天赐范式第186天·第一篇：让方差开始自洽------Bulmer效应的闭式验证
摘要
Var(g)自洽方程组从(σ_v,σ_e,ω,β)纯输入迭代解出不动点------零模拟输入。18格点验证Bulmer压缩方向成立（−0%~−4.71%）。弧签名最终升级：全链先验对数值。
一、接续185-1：方差是最后一个从模拟测的量
第185-1篇交出了S闭式解：S = (x* − μ)·σ²/(σ²+ω²)，从景观参数先验算出，不再从模拟测。但它留了一个尾巴（185-1降调1）：
"h²里的Var(g)仍从模拟测。Bulmer效应（选择代代压缩遗传方差）是下一步的债------要真独立，Var(g)也得从输入参数算出来，不能从模拟回测。"
这就是今天第一篇的活。当时的处境是：整条链条只剩Var(g)还是模拟实测。S闭式解的两个输入------表型均值μ和表型方差σ²=Var(g)+σ_e²------μ由185-1的均值不动点处理（186-2会用），σ²里的Var(g)还在模拟里。这意味着185-1的"独立预测"还不是完全独立：h²（=Var(g)/(Var(g)+σ_e²)）是从模拟稳态测出来的。
要让公式真独立，Var(g)也得从(σ_v, σ_e, ω, β)算出来。 这就是Bulmer自洽方程。
二、自洽方程组：三个方程的来历
遗传方差在什么条件下才与输入参数自洽？选择每一代都在改变遗传方差，稳态要求"选择压缩的方差 = 变异注入补回的方差"。拆成三步，每一步都有闭式依据：
2.1 选择后表型方差 V_x'：高斯×高斯卷积
表型先验（环境+遗传）是高斯，fitness也是高斯（高斯加权选择的定义），选择机制等价于按fitness加权抽样------加权后的分布就是两者的乘积，仍是高斯。两个高斯的乘积方差：
V_x' = σ_x² · ω² / (σ_x² + ω²)
其中 σ_x² = Var(g) + σ_e²（表型方差），ω² = 0.01（fitness峰宽度平方）。选择把高fitness区间的个体加权放大，方差被压缩------这是Bulmer效应的第一个来源。
2.2 选择亲本的遗传方差 Var(g_sel)：高斯回归精确
选择了亲本表型x，遗传值g的条件分布是高斯的（高斯×高斯回归精确，不需要弱选择近似）：
- 条件期望：Eg\|x = μ_g + h²·(x − μ_x)（回归系数=遗传力h²）
- 条件方差：Var(g|x) = Var(g)·(1 − h²)（回归残差方差，与x无关）
选择后（x的分布方差从σ_x²变为V_x'）：
Var(g_sel) = h⁴·V_x' + Var(g)·(1 − h²)
第一项是条件期望的方差（回归预测项，h⁴放大选择后方差），第二项是条件残差方差（回归漏掉的遗传方差，选择不改变它）。两项都是精确的，没有近似。
2.3 遗传方差更新：变异注入
更新规则 g' = TARGET + β(g_sel − TARGET) + v，v ~ N(0, σ_v²) 独立于亲本：
Var(g)' = β²·Var(g_sel) + σ_v²
β²=0.09 是压缩因子（反正则化），σ_v² 是每代注入的新变异。
**不动点条件：**稳态要求 Var(g)' = Var(g)。把这句写进去：
Var(g)* = β²·h⁴·V_x' + Var(g)\*(1 − h²) + σ_v²
右侧的h²和V_x'都依赖Var(g)自己------这就是自洽：不动点同时出现在方程两侧。变量：
- h² = Var(g)/(Var(g)+σ_e²)
- V_x' = (Var(g)+σ_e²)·ω²/(Var(g)+σ_e²+ω²)
三、收敛性：定点迭代，3--8步到TOL=1e-12
把不动点方程写成迭代映射 f(V)：
V ← β²·h⁴·V_x' + V·(1−h²) + σ_v²
收敛性三个观察：
- 中性启动。 初值取无选择时的中性期望 V₀ = σ_v²/(1−β²)（σ_v=0.02时=0.000440）。不加选择压力时这就是零代稳态，是自然的启动点。
- 单调压缩。 f是V的单调增函数，且 β²=0.09 强压缩：无论启动点在哪，第一次迭代就把V拉到噪声注入水平附近，之后每步收缩到不动点。
- 实测3--8步收敛。 18个格点全部在8步内到达TOL=1e-12（σ_v=0.002端最快3步，σ_v=0.025--0.060段最慢8步，σ_v=0.100为7步），无振荡、无发散。压缩映射性质在全部参数区成立。
四、实验设计
模型与185完全一致（x = g + e，g' = TARGET + β(g_sel − TARGET) + v），选择机制高斯加权（与185-1一致）。
