一、先把题目变成一个"小侦探故事" 🔍
假设老师给小明一个数字：
10问：
10 可以由多少种不同的"两个素数之和"组成？
我们知道：
10 = 3 + 7
10 = 5 + 5所以答案是：
2而且：
3 + 7
7 + 3是按照同一种方法。
题目明确规定：
只有两个分解方案中的素数集合不同，才算不同方案。
所以我们不能把：
3 + 7
7 + 3算成两次。
二、这道题真正问的是什么？
我们可以把问题浓缩成一句话：
给你一个偶数 n，找出所有满足
p + q = n的素数对(p,q)，而且每一对只能计算一次。
例如：
n = 10
尝试：
2 + 8
3 + 7
4 + 6
5 + 5其中：
-
2 是素数，但 8 不是 ❌
-
3 是素数，7 也是素数 ✅
-
4 不是素数 ❌
-
5 是素数，5 也是素数 ✅
所以：
10 = 3 + 7
10 = 5 + 5答案：
2三、第一关：什么是素数？⭐
一个大于 1 的整数：
只能被 1 和它自己整除
就是素数。
例如：
2 √
3 √
4 ×
5 √
6 ×
7 √
8 ×
9 ×
10 ×
11 √所以：
2 3 5 7 11都是素数。
四、如果一个一个判断素数，可以吗？
当然可以。
比如我们枚举：
2
3
4
5
...
n/2然后判断：
i 是不是素数？
n-i 是不是素数？如果两个都是素数：
ans++;就可以了。
但是问题来了：
如果 n 很大呢？
如果每次都重新判断一个数是不是素数，就可能重复做大量工作。
所以这道题的漂亮解法是：
⭐ 先把所有素数一次性找出来！
这就是：
埃氏筛------筛素数
五、埃氏筛：像筛面粉一样筛掉合数
我们准备一个数组：
bool not_prime[1000005];它的含义是：
not_prime[x] == true表示：
x 不是素数。
反过来：
not_prime[x] == false表示：
x 目前还是"素数候选人"。
可以把它想象成：
🌟 一开始所有数字都参加"素数选拔赛"，然后我们不断把合数淘汰掉。
六、筛素数第一步：1 不是素数
程序：
not_prime[1] = true;因为：
1不是素数。
七、从 2 开始检查
参考程序：
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (!not_prime[i]) {
primes[pcnt++] = i;
for (int j = 2; i * j <= n; ++j) {
not_prime[i * j] = true;
}
}
}我们一步一步看。
八、遇到 2：发现 2 是素数
因为：
not_prime[2] == false所以：
2 是素数把它保存：
primes[pcnt++] = 2;然后把 2 的倍数全部标记成合数：
2×2 = 4
2×3 = 6
2×4 = 8
2×5 = 10
...于是：
4 ×
6 ×
8 ×
10 ×
...都被淘汰。
九、遇到 3
3 还没有被标记：
not_prime[3] == false所以：
3 是素数保存：
primes = {2,3}然后把：
3×2 = 6
3×3 = 9
3×4 = 12
...标记成合数。
十、遇到 4
这时候：
not_prime[4] == true说明：
4 已经被 2 淘汰所以：
if (!not_prime[i])不成立。
直接跳过。
十一、最后得到一个"素数通讯录"
比如：
n = 20最后：
primes =
2
3
5
7
11
13
17
19这就是我们的素数名单。
参考程序就是先通过 get_primes() 完成这件事情。
十二、第二关：找到两个素数
现在假设：
n = 20我们已经知道：
2 3 5 7 11 13 17 19都是素数。
那么我们要寻找：
p + q = 20例如：
2 + 18 ❌
3 + 17 ✅
5 + 15 ❌
7 + 13 ✅
11 + 9 ❌所以：
20 = 3 + 17
20 = 7 + 13答案：
2十三、为什么只枚举到 n/2？
这是这道题最重要的一个小技巧。
参考程序：
primes[i] <= n / 2为什么？
假设：
n = 20如果我们枚举到：
11那么：
20 - 11 = 9这已经超过一半了。
而前面其实已经检查过：
20 = 9 + 11所以再检查：
11 + 9就是重复计算。
十四、这就是"去重"的秘密 ⭐⭐⭐
假设：
n = 10如果我们全部枚举：
2 + 8
3 + 7
4 + 6
5 + 5
6 + 4
7 + 3
8 + 2你会发现：
3 + 7
7 + 3重复了。
所以我们只检查：
p <= n/2也就是：
p <= 5只需要：
2 + 8
3 + 7
4 + 6
5 + 5这样：
3 + 7出现一次。
7 + 3根本不会再出现。
这就是一种非常重要的：
"只枚举一半，自动避免重复"
十五、程序中这一句非常关键
参考程序：
for (int i = 0; i < pcnt && primes[i] <= n / 2; ++i)可以拆成：
i < pcnt表示：
还没有走完素数数组。
以及：
primes[i] <= n / 2表示：
