整数整除判定法全解：从 2 到 19 的方法、依据与证明
整除判定看似是一堆零散口诀，但本质上都来自同一个东西：十进制下的模运算。只要理解同余，就能自己推导出各种规则，而不是死记硬背。
本文系统整理从 2 到 19 的整除判定方法，逐个给出：
- 判定方法；
- 数学依据；
- 证明；
- 必要时给出例子。
一、统一原理：一切从同余开始
设一个十进制整数为：
N=∑di10i N=\sum d_i10^i N=∑di10i
其中 did_idi 是各位数字。
要判断 m∣Nm\mid Nm∣N，就是判断：
N≡0(modm) N\equiv 0\pmod m N≡0(modm)
因为十进制中 10k10^k10k 对不同的 mmm 有不同的余数，所以会产生不同的快速判定法。
常用的有五种工具：
1. 末几位法
如果：
10k≡0(modm) 10^k\equiv 0\pmod m 10k≡0(modm)
则 NNN 只看末 kkk 位即可。
例如：
- 10≡0(mod2)10\equiv0\pmod210≡0(mod2)，所以 2 看末一位；
- 100≡0(mod4)100\equiv0\pmod4100≡0(mod4)，所以 4 看末两位；
- 1000≡0(mod8)1000\equiv0\pmod81000≡0(mod8)，所以 8 看末三位。
2. 数字和法
如果：
10≡1(modm) 10\equiv1\pmod m 10≡1(modm)
则：
N=∑di10i≡∑di(modm) N=\sum d_i10^i\equiv\sum d_i\pmod m N=∑di10i≡∑di(modm)
所以看各位数字和。
例如 3、9。
3. 递推法
设：
N=10a+b N=10a+b N=10a+b
其中 bbb 是末位数字，aaa 是去掉末位后的数。
若找到 ccc，使得：
10c≡1(modm) 10c\equiv1\pmod m 10c≡1(modm)
令：
T=a+cb T=a+cb T=a+cb
则：
10T=10a+10cb≡10a+b=N(modm) 10T=10a+10cb\equiv10a+b=N\pmod m 10T=10a+10cb≡10a+b=N(modm)
所以：
N≡10T(modm) N\equiv10T\pmod m N≡10T(modm)
因为通常 gcd(10,m)=1\gcd(10,m)=1gcd(10,m)=1，所以：
T≡0(modm) ⟺ N≡0(modm) T\equiv0\pmod m\iff N\equiv0\pmod m T≡0(modm)⟺N≡0(modm)
这就是"去掉末位，加或减末位若干倍"的来源。
这里 gcd(10,m)=1\gcd(10,m)=1gcd(10,m)=1 是关键一步：只有 10 在模 mmm 下可逆，才能从 N≡10T(modm)N\equiv10T\pmod mN≡10T(modm) 反推出 T≡0 ⟺ N≡0T\equiv0\iff N\equiv0T≡0⟺N≡0。如果 gcd(10,m)>1\gcd(10,m)>1gcd(10,m)>1，10 没有模 mmm 的逆元，这条等价链就不成立。
4. 分组交替法
如果：
10p≡−1(modm) 10^p\equiv-1\pmod m 10p≡−1(modm)
则从右往左每 ppp 位分成一组，交错加减：
最低组−次低组+第三组−⋯ \text{最低组}-\text{次低组}+\text{第三组}-\cdots 最低组−次低组+第三组−⋯
结果与 NNN 对 mmm 同余。
因为：
10kp≡(−1)k(modm) 10^{kp}\equiv(-1)^k\pmod m 10kp≡(−1)k(modm)
5. 合数拆分法
如果：
m=ab,gcd(a,b)=1 m=ab,\qquad \gcd(a,b)=1 m=ab,gcd(a,b)=1
则：
m∣N ⟺ a∣N 且 b∣N m\mid N\iff a\mid N\text{ 且 }b\mid N m∣N⟺a∣N 且 b∣N
因为 a,ba,ba,b 互质，所以最小公倍数是 ab=mab=mab=m。
以 6 为例完整走一遍：若 2∣N2\mid N2∣N，则 N=2kN=2kN=2k；又 3∣N=2k3\mid N=2k3∣N=2k。由于 gcd(2,3)=1\gcd(2,3)=1gcd(2,3)=1，所以 3∣k3\mid k3∣k，于是 k=3tk=3tk=3t，N=6tN=6tN=6t，故 6∣N6\mid N6∣N。
同时要注意"互质"这个条件不能丢：666 能同时被 222 和 666 整除，但 666 并不能被 121212 整除。原因在于 222 与 666 不互质，两者的最小公倍数是 666，而不是 2×6=122\times6=122×6=12。
快速判定法选择流程
综合上面五种工具，判断一个整数 NNN 能否被 mmm 整除时，可以按下面的流程先选择合适方法：
#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV p{margin:0;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .label text,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node rect,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node circle,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node ellipse,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node polygon,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .rough-node .label text,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node .label text,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .image-shape .label,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .rough-node .label,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node .label,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .image-shape .label,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .icon-shape,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .icon-shape p,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-emu4A1hz6dgMA8pV :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 是
否
是
否
是
否
是
否
是
否
输入整数 N 和除数 m
判断 10^k mod m
10^k ≡ 0 (mod m) 吗？
末几位法：看末 k 位
10 ≡ 1 (mod m) 吗？
数字和法：看各位数字和
能否找到 c 使 10c ≡ 1 (mod m)？
递推法：N = 10a + b，T = a + cb
10^p ≡ -1 (mod m) 吗？
分组交替法：每 p 位一组交替加减
m 是否为合数且能拆成互质因子？
合数拆分法：分别判断各因子
继续寻找其它同余关系
二、从 2 到 19 逐个详解
2 的判定
方法 ：末位是偶数。
依据 ：10≡0(mod2)10\equiv0\pmod210≡0(mod2)。
证明：
设 N=10a+bN=10a+bN=10a+b，其中 bbb 是末位，则：
N=10a+b≡b(mod2) N=10a+b\equiv b\pmod2 N=10a+b≡b(mod2)
所以 NNN 能否被 2 整除，只看末位 bbb。
例子：1234 末位是 4，偶数，所以能被 2 整除。
3 的判定
方法 ：各位数字和能被 3 整除。
依据 ：10≡1(mod3)10\equiv1\pmod310≡1(mod3)。
证明：
N=∑di10i≡∑di(mod3) N=\sum d_i10^i\equiv\sum d_i\pmod3 N=∑di10i≡∑di(mod3)
所以数字和与 NNN 对 3 同余。
例子 ：123 的数字和 1+2+3=61+2+3=61+2+3=6，能被 3 整除，所以 123 能被 3 整除。
4 的判定
方法 ：末两位能被 4 整除。
依据 ：100≡0(mod4)100\equiv0\pmod4100≡0(mod4)。
证明：
设 bbb 是末两位组成的数：
N=100a+b≡b(mod4) N=100a+b\equiv b\pmod4 N=100a+b≡b(mod4)
所以只看末两位。
例子：1316 的末两位是 16，16 能被 4 整除，所以 1316 能被 4 整除。
5 的判定
方法 ：末位是 0 或 5。
依据 ：10≡0(mod5)10\equiv0\pmod510≡0(mod5)。
证明 ：
N=10a+b≡b(mod5) N=10a+b\equiv b\pmod5 N=10a+b≡b(mod5)
所以只看末位。
例子：12345 末位是 5，能被 5 整除。
6 的判定
方法 ：能同时被 2 和 3 整除。
依据 ：6=2×36=2\times36=2×3，且 gcd(2,3)=1\gcd(2,3)=1gcd(2,3)=1。
证明 ：若 2∣N2\mid N2∣N 且 3∣N3\mid N3∣N，因为 2 与 3 互质，所以 6∣N6\mid N6∣N。
例子 ：1230 是偶数，数字和 1+2+3+0=61+2+3+0=61+2+3+0=6，能被 3 整除，所以能被 6 整除。
7 的判定
方法 A：去掉末位，减去末位的 2 倍
规则 ：设 N=10a+bN=10a+bN=10a+b，计算：
T=a−2b T=a-2b T=a−2b
若 TTT 能被 7 整除，则 NNN 能被 7 整除。可以反复使用。
依据：
10×(−2)=−20≡1(mod7) 10\times(-2)=-20\equiv1\pmod7 10×(−2)=−20≡1(mod7)
因为 (-20+21=1)。
证明：
10T=10(a−2b)=10a−20b 10T=10(a-2b)=10a-20b 10T=10(a−2b)=10a−20b
而：
N−10T=(10a+b)−(10a−20b)=21b N-10T=(10a+b)-(10a-20b)=21b N−10T=(10a+b)−(10a−20b)=21b
因为 21=3×721=3\times721=3×7，所以：
N≡10T(mod7) N\equiv10T\pmod7 N≡10T(mod7)
又因为 gcd(10,7)=1\gcd(10,7)=1gcd(10,7)=1，所以：
T≡0(mod7) ⟺ N≡0(mod7) T\equiv0\pmod7\iff N\equiv0\pmod7 T≡0(mod7)⟺N≡0(mod7)
求余数：若 (T) 除以 7 余 (r)，则：
N≡10r(mod7) N\equiv10r\pmod7 N≡10r(mod7)
方法 B：三位分组交替加减
因为：
1000≡−1(mod7) 1000\equiv-1\pmod7 1000≡−1(mod7)
所以从右往左每三位一组，交错加减：
最低三位−中间三位+最高三位−⋯ \text{最低三位}-\text{中间三位}+\text{最高三位}-\cdots 最低三位−中间三位+最高三位−⋯
结果能被 7 整除，原数就能被 7 整除。
例子：判断 123456789 除以 7 的余数。
分组：
