复杂
- 推导p(w_i)时，没有考虑
3.1.4 该怎么选采样算法？
均匀半球采样方差太大， 余弦加权采样适合间接光照的漫反射，BRDF重要性采样适合间接光照的镜面反射。那真实场景中是怎么用的呢？
（1）麻布等只有漫反射的材质，用余弦加权采样
（2）玻璃等只有镜面反射的材质，用BRDF重要性采样
（3）同时拥有漫反射和镜面反射的材质有两种方案
3.1.4.1方案1：随机混合
步骤：
1、根据材质的性质，判断漫反射和镜面反射的比例，例如漫反射0.2， 镜面反射0.8
2、从漫反射和镜面反射概率分布函数中随机选一个生成入射光线
3、根据
4、生成混合pdf = 漫反射pdf * 0.2 + 镜面反射* 0.8
5、
如何判断漫反射和镜面反射的比例？这个以后有时间再补上
3.1.4.2方案2：多重重要性采样 MIS
这个就是计算间接光照时，发两条射线去计算，一个用余弦加权采样，一个用BRDF重要性采样，然后再合起来，具体细节以后有时间再聊
总结：效果上肯定多重重要性采样 更好，但增加了光线路径，效率上变慢。实时光线追踪普遍使用的是
3.2 递归什么时候停止？
实际渲染中：
- 不能无限递归（会栈溢出）
- 不能计算无限长的路径（太慢）
必须在某个地方停止递归。
**3.2.1 方案一、**设置最大递归深度
这种方式比较简单，但有两个问题
（1）损失能量，以Cornell Box为例，光线在封闭盒子里反复反弹，假设每次反弹损失20%能量
bounce 0: 1.0
bounce 1: 0.8
bounce 2: 0.64
bounce 3: 0.512
bounce 4: 0.410
bounce 5: 0.328
bounce 6: 0.262
...
真实总能量 = 1 / （1 - 0.8） = 5.0
如果递归深度设为3 ，只计算前4项
1 + 0.8 + 0.64 + 0.512 = 2.952
损失了 (5.0 - 2.952) / 5.0 = 41% 的能量！
（2）计算浪费
对于高反射率的材质（如白色墙），后续 bounces 贡献大，需要很深的路径。
但对于低反射率的材质（如黑色布料），2~3 次 bounce 后能量就衰减到几乎为 0。
固定深度的问题：
- 对暗材质：浪费计算（追踪了没用的路径）
- 对亮材质：深度不够（丢失了重要能量）
3.2.2 方案二、俄罗斯轮盘赌 （推荐）
通过一个概率值q来决定是否要继续递归， ( 0< q < 1), 如果一个0到1内的随机数小于q, 就继续，否则就结束递归
俄罗斯轮盘赌提供了一种递归终止的方式，但因为有1- q的概率会终止，所以当递归要继续时，返回的 ,用来弥补能量损失。
python
def trace_ray(ray, depth):
hit = scene.intersect(ray)
if not hit:
return background_color
L_direct = compute_direct_light(...)
# ==========================================
# 俄罗斯轮盘赌
# ==========================================
if depth >= MIN_DEPTH: # 例如 MIN_DEPTH = 3
# 计算继续概率
q_continue = 0.8 # 或者根据 albedo 动态计算
if random() > q_continue:
# 停止递归
# 只返回L_direct , 因为L_indirect = 0
return L_direct
else:
q_continue = 1.0 # 前几次 bounce 强制继续
# ==========================================
# 继续追踪（如果没被杀死）
# ==========================================
ω_sample, pdf = sample_direction(...)
ray_indirect = Ray(hit.position, ω_sample)
L_o_next = trace_ray(ray_indirect, depth + 1)
L_indirect = (f_r × L_o_next × cos) / pdf
# ==========================================
# 俄罗斯轮盘赌修正
# ==========================================
L_indirect /= q_continue # ← 补偿被杀死的路径
return L_direct + L_indirect这个q 值怎么选？
可以是一个固定值，也可以根据材质albedo
python
def get_continue_probability(material, albedo, depth):
# 前几次 bounce 强制继续
if depth < 3:
return 1.0
# 根据路径贡献
luminance = 0.2126 × albedo.r + 0.7152 × albedo.g + 0.0722 × albedo.b
q = min(luminance, 0.95)
# 至少有 5% 继续概率（避免完全停止）
return max(q, 0.05)3.2.3 总结
tips : 因为间接光照的反射时仅采样一个随机方向，俄罗斯轮盘赌也会有误差，可以通过增加像素的射线数来使结果趋向期望值