只检查前一半的素数。
十六、然后检查另一个数字是不是素数
程序：
if (!not_prime[n - primes[i]])
ans++;这句话看起来有点吓人，我们翻译成"小学生语言"：
假设：
n = 20
primes[i] = 7那么另一个数字就是：
20 - 7 = 13程序检查：
!not_prime[13]因为：
13 是素数所以：
not_prime[13] = false那么：
!false = true于是：
ans++;答案加 1。
十七、完整走一遍 n = 20
我们来做一张"侦探表"。
| 第一个素数 | 第二个数 20-p |
是素数吗？ | 算不算 |
|---|---|---|---|
| 2 | 18 | ❌ | 不算 |
| 3 | 17 | ✅ | ✅ |
| 5 | 15 | ❌ | 不算 |
| 7 | 13 | ✅ | ✅ |
| 11 | 9 | ❌ | 不算 |
所以：
20 = 3 + 17
20 = 7 + 13答案：
2十八、再看一个 n = 28
素数：
2 3 5 7 11 13 17 19 23只检查：
p <= 14于是：
2 + 26 ❌
3 + 25 ❌
5 + 23 ✅
7 + 21 ❌
11 + 17 ✅
13 + 15 ❌所以：
28 = 5 + 23
28 = 11 + 17答案：
2十九、现在来看完整参考程序
参考程序核心结构是：先筛素数，再枚举不超过 n/2 的素数，并检查 n-primes[i] 是否也是素数。
#include <cassert>
#include <cstdio>
using namespace std;
int n, ans;
bool not_prime[1000005];
int primes[500000], pcnt = 0;
void get_primes() {
not_prime[1] = true;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
if (!not_prime[i]) {
primes[pcnt++] = i;
for (int j = 2; i * j <= n; ++j) {
not_prime[i * j] = true;
}
}
}
}
int main() {
scanf("%d", &n);
get_primes();
for (int i = 0;
i < pcnt && primes[i] <= n / 2;
++i) {
if (!not_prime[n - primes[i]])
ans++;
}
printf("%d\n", ans);
return 0;
}二十、把程序分成"三个房间" 🏠
其实程序只有三个任务。
🏠 房间1：输入
scanf("%d", &n);得到：
n🏠 房间2：制作素数名单
get_primes();完成：
2
3
5
7
11
13
...🏠 房间3：寻找答案
for (...)
if (...)
ans++;也就是：
找到一个素数
p，再看看n-p是不是素数。
二十一、同学们一定要理解的核心思想
这道题千万不要只记代码。
应该记住下面这个"魔法公式"：
⭐ 核心公式
如果：
n = p + q那么：
q = n - p所以：
枚举一个素数 p，只需要检查 n-p 是不是素数。
而为了避免：
p + q
q + p重复：
只枚举
p <= n/2。
二十二、为什么这道题需要"筛素数"？
假如我们要检查：
n - p是不是素数。
如果每次都从 2 开始试除：
2
3
4
5
...会比较慢。
于是我们提前做一次：
埃氏筛把：
2~n里面所有素数找出来。
以后判断：
not_prime[x]就可以：
O(1)知道它是不是素数。
这就是算法思想中的：
"先预处理，再快速查询"
二十三、最容易犯的 4 个错误 ⚠️
错误1：把 p+q 和 q+p 算两次
例如：
3+7
7+3不能算两次。
解决办法：
primes[i] <= n / 2只枚举一半。
错误2：忘记 1 不是素数
程序：
not_prime[1] = true;就是为了明确告诉计算机：
1 ❌错误3：看到 !not_prime 就晕
记住：
not_prime[x] = true意思：
x 不是素数。
所以：
!not_prime[x]就是：
x 是素数。
可以把它翻译成：
"不是非素数"也就是：
"是素数"错误4：只判断 p 是素数
例如：
20看到：
7是素数就直接 ans++，这是错的。
必须同时保证：
7 是素数
20-7=13 也是素数两个都成立，才能算一种方案。
二十四、这道题的"万能思维模板" 🧠
以后遇到类似题目，可以按照这个顺序思考：
第一步：题目要找什么？
p + q = n第二步：能不能枚举一个？
可以。
枚举：
p然后：
q = n-p第三步：怎么快速判断 q？
提前：
筛素数第四步：如何避免重复？
只枚举：
p <= n/2第五步：找到一组合法方案怎么办？
ans++;二十五、最后送大家一句"考场口诀" 🎯
先筛素数，名单做好；
枚举一半，避免重复；
q = n-p，两个都素；
找到一组，答案加一！