123 ∣ 456 ∣ 789 123\ |\ 456\ |\ 789 123 ∣ 456 ∣ 789
计算：
789−456+123=456 789-456+123=456 789−456+123=456
456≡1(mod7) 456\equiv1\pmod7 456≡1(mod7)
所以 123456789 除以 7 余 1。
8 的判定
方法 ：末三位能被 8 整除。
依据 ：1000≡0(mod8)1000\equiv0\pmod81000≡0(mod8)。
证明：
设 bbb 是末三位：
N=1000a+b≡b(mod8) N=1000a+b\equiv b\pmod8 N=1000a+b≡b(mod8)
例子 ：12312 的末三位是 312，312÷8=39312\div8=39312÷8=39，所以能被 8 整除。
9 的判定
方法 ：各位数字和能被 9 整除。
依据 ：10≡1(mod9)10\equiv1\pmod910≡1(mod9)。
证明：
N=∑di10i≡∑di(mod9) N=\sum d_i10^i\equiv\sum d_i\pmod9 N=∑di10i≡∑di(mod9)
例子：123456789 的数字和是 45，45 能被 9 整除，所以原数能被 9 整除。
10 的判定
方法 ：末位是 0。
依据 ：10≡0(mod10)10\equiv0\pmod{10}10≡0(mod10)。
证明 ：
N=10a+b≡b(mod10) N=10a+b\equiv b\pmod{10} N=10a+b≡b(mod10)
所以只有 b=0b=0b=0 时才能被 10 整除。
例子：1230 末位是 0，能被 10 整除。
11 的判定
方法 A：奇偶位和之差
从右往左编号，最低位为第 1 位。
奇数位数字和减去偶数位数字和，若差能被 11 整除，则原数能被 11 整除。
依据：
10≡−1(mod11) 10\equiv-1\pmod{11} 10≡−1(mod11)
证明：
N=∑di10i≡∑di(−1)i(mod11) N=\sum d_i10^i\equiv\sum d_i(-1)^i\pmod{11} N=∑di10i≡∑di(−1)i(mod11)
所以奇数位取正，偶数位取负。
方法 B：三位分组交替加减
因为：
1000≡−1(mod11) 1000\equiv-1\pmod{11} 1000≡−1(mod11)
所以也可以用三位分组交替加减。
以 123456789 为例，从右往左分组为 123∣456∣789123|456|789123∣456∣789：
789−456+123=456 789-456+123=456 789−456+123=456
而：
456=11×41+5 456=11\times41+5 456=11×41+5
所以 123456789123456789123456789 除以 11 余 5，与奇偶位法得到的结果一致。
例子：123456789。
从右往左：
- 奇数位：9、7、5、3、1，和为 25；
- 偶数位：8、6、4、2，和为 20。
差为 5，不能被 11 整除，所以原数不能被 11 整除。
12 的判定
方法 ：能同时被 3 和 4 整除。
依据 ：12=3×412=3\times412=3×4，且 gcd(3,4)=1\gcd(3,4)=1gcd(3,4)=1。
证明 ：若 3∣N3\mid N3∣N 且 4∣N4\mid N4∣N，则 12∣N12\mid N12∣N。
例子：1236 数字和 12，能被 3 整除；末两位 36，能被 4 整除，所以能被 12 整除。
13 的判定
方法 A：去掉末位，加上末位的 4 倍
规则 ：设 N=10a+bN=10a+bN=10a+b，计算：
T=a+4b T=a+4b T=a+4b
若 TTT 能被 13 整除，则 NNN 能被 13 整除。
依据：
10×4=40≡1(mod13) 10\times4=40\equiv1\pmod{13} 10×4=40≡1(mod13)
因为 40−39=140-39=140−39=1。
证明：
10T=10(a+4b)=10a+40b 10T=10(a+4b)=10a+40b 10T=10(a+4b)=10a+40b
而：
N−10T=(10a+b)−(10a+40b)=−39b N-10T=(10a+b)-(10a+40b)=-39b N−10T=(10a+b)−(10a+40b)=−39b
因为 39=3×1339=3\times1339=3×13，所以：
N≡10T(mod13) N\equiv10T\pmod{13} N≡10T(mod13)
又因为 gcd(10,13)=1\gcd(10,13)=1gcd(10,13)=1，所以：
T≡0(mod13) ⟺ N≡0(mod13) T\equiv0\pmod{13}\iff N\equiv0\pmod{13} T≡0(mod13)⟺N≡0(mod13)
求余数 ：若 TTT 除以 13 余 rrr，则：
N≡10r(mod13) N\equiv10r\pmod{13} N≡10r(mod13)
方法 B：三位分组交替加减
因为：
1000≡−1(mod13) 1000\equiv-1\pmod{13} 1000≡−1(mod13)
所以三位分组交替加减对 13 也适用。
例子 ：123456789 分组为 123∣456∣789123|456|789123∣456∣789：
123−456+789=456 123-456+789=456 123−456+789=456
456≡1(mod13) 456\equiv1\pmod{13} 456≡1(mod13)
所以原数除以 13 余 1。
14 的判定
方法 ：能同时被 2 和 7 整除。
依据 ：14=2×714=2\times714=2×7，且 gcd(2,7)=1\gcd(2,7)=1gcd(2,7)=1。
证明 ：若 2∣N2\mid N2∣N 且 7∣N7\mid N7∣N，则 14∣N14\mid N14∣N。
例子 ：70 是偶数，且 70=7×1070=7\times1070=7×10，所以能被 14 整除。
15 的判定
