一、先认识这道题：什么叫"必经点"？
题目给我们一张有向图：
-
有 n 个结点；
-
有 m 条有向边；
-
每条边都有方向，比如：
1 → 3
表示只能从1走到3，不能反过来从3走到1。
题目规定：
-
入度为0的点：可以作为合法起点；
-
出度为0的点：可以作为合法终点。
如果：
从所有可能的合法起点出发，到所有可能的合法终点，无论怎么走，都必须经过某个点 u，
那么这个点 u 就叫做：
必经点
题目要求我们把所有必经点找出来。
二、把它想象成"王国逃生游戏"
假设有一个王国：
城堡A → 森林 → 山洞 → 城门国王规定：
所有冒险者都必须从"入口"进入，最后从"出口"离开。
如果所有路线都必须经过一座桥：
┌───────┐
↓ ↓
入口 → 森林 → 【桥】 → 城门
↑ ↑
└───────┘那么这座桥所在的位置就是：
必经点！
因为不管你选择哪条路线：
都绕不过它。
三、先看题目的样例
样例1：
8 9
1 3
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
6 8
2 4
5 7我们把它画得简单一些：
1 ──→ 3 ──→ 4 ──→ 5 ──→ 6 ──→ 7
↑ ↑ │ └───→ 8
│ │ │
2─────┘─────│ └──→ 7实际上，题目给出的合法起点是：
1、2合法终点是：
7、8题目把所有可能路径列出来以后发现：
4和5一定会经过。
所以答案是：
2
4 5也就是：
这就是样例1的输出。
四、这道题最关键的问题
小朋友看到题目后，很容易产生一个想法：
"我把所有路径都找出来，然后看看哪些点出现次数最多，不就可以了吗？"
不可以！
因为图里面可能有非常多条路径，甚至有环。
而且题目真正问的是：
这个点是不是所有合法起点 → 合法终点的路径都必须经过？
所以我们需要换一个思路。
五、换个角度：如果这个点"消失"了呢？
这是整道题最重要的思维！
假设我们怀疑：
4是必经点。
那么我们可以做一个非常聪明的实验：
把4号点暂时关闭，不允许经过它。
然后问：
还有没有办法从某个合法起点走到某个合法终点？
情况1：还能走出去
例如：
起点 → 3 → 5 → 终点完全没有经过4。
那么说明：
4并不是必经点。
因为我们找到了一个"不经过4"的路线。
情况2：完全走不到终点
如果把4关闭之后：
起点 → 3 → ❌所有道路都被堵死了。
那么说明：
所有原来的合法起点到合法终点的路线，都必须经过4。
所以：
4是必经点
六、于是问题就变得非常简单了
我们可以：
一个点一个点地进行"拆除实验"。
例如有8个点：
尝试删除1 → 看还能不能从起点到终点
尝试删除2 → 看还能不能从起点到终点
尝试删除3 → 看还能不能从起点到终点
......
尝试删除8 → 看还能不能从起点到终点如果：
删除这个点以后，再也无法从任何合法起点到达任何合法终点。
那么：
这个点 = 必经点是不是一下子就清楚了？
七、但是还有一个小问题
我们怎么判断：
"删除一个点之后，还有没有起点能够到达终点？"
这时候就轮到我们之前学过的超级英雄：
DFS！
当然，BFS也可以。
因为我们只是想知道：
能不能走到？
而不是求最短距离。
所以：
-
DFS可以；
-
BFS也可以。
这里为了让初学者更容易理解，我们使用 DFS。
八、DFS在这里干什么？
假设我们暂时关闭4号点：
4号点不能进入！那么DFS就从所有合法起点开始探索。
例如：
合法起点：
1
2我们分别从1、2出发。
如果DFS最终能够到达：
7或者8说明还有路线。
那么：
4不是必经点如果所有DFS都到不了7和8：
4就是必经点九、如何找到合法起点和合法终点？
这一步特别重要。
题目告诉我们：
入度为0的结点是合法起点。
什么叫入度？
就是：
有多少条箭头指向这个点。
例如：
1 → 3
2 → 3那么：
1：入度0
2：入度0
3：入度2所以：
1、2可以作为合法起点。
合法终点呢？
题目规定：
出度为0的点是合法终点。
例如：
6 → 7
6 → 8那么6有两条边出去：
outdegree[6] = 2而7和8没有边出去：
outdegree[7] = 0
outdegree[8] = 0所以：
7、8是合法终点。
十、程序需要准备什么？
我们可以准备几个数组。
1. 邻接表
vector<int> graph[N];表示：
每个点可以走到哪些点。
例如：
1 → 3
graph[1] = {3}如果：
2 → 3
2 → 4那么：
graph[2] = {3, 4}2. 入度数组
int indegree[N];记录：
每个点有多少条边指向它。
3. 出度数组