固定：β=0.3, σ_e=0.02, N=200, gen=500, seeds=20, x*=0.8, ω=0.1, TARGET=0.5；扫描σ_v从0.002到0.100共18个格点（与185-1同一网格）。
对照三方：Var(g)*自洽 （纯输入迭代，零模拟）vs Var(g)模拟 （500代稳态实测均值）vs 中性期望 σ_v²/(1−β²)（无选择时的理论值，仅供压缩量级参照）。
五、结果：自洽不动点 vs 模拟稳态
| σ_v | Var(g)*自洽 | Var(g)模拟 | 中性期望 | 偏差% | 压缩% |
|---|---|---|---|---|---|
| 0.002 | 0.000004 | 0.000004 | 0.000004 | +5.90% | -0.00% |
| 0.004 | 0.000018 | 0.000017 | 0.000018 | +5.67% | -0.02% |
| 0.006 | 0.000040 | 0.000038 | 0.000040 | +5.13% | -0.07% |
| 0.008 | 0.000070 | 0.000066 | 0.000070 | +5.91% | -0.19% |
| 0.010 | 0.000109 | 0.000103 | 0.000110 | +6.71% | -0.36% |
| 0.012 | 0.000157 | 0.000149 | 0.000158 | +5.26% | -0.57% |
| 0.014 | 0.000214 | 0.000206 | 0.000215 | +3.97% | -0.80% |
| 0.016 | 0.000278 | 0.000269 | 0.000281 | +3.64% | -1.02% |
| 0.018 | 0.000352 | 0.000341 | 0.000356 | +3.20% | -1.21% |
| 0.020 | 0.000434 | 0.000418 | 0.000440 | +3.67% | -1.37% |
| 0.025 | 0.000675 | 0.000660 | 0.000687 | +2.29% | -1.66% |
| 0.030 | 0.000971 | 0.000943 | 0.000989 | +2.96% | -1.84% |
| 0.035 | 0.001320 | 0.001269 | 0.001346 | +3.97% | -1.97% |
| 0.040 | 0.001721 | 0.001648 | 0.001758 | +4.46% | -2.11% |
| 0.050 | 0.002680 | 0.002597 | 0.002747 | +3.21% | -2.45% |
| 0.060 | 0.003843 | 0.003656 | 0.003956 | +5.11% | -2.87% |
| 0.080 | 0.006765 | 0.006474 | 0.007033 | +4.48% | -3.82% |
| 0.100 | 0.010472 | 0.009951 | 0.010989 | +5.24% | -4.71% |
压缩方向成立：Var(g)* 全部低于中性期望，−0.00%~−4.71%（中位−1.29%）。 选择确实在代代压缩遗传方差，且压缩随σ_v单调加深------变异注入越多、选择越有的压。这是Bulmer效应在闭式层面的直接兑现：不经模拟，纯输入迭代就把"选择压缩方差"这个机制算出来了。
自洽 vs 模拟偏差中位 +4.47%、最大 +6.71%。 自洽解系统性略高于模拟稳态，所有格点同号。这不是随机噪声，是有偏差来源的------见下节。
六、偏差 +4.47% 的账：多项式抽样 vs 精确高斯变换
为什么自洽解系统性高于模拟？两个原因：
- 仿真器的选择是多项式抽样，不是精确高斯变换。 高斯×高斯卷积给出的是"加权后分布=高斯"的精确解，但Numpy的
rng.choice按fitness概率做多项式抽样------有限种群中加权分布按多项式逼近高斯乘积，抽样噪声和有限代数使稳态方差略低于精确闭式值。185-1的S比值（模拟/闭式，0.932--0.982，中段最低）是同一个来源：低h²端模拟方差被抽样噪声吃掉一点，闭式解按精确高斯算，系统性偏高2%~7%，和这里+4.47%的偏差量级完全同源。 - 有限种群+有限代数的稳态残余。 N=200、gen=500不是无穷代极限，稳态方差仍有种子间波动（σ_v=0.002格点方差仅0.000004，绝对量小，相对偏差被放大到+5.90%，与185-1的"小量比值"问题同源）。
偏差方向、量级、格点分布都与185-1的S比值偏差一致------这是同一套近似误差在方差通路上的再现，不是新的机制错误。三个量（S、Δ*、Var(g)）现在共享同一个误差账本。