方法 ：能同时被 3 和 5 整除。
依据 ：15=3×515=3\times515=3×5，且 gcd(3,5)=1\gcd(3,5)=1gcd(3,5)=1。
证明 ：若 3∣N3\mid N3∣N 且 5∣N5\mid N5∣N，则 15∣N15\mid N15∣N。
例子：1230 数字和 6，能被 3 整除；末位 0，能被 5 整除，所以能被 15 整除。
16 的判定
方法 ：末四位能被 16 整除。
依据 ：10000≡0(mod16)10000\equiv0\pmod{16}10000≡0(mod16)。
证明：
设 bbb 是末四位：
N=10000a+b≡b(mod16) N=10000a+b\equiv b\pmod{16} N=10000a+b≡b(mod16)
例子 ：123456 的末四位是 3456，3456÷16=2163456\div16=2163456÷16=216，所以能被 16 整除。
17 的判定
方法 A：去掉末位，减去末位的 5 倍
规则 ：设 N=10a+bN=10a+bN=10a+b，计算：
T=a−5b T=a-5b T=a−5b
若 TTT 能被 17 整除，则 NNN 能被 17 整除。
也可以写成"加上末位的 12 倍"，因为：
−5≡12(mod17) -5\equiv12\pmod{17} −5≡12(mod17)
依据：
10×(−5)=−50≡1(mod17) 10\times(-5)=-50\equiv1\pmod{17} 10×(−5)=−50≡1(mod17)
因为 −50+51=1-50+51=1−50+51=1。
证明：
10T=10(a−5b)=10a−50b 10T=10(a-5b)=10a-50b 10T=10(a−5b)=10a−50b
而：
N−10T=(10a+b)−(10a−50b)=51b N-10T=(10a+b)-(10a-50b)=51b N−10T=(10a+b)−(10a−50b)=51b
因为 51=3×1751=3\times1751=3×17，所以：
N≡10T(mod17) N\equiv10T\pmod{17} N≡10T(mod17)
又因为 gcd(10,17)=1\gcd(10,17)=1gcd(10,17)=1，所以：
T≡0(mod17) ⟺ N≡0(mod17) T\equiv0\pmod{17}\iff N\equiv0\pmod{17} T≡0(mod17)⟺N≡0(mod17)
求余数 ：若 TTT 除以 17 余 rrr，则：
N≡10r(mod17) N\equiv10r\pmod{17} N≡10r(mod17)
方法 B：八位分组交替加减
因为：
108≡−1(mod17) 10^8\equiv-1\pmod{17} 108≡−1(mod17)
验证：
102=100≡15≡−2(mod17) 10^2=100\equiv15\equiv-2\pmod{17} 102=100≡15≡−2(mod17)
104≡(−2)2=4(mod17) 10^4\equiv(-2)^2=4\pmod{17} 104≡(−2)2=4(mod17)
108≡42=16≡−1(mod17) 10^8\equiv4^2=16\equiv-1\pmod{17} 108≡42=16≡−1(mod17)
所以从右往左每 8 位一组，交错加减。
例子：1700000017。
分组：
17 ∣ 00000017 17\ |\ 00000017 17 ∣ 00000017
最低组为 17，高位组为 17：
17−17=0 17-17=0 17−17=0
所以能被 17 整除。
18 的判定
方法 ：能同时被 2 和 9 整除。
依据 ：18=2×918=2\times918=2×9，且 gcd(2,9)=1\gcd(2,9)=1gcd(2,9)=1。
证明 ：若 2∣N2\mid N2∣N 且 9∣N9\mid N9∣N，则 18∣N18\mid N18∣N。
例子 ：12345678 是偶数，数字和 1+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8=361+2+3+4+5+6+7+8=36，能被 9 整除，所以能被 18 整除。
19 的判定
方法 A：去掉末位，加上末位的 2 倍
规则 ：设 N=10a+bN=10a+bN=10a+b，计算：
T=a+2b T=a+2b T=a+2b
若 TTT 能被 19 整除，则 NNN 能被 19 整除。
依据：
10×2=20≡1(mod19) 10\times2=20\equiv1\pmod{19} 10×2=20≡1(mod19)
证明：
2N=2(10a+b)=20a+2b 2N=2(10a+b)=20a+2b 2N=2(10a+b)=20a+2b
而：
2N−T=(20a+2b)−(a+2b)=19a 2N-T=(20a+2b)-(a+2b)=19a 2N−T=(20a+2b)−(a+2b)=19a
所以：
2N≡T(mod19) 2N\equiv T\pmod{19} 2N≡T(mod19)
因为 gcd(2,19)=1\gcd(2,19)=1gcd(2,19)=1，所以：
T≡0(mod19) ⟺ N≡0(mod19) T\equiv0\pmod{19}\iff N\equiv0\pmod{19} T≡0(mod19)⟺N≡0(mod19)
求余数 ：因为 T≡2N(mod19)T\equiv2N\pmod{19}T≡2N(mod19)，两边乘以 2 的逆元 10，得到：
N≡10T(mod19) N\equiv10T\pmod{19} N≡10T(mod19)
若 (T) 除以 19 余 (r)，则原数除以 19 余：
10r(mod19) 10r\pmod{19} 10r(mod19)
为什么 19 的写法看起来不一样？ 前面的数大多先凑出 10T≡N10T\equiv N10T≡N，这里则利用 20≡1(mod19)20\equiv1\pmod{19}20≡1(mod19) 直接得到 T≡2NT\equiv2NT≡2N。两种写法等价：因为 222 的模 19 逆元是 101010，对 T≡2NT\equiv2NT≡2N 两边乘 101010，就回到 N≡10T(mod19)N\equiv10T\pmod{19}N≡10T(mod19)。
