【题目描述】
原题来自：POJ 1006
人生来就有三个生理周期，分别为体力、感情和智力周期，它们的周期长度为 23 天、28 天和 33 天。每一个周期中有一天是高峰。在高峰这天，人会在相应的方面表现出色。例如，智力周期的高峰，人会思维敏捷，精力容易高度集中。因为三个周期的周长不同，所以通常三个周期的高峰不会落在同一天。对于每个人，我们想知道何时三个高峰落在同一天。对于每个周期，我们会给出从当前年份的第一天开始，到出现高峰的天数（不一定是第一次高峰出现的时间）。
你的任务是给定一个从当年第一天开始数的天数，输出从给定时间开始（不包括给定时间）下一次三个高峰落在同一天的时间（距给定时间的天数）。
例如：给定时间为 10，下次出现三个高峰同天的时间是 12，则输出 2（注意这里不是 3）。
【输入】
本题有多组数据。
对于每组数据，输入四个整数 p,e,i 和 d。p,e,i 分别表示体力、情感和智力高峰出现的时间（时间从当年的第一天开始计算）。d 是给定的时间，可能小于 p,e 或 i。
当 p=e=i=d=−1 时，输入数据结束。
【输出】
从给定时间起，下一次三个高峰同天的时间（距离给定时间的天数）。采用以下格式：
Case 1: the next triple peak occurs in 1234 days.注意：即使结果是 1 天，也使用复数形式 days。
【输入样例】
0 0 0 0
0 0 0 100
5 20 34 325
4 5 6 7
283 102 23 320
203 301 203 40
-1 -1 -1 -1【输出样例】
Case 1: the next triple peak occurs in 21252 days.
Case 2: the next triple peak occurs in 21152 days.
Case 3: the next triple peak occurs in 19575 days.
Case 4: the next triple peak occurs in 16994 days.
Case 5: the next triple peak occurs in 8910 days.
Case 6: the next triple peak occurs in 10789 days.【提示】
数据范围与提示：
所有给定时间是非负的并且小于 365，所求的时间小于 21252。
1. 题意转换
剥去"体力、感情、智力"这层生理周期的外衣，这道题本质上是在求解一个一元线性同余方程组： 已知三个固定周期 m1=23,m2=28,m3=33，以及三个余数 a1=p,a2=e,a3=i。我们需要求出一个天数 x，满足：
x≡p(mod23)
x≡e(mod28)
x≡i(mod33)
在求出满足条件的最小非负整数解 x 后，找到严格大于给定天数 d 的那个解，并输出它们之间的差值 (x−d)。
2. 思考过程与解题思路
-
第一直觉：暴力跳步法（枚举法） 初学者的直觉通常是：从 d+1 天开始，一天一天往后枚举，判断是不是同时满足上面三个取模条件。稍微聪明一点的暴力是：先找到满足第一个条件的某一天，然后每次加上 23 去找满足第二个条件的，接着再每次加上 23×28 去找第三个。 为什么暴力能过但不优雅？ 三个周期的最小公倍数（总周期）是 23×28×33=21252。在最坏情况下，暴力需要循环数万次。虽然 POJ 给的时间限制较宽，暴力不会超时，但如果在高规格比赛中遇到 10^18 级别的模数，暴力肯定不得行。
-
正解推导：同余方程组的合并 这题是标准得不能再标准的中国剩余定理（CRT）模型，因为模数全部互质。但我们在实际做题时，通常直接套用更具普适性的扩展中国剩余定理（EXCRT），因为这个既可以解决模数两两互质的情况，也可以解决不互质的情况。 面对这三个方程，我们只需要：
-
先算出前两个方程的公共解
ans，并求出它们的总周期lcm。 -
拿着这个"半成品"去和第三个方程合并，用扩欧求出跨越的步长。
-
合并完毕后，我们就能得到这三者在 21252 天内的唯一共同高峰日。
-
3. 算法设计与样例推演
-
核心算法：利用EXCRT迭代合并同余方程。 每轮合并的核心状态转移方程式为：
lcm⋅x0+mi⋅y0=ai−ans
利用扩欧解出 x0 后，真实步数为：
x0=(x0×(ai−ans)/d) (mod (mi/d))
-
极简数据手玩推演（带入样例 2：
p=0, e=0, i=0, d=100）： 此时 a={0,0,0,0}，m={0,23,28,33}。-
地基初始化 ：
ans = a[1] = 0，lcm = 23。 -
合并第二个方程 (28) ： 我们要解 23⋅x0+28⋅y0=0−0=0。 显然步长 x0=0。 更新解：
ans = 0 + 0 * 23 = 0，lcm = 23 * 28 = 644。 -
合并第三个方程 (33) ： 解 644⋅x0+33⋅y0=0−0=0。 同样步长 x0=0。 更新解：
