PCHIP 保形三次 Hermite 连续化

PCHIP（Piecewise Cubic Hermite Interpolating Polynomial）是一种把离散采样点连接成平滑曲线，同时尽量保留原始走势的插值方法。 中文常称"分段三次 Hermite 保形插值"。

什么是连续化

例如，你有几个时间点的位置：

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时间 t：0   1   2   3
位置 x：0   1   1   2

PCHIP 会构造连续函数 x(t)x(t)x(t)，通过所有采样点，让你能查询任意中间时刻的位置。这里的"连续化"就是从离散数据得到可连续求值的函数，并不代表恢复出了真实的中间运动。

名称的含义

分段三次：每两个相邻采样点之间，用一段三次多项式连接。
Hermite：每段曲线由两端的数值和两端的斜率决定。
保形：根据相邻数据自动选择斜率，使原本单调的区间保持单调，避免普通三次样条可能产生的过冲、振荡。上例中 x=1x=1x=1 的平台会保持平坦。

插值公式

在区间 $ti,ti+1$ $t_i,t_{i+1}$ $ti,ti+1$ 内，令 h=ti+1−tih=t_{i+1}-t_ih=ti+1−ti、s=(t−ti)/hs=(t-t_i)/hs=(t−ti)/h，有：

x(t)=(2s3−3s2+1)xi+(s3−2s2+s)hmi+(−2s3+3s2)xi+1+(s3−s2)hmi+1. x(t)= (2s^3-3s^2+1)x_i +(s^3-2s^2+s)h m_i +(-2s^3+3s^2)x_{i+1} +(s^3-s^2)h m_{i+1}. x(t)=(2s3−3s2+1)xi+(s3−2s2+s)hmi+(−2s3+3s2)xi+1+(s3−s2)hmi+1.

其中 mi,mi+1m_i,m_{i+1}mi,mi+1 是 PCHIP 根据数据估计的端点斜率。关键在斜率的选择：相邻区间斜率反号或其中一个为零时，内部节点斜率设为零；同号时，采用加权调和平均，限制曲线弯曲程度。整条曲线最外侧的两个端点使用单边斜率估计，并进行保形限制。

与其他插值方法的区别

方法	通过采样点	节点处平滑性	保形特点
线性插值	是	数值连续，斜率可能跳变	不过冲，但有折角
PCHIP	是	数值、一阶导数连续（C1C^1C1）	保持标量单调性，避免过冲
普通三次样条	是	通常二阶导数也连续（C2C^2C2）	更光滑，但可能过冲

这些保形性质针对采样范围内的插值，不能直接推广到范围外的外推。

用于运动轨迹时的含义

用于时间---位置轨迹时，PCHIP 意味着位置和速度连续，但加速度在分段节点处可能跳变。

对三维坐标分别插值，只能保证各坐标分量的保形性质，不能自动保证整条轨迹满足速度、曲率或其他物理约束。