方法 B：九位分组交替加减
因为：
109≡−1(mod19) 10^9\equiv-1\pmod{19} 109≡−1(mod19)
所以从右往左每 9 位一组，交错加减。
例子：19000000019。
分组：
19 ∣ 000000019 19\ |\ 000000019 19 ∣ 000000019
最低组为 19，高位组为 19：
19−19=0 19-19=0 19−19=0
所以能被 19 整除。
2 到 19 判定方法分类图
把前面所有数字按判定原理归类，可以更直观地看出它们之间的联系。先看一张精简的主分类图：
#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;fill:#333;}@keyframes edge-animation-frame{from{stroke-dashoffset:0;}}@keyframes dash{to{stroke-dashoffset:0;}}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edge-animation-slow{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 50s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edge-animation-fast{stroke-dasharray:9,5!important;stroke-dashoffset:900;animation:dash 20s linear infinite;stroke-linecap:round;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .error-icon{fill:#552222;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .error-text{fill:#552222;stroke:#552222;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edge-thickness-normal{stroke-width:1px;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edge-thickness-thick{stroke-width:3.5px;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edge-pattern-solid{stroke-dasharray:0;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edge-thickness-invisible{stroke-width:0;fill:none;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edge-pattern-dashed{stroke-dasharray:3;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edge-pattern-dotted{stroke-dasharray:2;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .marker{fill:#333333;stroke:#333333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .marker.cross{stroke:#333333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe svg{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:16px;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe p{margin:0;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .label{font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;color:#333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .cluster-label text{fill:#333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .cluster-label span{color:#333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .cluster-label span p{background-color:transparent;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .label text,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe span{fill:#333;color:#333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node rect,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node circle,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node