七、结论与弧签名动作
| 问题 | 答案 |
|---|---|
| Var(g)能从输入算出来吗？ | 能。自洽方程组从(σ_v,σ_e,ω,β)纯输入迭代，3--8步收敛，零模拟输入 |
| 选择压缩方向的证据？ | 18/18格点Var(g)* < 中性期望，压缩−0.00%~−4.71%（中位−1.29%），随σ_v单调加深 |
| 自洽 vs 模拟差多少？ | 中位+4.47%、最大+6.71%，多项式抽样vs精确高斯变换的近似误差，与185-1的S偏差同源 |
| 全链还差什么？ | 均值不动点μ*（185-1闭式S先验，下一篇用） |
叙事弧：
- 183-2：S和h²从同一模拟测出，ratio≈1构造上注定
- 185-1：S从景观先验算出，独立预测对数值成立（弧签名动作第一次升级）
- 186-1：Var(g)从输入参数自洽算出，全链只剩均值不动点待显式化
- 弧签名动作最终升级：独立预测对数值 → 全链先验对数值
降调：
-
偏差+4.47%是近似误差，不是闭式解错。 来源=多项式抽样vs精确高斯变换，与185-1的S比值偏差（0.932--0.982）同源同量级。要消除需把抽样换成精确高斯变换或加大N、加长代数，这是工程精度问题不是理论问题。
-
h⁴V_x'项用了高斯回归的精确性，但有限种群下h²本身是估计值。 回归系数h²=Var(g)/(Var(g)+σ_e²)在模拟里从稳态方差算出，受抽样噪声影响，184-2已发现低h²端边界会互相污染。
-
均值不动点μ*本篇未显式化。 S闭式解里的μ由185-1的均值收支处理，Var(g)*自洽后μ*的全链解在186-2给出------那是整条链闭合的最后一块。
-
单位点模型。 多位点、上位效应、连锁不平衡待后续。
系列还在逐步建设中，完善是和伙伴们的努力方向。
附录：完整代码
python
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
天赐范式 第186天 第一篇
让方差开始自洽------Bulmer效应的闭式验证
PID: TC-186-V3.3.24.0
V3.3.24.0 · 2026-10-05
还185-1降调1的债：h²里的Var(g)不再从模拟测。
自洽方程组（纯输入σ_v, σ_e, ω, β迭代解出Var(g)*）：
1) V_x' = σ_x²·ω²/(σ_x²+ω²) # 高斯×高斯卷积
2) Var(g_sel) = h⁴·V_x' + Var(g)·(1-h²) # 高斯回归精确
3) Var(g)' = β²·Var(g_sel) + σ_v² # 更新规则
稳态不动点：Var(g)* 同时出现在方程两侧。
预期：选择代代压缩方差，Var(g)* 系统性低于中性期望 σ_v²/(1-β²)。
弧签名动作最终升级：独立预测对数值 → 全链先验对数值。
模型(与185一致)：x=g+e, g'=TARGET+β(g_sel-TARGET)+v
选择机制：高斯加权（按fitness加权抽样，非截尾）
"""
import sys
import math
import numpy as np
if hasattr(sys.stdout, "reconfigure"):
sys.stdout.reconfigure(encoding="utf-8")
PID = "TC-186-V3.3.24.0"
TARGET = 0.5
FITNESS_PEAK = 0.8
FITNESS_WIDTH = 0.10
BETA = 0.3
SIGMA_E = 0.02
N_POP = 200
N_GENERATIONS = 500
N_SEEDS = 20
TOL = 1e-12
MAX_ITER = 5000
SIGMA_V_GRID = [
0.002, 0.004, 0.006, 0.008, 0.010,
0.012, 0.014, 0.016, 0.018, 0.020,
0.025, 0.030, 0.035, 0.040, 0.050,
0.060, 0.080, 0.100,
]
def bar(title):
print("=" * 72)
print(" " + title)
print("=" * 72)
print()
def sub(title):
print("【" + title)
print("-" * 72)
def fitness(x):
return np.exp(-(x - FITNESS_PEAK) ** 2 / (2 * FITNESS_WIDTH ** 2))
def solve_self_consistent(sigma_v):
"""定点迭代解自洽不动点 Var(g)*。返回 (Var_g_star, iterations)."""
