T1 称重（weight）题解

考场策略 ：第一题数据范围 $n \le 2\times10^5$，应优先尝试贪心。如果一时想不到正确贪心，可以先写DP拿 65 分，再根据特殊性质往上加。

题面

有 $n$ 件物品排成一行，每件重量为 $ $0,H$ $ 内的整数。有 $n-1$ 条称重记录 $b_i$，表示第 $i$ 件和第 $i+1$ 件的重量之和为 $b_i$。记录可能矛盾，可以删除一些记录，使得剩下的记录都能成立。求最少删除多少条记录。

思路

核心观察 ：如果连续的一段记录都保留，那么每件物品的可行重量构成一个连续区间。

假设当前物品的可行重量是区间 $ $L, R$ $，加入记录 $b_i$ 后，下一件物品的重量为 $b_i - w_i$，所以可行区间变为 $ $b_i-R, b_i-L$ $，再与 $ $0, H$ $ 取交集：

$L' = \max(0, b_i - R), \quad R' = \min(H, b_i - L)$

如果 $L' > R'$，说明这条记录无法与前面的记录同时保留，必须删除。

贪心策略 ：从左到右扫描，维护当前连续段的可行重量区间。遇到矛盾就删除当前记录（答案 +1），并重置区间为 $ $0, H$ $，从下一件物品开始新的一段。

正确性证明（调整法 ( 邻项微扰 )） ：任取一个最优方案，考虑第一段从 $s$ 开始，$b_t$ 是第一个出现矛盾的位置。原方案在 $ $s, t$ $ 中至少删一条记录。我们可以把这段内的删除全部替换成只删 $b_t$：

左侧：$b_s, \dots, b_{t-1}$ 全部保留（因为 $t$ 是第一个矛盾位置，它们一定相容）
右侧：删除 $b_t$ 后，物品 $t+1$ 与左侧断开约束，原方案右侧仍然成立

这样调整后删除数不会增加，且方案仍然合法。因此存在一个最优解，每次删除都发生在第一次矛盾的位置，这正是贪心算法的行为。

AC code

cpp 复制代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

using ll = long long;

const int N = 2e5 + 5;
const ll INF = 1e18;

ll n, H;
ll b[N];

int main () {
	freopen("weight.in", "r", stdin);
	freopen("weight.out", "w", stdout);
	
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	
	cin >> n >> H;
	
	ll L = 0, R = H;
	ll ans = 0;
	
	for (int i = 1; i < n; i ++) {
		ll b; cin >> b;
		
		ll nL = max(0ll, b - R);
		ll nR = min(H, b - L);
		if (nL <= nR) {
			L = nL;
			R = nR;
		}
		else {
			ans ++;
			L = 0;
			R = H;
		}
	}
	
	cout << ans << '\n';
	
	return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度 ：$O(n)$，每条记录只处理一次

考场思路与得分路径

得分	算法	适用范围
10 分	枚举所有重量	$n \le 5, H = 1$
20 分	枚举删法 + 区间判定	$n \le 20$
30 分	重量 DP $O(nH^2)$	$n, H \le 200$
40 分	重量 DP 优化 $O(nH)$	$n, H \le 2000$
65 分	分段 DP $O(n^2)$	$n \le 3000$
70 分	+ 特判 H=1	$n \le 2\times10^5, H=1$
75 分	+ 特判 H≤2	$n \le 2\times10^5, H\le2$
100 分	可行区间 + 贪心	全部数据

得分	算法	适用范围
10 分	枚举所有重量	\(n \le 5, H = 1\)
20 分	枚举删法 + 区间判定	\(n \le 20\)
30 分	重量 DP \(O(nH^2)\)	\(n, H \le 200\)
40 分	重量 DP 优化 \(O(nH)\)	\(n, H \le 2000\)
65 分	分段 DP \(O(n^2)\)	\(n \le 3000\)
70 分	+ 特判 H=1	\(n \le 2\times10^5, H=1\)
75 分	+ 特判 H≤2	\(n \le 2\times10^5, H\le2\)
100 分	可行区间 + 贪心	全部数据