ellipse,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node polygon,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node path{fill:#ECECFF;stroke:#9370DB;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .rough-node .label text,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node .label text,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .image-shape .label,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .icon-shape .label{text-anchor:middle;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node .katex path{fill:#000;stroke:#000;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .rough-node .label,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node .label,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .image-shape .label,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .icon-shape .label{text-align:center;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node.clickable{cursor:pointer;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .root .anchor path{fill:#333333!important;stroke-width:0;stroke:#333333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .arrowheadPath{fill:#333333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edgePath .path{stroke:#333333;stroke-width:2.0px;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .flowchart-link{stroke:#333333;fill:none;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edgeLabel{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edgeLabel p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .edgeLabel rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .labelBkg{background-color:rgba(232, 232, 232, 0.5);}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .cluster rect{fill:#ffffde;stroke:#aaaa33;stroke-width:1px;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .cluster text{fill:#333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .cluster span{color:#333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe div.mermaidTooltip{position:absolute;text-align:center;max-width:200px;padding:2px;font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;font-size:12px;background:hsl(80, 100%, 96.2745098039%);border:1px solid #aaaa33;border-radius:2px;pointer-events:none;z-index:100;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .flowchartTitleText{text-anchor:middle;font-size:18px;fill:#333;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe rect.text{fill:none;stroke-width:0;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .icon-shape,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .image-shape{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);text-align:center;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .icon-shape