int outdegree[N];记录：
每个点有多少条边从它出去。
4. 访问数组
bool vis[N];DFS时防止重复走。
十一、读入每一条边
题目给出的每条边：
u v表示：
u → v所以：
graph[u].push_back(v);
indegree[v]++;
outdegree[u]++;这三句话非常重要。
可以理解成：
在u的通讯录里记下v。
同时：
v的入度+1。
还有：
u的出度+1。
十二、最核心的DFS
我们写：
void dfs(int u, int ban)这里的 ban 是什么意思？
就是：
这次实验中，我们禁止经过哪个点。
例如：
dfs(1, 4);意思就是：
从1开始搜索，但是4号点封锁了。
DFS第一件事
如果：
u == ban直接不能走：
if (u == ban)
return;第二件事
标记已经访问：
vis[u] = true;第三件事
看看是不是到达合法终点。
if (outdegree[u] == 0)
found = true;如果到了合法终点：
说明存在一条没有经过
ban的合法路线。
于是：
found = true;第四件事
继续向邻居走：
for (int v : graph[u]) {
if (!vis[v] && v != ban) {
dfs(v, ban);
}
}这样DFS就完成了。
十三、把"删除一个点"的过程完整走一遍
假设我们现在测试：
ban = 4也就是：
关闭4号点。
首先：
found = false;然后从所有合法起点开始：
1
2进行DFS。
如果最终找到：
7或者：
8那么：
found = true;说明：
即使没有4，仍然存在起点→终点的路线。
所以：
4不是必经点反过来，如果：
found == false说明：
关闭4以后，所有合法起点都无法到达任何合法终点。
那么：
4就是必经点。十四、这里有一个非常容易犯的错误
假设我们测试：
ban = 1而1本身就是合法起点。
这时候：
不能从1开始DFS！
因为题目要求"不经过1"。
所以启动DFS的时候必须：
if (s == ban)
continue;也就是说：
如果当前合法起点就是被关闭的点，就直接跳过。
十五、如果被关闭的是终点呢？
例如：
ban = 77是合法终点。
也不能走到7。
因此DFS过程中：
if (v == ban)
continue;不能进入被关闭的点。
而且：
if (u == ban)
return;也可以保证这一点。
十六、完整程序
下面给初学C++的小学生一个C++11版本、尽量清晰的完整程序：
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;
vector<int> graph[N];
int indegree[N];
int outdegree[N];
bool vis[N];
bool found;
// 从 u 出发搜索
// ban 表示禁止经过的点
void dfs(int u, int ban)
{
// 不能进入被关闭的点
if (u == ban)
return;
vis[u] = true;
// 如果到达合法终点
if (outdegree[u] == 0)
{
found = true;
return;
}
// 继续向其他点走
for (int v : graph[u])
{
if (!vis[v] && v != ban)
{
dfs(v, ban);
// 已经找到终点，不需要继续搜索
if (found)
return;
}
}
}
int main()
{
int n, m;
cin >> n >> m;
// 读入所有边
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
int u, v;
cin >> u >> v;
graph[u].push_back(v);
indegree[v]++;
outdegree[u]++;
}
vector<int> answer;
// 一个一个测试每个点
for (int ban = 1; ban <= n; ban++)
{
// 清空访问标记
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
vis[i] = false;
}
found = false;
// 从所有合法起点出发
for (int s = 1; s <= n; s++)
{
// 入度为0，才是合法起点
if (indegree[s] == 0 && s != ban)
{