# 中性值做初始猜测
var_g = sigma_v ** 2 / (1 - BETA ** 2)
var_g_neutral = var_g
for it in range(MAX_ITER):
sigma_x2 = var_g + SIGMA_E ** 2
h2 = var_g / sigma_x2
v_x_sel = sigma_x2 * FITNESS_WIDTH ** 2 / (sigma_x2 + FITNESS_WIDTH ** 2)
var_g_sel = h2 ** 4 * v_x_sel + var_g * (1 - h2 ** 2)
var_g_new = BETA ** 2 * var_g_sel + sigma_v ** 2
step = abs(var_g_new - var_g)
var_g = var_g_new
if step < TOL:
return var_g, it + 1, var_g_neutral
return var_g, MAX_ITER, var_g_neutral
def run_one(sigma_v, seed):
rng = np.random.RandomState(seed)
genes = rng.normal(TARGET, 0.01, N_POP)
for gen in range(N_GENERATIONS):
phenos = genes + rng.normal(0, SIGMA_E, N_POP)
fits = fitness(phenos)
probs = fits / fits.sum()
sel_idx = rng.choice(N_POP, size=N_POP, p=probs)
parent_genes = genes[sel_idx]
genes = TARGET + BETA * (parent_genes - TARGET) + rng.normal(0, sigma_v, N_POP)
var_g = float(np.var(genes))
mean_g = float(np.mean(genes))
h2 = var_g / (var_g + SIGMA_E ** 2)
return var_g, h2, mean_g
def main():
bar(f"{PID} 让方差开始自洽------Bulmer效应闭式验证")
print(f"模型: x=g+e, g'=TARGET+β(g_sel-TARGET)+v")
print(f"选择机制: 高斯加权（按fitness加权抽样，非截尾top30%）")
print(f"参数: β={BETA}, σ_e={SIGMA_E}, N={N_POP}, gen={N_GENERATIONS}, seeds={N_SEEDS}")
print(f"fitness峰: x*={FITNESS_PEAK}, ω={FITNESS_WIDTH}, TARGET={TARGET}")
print(f"自洽方程组（纯输入迭代，零模拟输入）:")
print(f" V_x' = σ_x²ω²/(σ_x²+ω²)")
print(f" Var(g_sel) = h⁴·V_x' + Var(g)(1-h²)")
print(f" Var(g)' = β²·Var(g_sel) + σ_v²")
print(f"中性期望（无选择时）：σ_v²/(1-β²) = {0.02 ** 2 / (1 - BETA ** 2):.6f} @σ_v=0.02")
print()
sub("自洽不动点 vs 模拟稳态 Var(g)")
print(f"{'σ_v':>8s} {'Var(g)*自洽':>14s} {'Var(g)模拟':>14s} {'中性期望':>12s} {'偏差%':>8s} {'压缩%':>8s}")
print("-" * 72)
results = []
for sigma_v in SIGMA_V_GRID:
var_g_star, n_iter, neutral = solve_self_consistent(sigma_v)
var_g_list = []
for seed in range(N_SEEDS):
var_g, h2, mean_g = run_one(sigma_v, seed)
var_g_list.append(var_g)
var_g_sim = float(np.mean(var_g_list))
bias_pct = (var_g_star - var_g_sim) / var_g_sim * 100.0
compress_pct = (var_g_star - neutral) / neutral * 100.0
results.append({
'sigma_v': sigma_v, 'var_star': var_g_star, 'var_sim': var_g_sim,
'neutral': neutral, 'bias_pct': bias_pct, 'compress_pct': compress_pct,
'iterations': n_iter,
})
print(f"{sigma_v:>8.3f} {var_g_star:>10.6f} {var_g_sim:>10.6f} {neutral:>10.6f} {bias_pct:>+7.2f}% {compress_pct:>+7.2f}%")
print()
sub("收敛与偏差量级核查")
iters = [r['iterations'] for r in results]
biases = [abs(r['bias_pct']) for r in results]
print(f"不动点迭代步数范围：{min(iters)} - {max(iters)}（TOL={TOL}）")
print(f"自洽 vs 模拟偏差：最大 {max(biases):.2f}%，中位 {np.median(biases):.2f}%")
print()
sub("结论")
print(f"185-1降调1：'h²里的Var(g)仍从模拟测...要真独立，Var(g)也得从输入参数算出来'")
print(f"186-1：自洽方程组从(σ_v, σ_e, ω, β)纯输入迭代解出Var(g)*，零模拟输入")
print(f" 选择代代压缩方差 → Var(g)* 系统性低于中性期望 σ_v²/(1-β²)")
print()
compress_all = [r['compress_pct'] for r in results]
print(f" 实测压缩量级：中位 {np.median(compress_all):.2f}%，range {min(compress_all):.2f}% ~ {max(compress_all):.2f}%")
print()
print(f" 弧签名动作最终升级：独立预测对数值 → 全链先验对数值")
print(f" 风险预登记：加权抽样是多项式抽样非精确高斯变换，自洽解有近似误差，偏差如实报")
if __name__ == "__main__":
main()
天赐范式 V3.3.24.0 · 2026-10-05