p,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .image-shape p{background-color:rgba(232,232,232, 0.8);padding:2px;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .icon-shape .label rect,#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .image-shape .label rect{opacity:0.5;background-color:rgba(232,232,232, 0.8);fill:rgba(232,232,232, 0.8);}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .label-icon{display:inline-block;height:1em;overflow:visible;vertical-align:-0.125em;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe .node .label-icon path{fill:currentColor;stroke:revert;stroke-width:revert;}#mermaid-svg-Dowu6HTxQKIPJjWe :root{--mermaid-font-family:"trebuchet ms",verdana,arial,sans-serif;} 2 到 19 的整除判定法
末几位法
数字和法
合数拆分法
递推法
分组交替法
下面这张表把每个数字对应的原理、方法和依据完整列出，比图更便于逐条查阅：
| 原理 | 适用数字 | 判定方法 | 核心依据 |
|---|---|---|---|
| 末几位法 | 2、5 | 看末一位 | 10≡0(mod2)10\equiv0\pmod210≡0(mod2)、10≡0(mod5)10\equiv0\pmod510≡0(mod5) |
| 末几位法 | 4 | 看末两位 | 100≡0(mod4)100\equiv0\pmod4100≡0(mod4) |
| 末几位法 | 8 | 看末三位 | 1000≡0(mod8)1000\equiv0\pmod81000≡0(mod8) |
| 末几位法 | 16 | 看末四位 | 10000≡0(mod16)10000\equiv0\pmod{16}10000≡0(mod16) |
| 数字和法 | 3 | 数字和能被 3 整除 | 10≡1(mod3)10\equiv1\pmod310≡1(mod3) |
| 数字和法 | 9 | 数字和能被 9 整除 | 10≡1(mod9)10\equiv1\pmod910≡1(mod9) |
| 合数拆分法 | 6 | 同时被 2 和 3 整除 | 6=2×36=2\times36=2×3，互质 |
| 合数拆分法 | 12 | 同时被 3 和 4 整除 | 12=3×412=3\times412=3×4，互质 |
| 合数拆分法 | 14 | 同时被 2 和 7 整除 | 14=2×714=2\times714=2×7，互质 |
| 合数拆分法 | 15 | 同时被 3 和 5 整除 | 15=3×515=3\times515=3×5，互质 |
| 合数拆分法 | 18 | 同时被 2 和 9 整除 | 18=2×918=2\times918=2×9，互质 |
| 递推法 | 7 | 去末位减 2 倍 | 10×(−2)≡1(mod7)10\times(-2)\equiv1\pmod710×(−2)≡1(mod7) |
| 递推法 | 13 | 去末位加 4 倍 | 10×4≡1(mod13)10\times4\equiv1\pmod{13}10×4≡1(mod13) |
| 递推法 | 17 | 去末位减 5 倍 | 10×(−5)≡1(mod17)10\times(-5)\equiv1\pmod{17}10×(−5)≡1(mod17) |
| 递推法 | 19 | 去末位加 2 倍 | 10×2≡1(mod19)10\times2\equiv1\pmod{19}10×2≡1(mod19) |
| 分组交替法 | 11 | 一位分组（奇偶位和之差） | 10≡−1(mod11)10\equiv-1\pmod{11}10≡−1(mod11) |
| 分组交替法 | 7、11、13 | 三位分组交替 | 1000≡−1(mod7)1000\equiv-1\pmod71000≡−1(mod7)、1000≡−1(mod11)1000\equiv-1\pmod{11}1000≡−1(mod11)、1000≡−1(mod13)1000\equiv-1\pmod{13}1000≡−1(mod13) |
| 分组交替法 | 17 | 八位分组交替 | 108≡−1(mod17)10^8\equiv-1\pmod{17}108≡−1(mod17) |
| 分组交替法 | 19 | 九位分组交替 | 109≡−1(mod19)10^9\equiv-1\pmod{19}109≡−1(mod19) |
提示：同一数字可能同时属于多种原理，例如 7 既可用递推法（去末位减 2 倍），也可用三位分组交替法；11 既可用奇偶位和之差，也可用三位分组交替法。上表按"最常用"的归类列出，方便快速查阅。
三、总览表
| 数字 | 判定方法 | 核心依据 |
|---|---|---|
| 2 | 末位是偶数 | 10≡0(mod2)10\equiv0\pmod210≡0(mod2) |
| 3 | 数字和能被 3 整除 | 10≡1(mod3)10\equiv1\pmod310≡1(mod3) |
| 4 | 末两位能被 4 整除 | 100≡0(mod4)100\equiv0\pmod4100≡0(mod4) |
