从混乱星座到 QPSK 点簇：GNU Radio Costas Loop 载波同步实测
本文从 GNU Radio 的真实接收结果出发：匹配滤波后的星座为什么仍然混乱？Gardner 为什么先把它整理成旋转圆环？Costas Loop 又怎样让圆环停下来，重新显现为 QPSK 四个点簇？
前言：信号收到了，为什么星座图还是乱的？
发射端和接收端使用各自独立的参考时钟，即使设置了相同的载波频率，实际本振之间仍然会有微小频差。
这个频差在接收基带中表现为 载波频率偏移（Carrier Frequency Offset，CFO），它会让 QPSK 星座随时间持续旋转。但在真实 GNU Radio 接收机中，我们最先看到的通常还不是一个漂亮的旋转圆环，而是一幅相当混乱的星座图。
一、实验环境与接收参数
发送端的模块信息参照：首先从\[Gnuradio中数字调制一般方法]这开始，我们在这文章中写了一个一般的调制方法，我们现在用这个来作为发射端的信号，后面解调端就是来解这个信号。简单抽象如下：
运行效果为：
为了观察信号进入接收机后的变化，先搭建一条最小接收链路：
运行后，我们确实能从 频谱 中看到接收到的 QPSK 信号，时域也出现了连续变化的 I/Q 波形；然而星座图并不是理想的四个点，而是一片带有过渡轨迹的混乱图形。
这说明：
接收到信号，不等于已经能够恢复符号。
接收端还需要回答两个问题：
-
每个符号应该在什么时刻采样？
-
采样得到的星座为什么还在旋转？
它们分别对应 符号同步 和 载波同步。本文的主角，就是完成载波同步的 Costas Loop。
本文使用两台 P201Pro/PlutoSDR 构成 QPSK 无线收发链路，一台发射，另一台接收。大致 架构 如下：
实验环境如下：
其中：
QPSK 每个符号携带 2 bit，因此理论码率为：
二、匹配滤波以后，我们看到了什么？
2.1 匹配滤波器的作用
发射端使用根升余弦（RRC）滤波器完成脉冲成形，接收端则使用相同参数的 RRC 作为匹配滤波器：
匹配滤波器的主要作用，是在最佳采样时刻最大化信噪比，并与发射端的成形滤波器共同形成接近升余弦的整体响应。关于脉冲成形、滤波器延迟和幅度归一化，前文 匹配滤波器 已经介绍过，本文不再展开。
需要注意的是：匹配滤波器只完成滤波，输出仍然保持 4 SPS。它不会自动告诉接收机"四个采样点中的哪一个才是符号中心"。
三、为什么本文先做符号同步？
3.1 符号同步先解决"什么时候采样"
在当前接收链中，我们使用 Gardner Symbol Sync：
Gardner 是一种非判决导向的定时误差检测方法。它不需要提前知道当前样本属于哪个 QPSK 符号，因此即使载波尚未完全同步、星座仍在旋转，它也可以先寻找符号的最佳采样时刻。
Gardner完成两件事：
-
调整采样相位，使输出尽量落在每个符号的中心；
-
将输入从 4 SPS 转换为 1 SPS。
3.2 从混乱星座到旋转圆环
当过渡采样点被排除，每个输出样本都更接近真实的 QPSK 符号。此时，载波频偏没有消失，但星座的幅度结构已经清楚得多。
于是我们看到了一种非常有辨识度的中间状态：旋转圆环。
这个圆环说明：
-
最佳符号采样点已经基本被提取；
-
QPSK符号的幅度开始形成稳定结构；
-
但符号相位仍随时间持续变化；
-
因此还不能稳定地按四个象限进行判决。
这也是本文将 Symbol Sync 放在 Costas Loop 前面的原因：先把正确的符号样本挑出来，才能清楚观察 Costas 如何把圆环收敛成点簇。
这里讨论的是本文采用的 Gardner 接收链和调试顺序，并不是所有接收机必须遵守的绝对规则。若使用判决导向的 Mueller--Müller 定时同步，或采用其他载波捕获结构，模块顺序可能不同。
四、从旋转圆环引出CFO
为什么最佳采样点已经找到了，QPSK仍然不是四个点？
在前文 \[发射端基础知识--晶振与频率合成（6）\|晶振与频率合成（6）] 中已经看到：发射设备和接收设备具有各自独立的参考时钟。两边本振存在微小频差时，下变频后的基带信号会留下残余CFO。
符号同步后的接收信号可以简化表示为：
其中：
-
：发送的 QPSK 符号；
-
：载波频率偏移；
-
：初始相位偏移；
-
：噪声。
相邻符号之间会多出一小段相位：
单个符号多转一点似乎并不明显，但相位误差会随符号序号不断累积。观察时间足够长时，原来的四个QPSK点沿单位圆不断转动，最终在星座图上叠加成圆环。
要让圆环重新变成四个点簇，接收机必须估计这项持续增长的旋转相位，并对信号进行反向旋转。这就是 载波同步，也是 Costas Loop 的任务。
五、Costas Loop怎样让圆环停下来
Costas Loop可以理解为一个不断测量残余相位误差、再反向修正的反馈环路：
它的校正过程可以写成：
其中 是Costas估计的载波相位。
-
鉴相器判断当前点相对理想QPSK方向偏了多少；
-
环路滤波器平滑误差，并持续更新频率和相位估计；
-
NCO产生反方向旋转，将接收星座转回来。
当估计的旋转速度跟上真实CFO时：
持续增长的相位被抵消，星座不再转圈，QPSK的四个点簇重新显现出来。
六、GNU Radio实测：圆环怎样变成四个点簇
完整接收链如下：
前级增益、粗频偏处理和Symbol Sync已经完成基本调试，本文只关注Costas Loop前后的变化。
6.1 Costas Loop之前：旋转圆环
Costas前的星座已经不再是一片完全无结构的散点。Symbol Sync提取出的符号样本集中在一个较明确的半径附近，但整个星座仍然持续旋转，长时间显示后形成较宽圆环。