dfs(s, ban);
if (found)
break;
}
}
// 如果一个合法起点都无法到达合法终点
// 说明 ban 是必经点
if (!found)
{
answer.push_back(ban);
}
}
// 输出答案数量
cout << answer.size() << endl;
// 输出所有必经点
if (!answer.empty())
{
for (int x : answer)
{
cout << x << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}十七、把程序拆成"四个小任务"
对于小学生，我不建议让他们一下子背完整程序。
可以把它拆成四个任务。
任务1：建立地图
vector<int> graph[N];把所有道路记录下来。
任务2：找入口和出口
indegree[s] == 0就是合法起点。
outdegree[u] == 0就是合法终点。
任务3：关闭一个点
ban把它理解成：
"这个城市今天封路了，谁也不能进去。"
然后DFS。
任务4：判断是不是必经点
如果关闭它以后：
还有起点 → 终点那么：
不是必经点如果：
没有任何起点 → 终点那么：
是必经点十八、用样例1手动模拟
样例：
8 9
1 3
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
6 8
2 4
5 7合法起点：
1、2合法终点：
7、8我们来测试4。
第一步：关闭4
相当于：
4号城市关闭！那么原来的：
1 → 3 → 4走不通。
2也不能通过4。
于是：
1、2
↓
3
↓
❌ 4到不了5、6、7、8。
所以：
关闭4以后，没有任何起点能够到达终点。因此：
4是必经点
第二步：关闭5
同理：
1 → 3 → 4 → ❌5
2 → 3 → 4 → ❌5虽然6、7、8还存在，但是到不了它们。
所以：
5也是必经点
第三步：关闭3
这时候：
1 → ❌3但是：
2 → 4 → 5 → 6 → 7仍然可以走到终点。
所以：
3不是必经点
这就是为什么样例最终只有：
4 5十九、为什么这个方法能通过数据范围？
题目的数据范围是：
n≤1000 m≤2000
我们最多测试：
1000个点每测试一个点，需要做一次图搜索。
DFS一次大约：
O(n+m)
所以总复杂度大约：
O(n(n+m))
也就是大约：
3,000,000
级别的操作。
对于这个数据范围来说是完全可以接受的。
所以：
这道题不需要一上来就使用非常复杂的图论算法。
用我们已经学习过的：
邻接表 + DFS + 枚举
就可以解决。
二十、这道题真正考查的是什么？
表面上看，这是一道：
图论题。
但实际上它考查了好几个知识点的组合：
① 有向图
知道：
u → v表示有方向的边。
② 入度
indegree[v]++;用来寻找合法起点。
③ 出度
outdegree[u]++;用来寻找合法终点。
④ 邻接表
graph[u].push_back(v);保存每个点能够走向哪里。
⑤ DFS
从起点不断探索。
⑥ 枚举
一个点一个点地进行"关闭实验"。
⑦ 反向思维
这是最重要的！
题目问：
哪些点所有路线都必须经过？
我们没有直接找"所有路线"。
而是反过来问：
如果不允许经过这个点，还有没有一条路？
如果有：
不是必经点如果没有：
就是必经点这就是算法竞赛里非常重要的：
"正着不好做，就反过来想！"
二十一、给小学生的"魔法口诀"
这道题，大家记住这段口诀：
先数入度找入口，
再数出度找出口；
一个点一个点封，
DFS看看能否通；
还能通，不必经；
完全不通，必经点！
再浓缩成一句：
"封一个，搜一次；还能到，不必经；到不了，就是它！"
二十二、这道题和前面学过的知识串起来
这道题特别适合用来帮助学生建立"知识网络"：
《必经之路》
│
┌───────────┼───────────┐
↓ ↓ ↓
有向图 邻接表 DFS
│ │ │
┌────┴────┐ │ ┌────┴────┐
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
入度 出度 存边 递归 visited
│ │
↓ ↓
合法起点 合法终点
\ /
\ /
↓
必经点
↑
│
枚举"封锁"
│
↓
还能不能走到终点？这也是非常重要的一种学习方式：
不要把"图、DFS、入度、出度、邻接表"当成一个个孤零零的知识点，而要学会把它们组合起来解决问题。
这道《必经之路》的核心思想其实只有一句话：
"判断一个点是不是必经点，就把它暂时删掉，然后看看是否还存在一条合法起点到合法终点的路。"