ans = 0 + 0 * 644 = 0，lcm = 644 * 33 = 21252。 -
尾盘平移处理 ： 算出的绝对高峰日是第
0天。但是题目给定的当前时间是 d=100。 因为要求"下一次"发生的时间，所以我们要加上总周期 21252，直到ans > 100。 平移后ans = 21252。 输出答案：21252−100=21152。与样例输出分毫不差。
-
4. 时空复杂度分析
-
时间复杂度 ：O(T⋅log(max M))。对于每一组输入，只需进行 2 次
exgcd操作合并三个方程。由于底层全是辗转相除法，单次查询时间极短，相当于 O(1)，哪怕有 10^5 组数据也能瞬间解决。 -
空间复杂度：O(1)。只用到了一维长度为 4 的数组存储模数和余数，内存消耗几乎为零。
5. 坑点与易错总结
-
物理概念的张冠李戴 ：很多同学读题时，会误把输入的 p,e,i 当作周期去求最小公倍数。记住：23, 28, 33 才是周期（模数），p,e,i 是方程里的余数。
-
要求的必须是"下一次" ：如果直接输出
ans - d，当算出的大高峰日比今天早（即ans <= d），就会输出负数。必须通过while(ans <= d) ans += lcm;将天数推移到未来。 -
负数整除与黄金转正的奇妙碰撞 ：在代码
times = (a[i] - ans) / dd中，由于 23,28,33 两两互质，最大公约数dd永远为 1。虽然a[i] - ans是负数，但负数除以 1 没有任何精度截断误差。随后一句x0 = ((x0 * times) % mod + mod) % mod;完美吸收了所有负数带来的偏移，逻辑自洽，非常漂亮。 -
多组数据的输出格式 ：不要漏掉输出格式里的
Case X:，且无论天数多少，结尾一律使用复数days.。
6. 完整代码
cpp
//这道题是典型的扩展中国剩余定理的应用
#include <iostream>
using namespace std;
long long p,e,i,d;
int idx;//记录当前是第几组测试数组
typedef long long ll;
ll m[4]={0,23,28,33};//周期 即模数
ll a[4];//对应每个周期出现高峰的日子 即余数 对应p e i
//扩展中国剩余定理
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x_,ll &y_){
if(b==0){
x_=1;
y_=0;
return a;
}
ll dd=exgcd(b,a%b,x_,y_);
ll tmp=x_;
x_=y_;
y_=tmp-(a/b)*y_;
return dd;
}
//扩展中国剩余定理求解
ll excrt(){
//先把第一个方程的解当作地基
//ans代表当前已经计算出来的答案
ll ans=a[1];
//lcm代表当前所有已合并方程的周期的最小公倍数
//即联合大周期
ll lcm=m[1];
//遍历所有方程
for(int i=2;i<=3;i++){
//先明确当前第i轮的目标方程
//ans+x0*lcm=a[i] （mod m[i])
//转化可以得到方程
//lcm*x0+m[i]*y0=a[i]-ans
ll x0,y0;
//扩欧求解
ll dd=exgcd(lcm,m[i],x0,y0);
//根据裴蜀定理 无解情况 但由题目可以知道
//应该不会出现此情况
if((a[i]-ans)%dd!=0) return -1;
//计算缩放倍数
ll times=(a[i]-ans)/dd;
//计算新模数
ll mod=m[i]/dd;
//计算
x0=((x0*times)%mod+mod)%mod;
//计算新的ans 即满足当前所有方程的解
ans=ans+x0*lcm;
//计算新lcm 即新的全局周期
lcm=lcm*m[i]/dd;
//计算非负最小ans
ans=(ans%lcm+lcm)%lcm;
}
//如果给定的时间在三个高峰同一天之前
if(d<ans) return ans-d;
//如果给定时间在三个高峰同一天之后
else{
//从三个高峰同一天不断往后推移一个周期
while(ans<=d) ans=ans+lcm;
return ans-d;
}
}
int main(){
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
//多组数据输入
while(cin>>p>>e>>i>>d){
if(p==-1&&e==-1&&i==-1&&d==-1) return 0;
a[1]=p;
a[2]=e;
a[3]=i;
idx++;
cout<<"Case "<<idx<<": the next triple peak occurs in "<<excrt()<<" days.\n";
}
return 0;
}