此时定时同步已经发挥作用，但载波相位仍未恢复。
6.2 Costas Loop参数
本文采用GNU Radio的QPSK Costas Loop：
Order=4对应QPSK的四重旋转对称性。Loop Bandwidth决定环路以多快的速度追踪相位变化，也决定锁定后对噪声的平滑程度。
6.3 打开Costas Loop：恢复四个点簇
打开Costas后，星座变化非常直观：
旋转圆环 → 环逐渐收缩 → 四个象限结构出现 → 形成QPSK四个点簇
圆环消失，说明持续相位旋转已经被抑制；四个点簇重新出现，说明Costas已经恢复了QPSK载波参考。
真实硬件中的点簇不会像理想仿真那样成为四个数学点。热噪声、残余相位误差、定时误差和 射频 链路非理想都会使点簇具有一定宽度。但"圆环变成四簇"已经清楚证明Costas Loop完成了基本载波同步。
MATLAB把这三个阶段放在同一坐标尺度下，可以更清楚地看到结构变化：
匹配滤波、符号同步和Costas载波同步后的星座变化。MATLAB采用已知残余CFO构造理想化对照，GNU Radio实测图将在正文前述位置补充。
七、Loop Bandwidth究竟控制什么？
在GNU Radio的Costas Loop中，最直接的调节参数是 Loop Bandwidth。
直观地说，它决定Costas愿意以多快的速度追踪输入相位：
-
带宽较小：估计更平滑、抗噪声更好，但捕获和跟踪较慢；
-
带宽较大：能够更快追踪CFO和相位变化，但也会把更多噪声带进环路；
-
带宽适中：在捕获速度和稳态点簇宽度之间取得折中。
7.1 GRC暴露的参数和环路理论怎样对应
GNU Radio 3.10的Costas Loop继承了一个通用二阶control_loop。GRC界面没有把所有理论参数都直接暴露出来，而是只让我们设置最常用的三项：
这里的Order=4不是说控制环本身是四阶环路。它只表示使用适合QPSK的四重对称鉴相器，后面的频率与相位 跟踪 仍然是二阶环路。
源码内部还有一些没有在GRC参数区直接显示的设置：
当用户改变Loop Bandwidth时，源码按照下面的关系自动生成比例增益和积分增益：
随后每处理一个输入符号，环路状态更新为：
主要完成较快的相位修正；不断累积，逐渐建立频率估计。因此增大Loop Bandwidth会同时增大和，而在带宽较小时，近似随增长，这就是大带宽捕获频偏更快的源码原因。
对本文使用的Loop Bandwidth=0.015，代入GNU Radio默认阻尼系数可得：
GNU Radio 3.10中GRC参数、QPSK鉴相器、二阶control_loop和NCO之间的对应关系。下方曲线给出Loop Bandwidth如何转化为、。
源码还提供三个可选输出，它们非常适合调试：
以上结构来自GNU Radio官方maint-3.10分支的Costas逐样点实现、公共control_loop和GRC模块定义。
7.2 Loop Bandwidth对应哪个采样率？
本文的Costas Loop位于Symbol Sync之后，此时输入已经从4 SPS变为1 SPS，因此Loop Bandwidth相对于：
归一化，而不是相对于前级的2.084 MS/s。
为了帮助理解，可以使用下面的频率尺度：
这里的用于建立直觉，不等同于严格的3 dB噪声带宽。
7.3 同一输入，只改变Loop Bandwidth
为了只观察Loop Bandwidth的作用， MATLAB使用 完全相同的：
-
QPSK符号序列；
-
521 kSym/s符号率；
-
600 Hz残余CFO；
-
32°初始相位；
-
16 dB信噪比。
只将Loop Bandwidth设置为：
0.005 / 0.010 / 0.015 / 0.020
不同Loop Bandwidth下的频率估计与残余相位误差。带宽增大后环路响应更快，但锁定后的估计波动也更加明显
上图的第一部分观察频率估计是否追上真实残余CFO；第二部分观察相位误差是否进入稳定范围。两张曲线合起来，才构成完整的"锁定"判断。
7.4 捕获速度与稳态噪声的折中
Loop Bandwidth的核心折中。左图用"频率估计首次达到真实CFO的90%"衡量响应速度；右图表示锁定后的相位误差和频率估计波动。首次达到90%不等于已经稳定锁定，大带宽还可能出现更明显的过冲。
这也解释了GNU Radio调试中的一个典型现象：
增大Loop Bandwidth时，圆环可能更快收成四簇；但继续增大，四簇未必更紧，反而可能出现更明显的相位方向扩散。
本文使用的0.015并不是一个脱离信号速率的固定答案。它是在当前符号率、残余CFO和信噪比条件下，对捕获速度与稳态星座质量进行折中的结果。
这里需要特别避免一个误解：Loop Bandwidth并不直接等于一个固定的"最大可纠正频偏"。 捕获能力还受到鉴相器、阻尼系数、初始相位、信噪比和允许锁定时间影响。
八、总结
从PlutoSDR Source输出的真实IQ信号开始，接收星座经历了三个阶段：
符号同步回答的是：
应该在什么时候观察符号？
载波同步回答的是：
观察到的符号为什么还在旋转？
而GNU Radio中的Loop Bandwidth，则决定Costas环如何在"更快追上旋转"和"锁定后更加平稳"之间进行选择。
最终，Costas Loop最直观的作用可以概括成一句话：
让正在旋转的QPSK星座停下来，把圆环重新变成可以判决的四个点簇。