| 5 | 末位是 0 或 5 | 10≡0(mod5)10\equiv0\pmod510≡0(mod5) |
| 6 | 同时被 2 和 3 整除 | 6=2×36=2\times36=2×3，互质 |
| 7 | 去末位减 2 倍；或三位分组交替 | 10×(−2)≡1(mod7)10\times(-2)\equiv1\pmod710×(−2)≡1(mod7)，1000≡−1(mod7)1000\equiv-1\pmod71000≡−1(mod7) |
| 8 | 末三位能被 8 整除 | 1000≡0(mod8)1000\equiv0\pmod81000≡0(mod8) |
| 9 | 数字和能被 9 整除 | 10≡1(mod9)10\equiv1\pmod910≡1(mod9) |
| 10 | 末位是 0 | 10≡0(mod10)10\equiv0\pmod{10}10≡0(mod10) |
| 11 | 奇偶位和之差；或三位分组交替 | 10≡−1(mod11)10\equiv-1\pmod{11}10≡−1(mod11)，1000≡−1(mod11)1000\equiv-1\pmod{11}1000≡−1(mod11) |
| 12 | 同时被 3 和 4 整除 | (12=3\times4)，互质 |
| 13 | 去末位加 4 倍；或三位分组交替 | (10\times4\equiv1\pmod{13})，(1000\equiv-1\pmod{13}) |
| 14 | 同时被 2 和 7 整除 | (14=2\times7)，互质 |
| 15 | 同时被 3 和 5 整除 | (15=3\times5)，互质 |
| 16 | 末四位能被 16 整除 | (10000\equiv0\pmod{16}) |
| 17 | 去末位减 5 倍；或八位分组交替 | (10\times(-5)\equiv1\pmod{17})，(10^8\equiv-1\pmod{17}) |
| 18 | 同时被 2 和 9 整除 | (18=2\times9)，互质 |
| 19 | 去末位加 2 倍；或九位分组交替 | (10\times2\equiv1\pmod{19})，(10^9\equiv-1\pmod{19}) |
四、如何自己推导更多判定法
如果你想判断一个数 mmm 的整除规则，可以这样做：
- 计算 10k mod m10^k\bmod m10kmodm；
- 如果某个 10k≡0(modm)10^k\equiv0\pmod m10k≡0(modm)，就看末 kkk 位；
- 如果 10≡1(modm)10\equiv1\pmod m10≡1(modm)，就看数字和；
- 如果 10p≡−1(modm)10^p\equiv-1\pmod m10p≡−1(modm)，就从右往左每 ppp 位分组，交替加减；
- 否则找 ccc 使 10c≡1(modm)10c\equiv1\pmod m10c≡1(modm)，然后用递推法：
N=10a+b,T=a+cb N=10a+b,\qquad T=a+cb N=10a+b,T=a+cb
判断 (T) 是否被 (m) 整除； - 如果 (m) 是合数且能拆成互质因子，就拆开分别判断。
实例：推导 23 的整除判定法。
求 ccc 使：
10c≡1(mod23) 10c\equiv1\pmod{23} 10c≡1(mod23)
因为 10×7=70≡1(mod23)10\times7=70\equiv1\pmod{23}10×7=70≡1(mod23)，所以取 c=7c=7c=7。设 N=10a+bN=10a+bN=10a+b，令：
T=a+7b T=a+7b T=a+7b
则：
10T=10(a+7b)=10a+70b≡10a+b=N(mod23) 10T=10(a+7b)=10a+70b\equiv10a+b=N\pmod{23} 10T=10(a+7b)=10a+70b≡10a+b=N(mod23)
又 gcd(10,23)=1\gcd(10,23)=1gcd(10,23)=1，所以：
T≡0(mod23) ⟺ N≡0(mod23) T\equiv0\pmod{23}\iff N\equiv0\pmod{23} T≡0(mod23)⟺N≡0(mod23)
于是得到：去掉末位，加上末位的 7 倍。例如 253253253，去掉末位是 252525，加上 3×7=213\times7=213×7=21 得 464646，46=2×2346=2\times2346=2×23，所以 253253253 能被 23 整除。
五、注意事项
-
合数拆分必须互质 。
例如 12=3×412=3\times412=3×4，3 和 4 互质，可以拆；
但 12=2×612=2\times612=2×6，2 和 6 不互质，不能简单说"同时被 2 和 6 整除"。
-
递推法可以反复使用 。
例如判断 7、13、17、19 时，可以一步步缩小数字，直到容易判断。
-
求余数时要注意系数 。
递推法得到的是 TTT，原数 N≡10T(modm)N\equiv10T\pmod mN≡10T(modm)。
所以若 TTT 余 rrr，原数余 10r(modm)10r\pmod m10r(modm)。
-
分组法从右往左分组 。
不足一组时左边补零。
例如 17 用八位分组，19 用九位分组。
-
这些方法只用于判定整除或求余数，不能代替完整除法。
六、总结
从 2 到 19 的整除判定法，表面上是不同口诀，实际上都是同一个逻辑：
N≡0(modm) N\equiv0\pmod m N≡0(modm)
的不同展开方式。
- 当 10k≡010^k\equiv010k≡0 时，看末几位；
- 当 10≡110\equiv110≡1 时，看数字和；
- 当 10p≡−110^p\equiv-110p≡−1 时，分组交替；
- 当 10c≡110c\equiv110c≡1 时，用"去末位、加减末位倍数"的递推法；
- 当 mmm 是合数时，拆成互质因子分别判断。
掌握这些同余关系，你不仅能理解 2 到 19 的规则，还能自己推导出 23、29、31 等更多整数的判定方法。